Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс

Экзаменационные вопросы по алгебре за школьный курс

 


1) Числовая последовательность 

2) Элементы теории чисел 

3) Признаки делимости 

4) Решения квадратного уравнения   

5) Многочлены 

6) Арифметическая и геометрическая прогрессии   

7) Степень

8) Логарифм

9) Числовая функция  

10) Степенная функция  

11) Показательная и логарифмическая функции   

12) Функции  и  

13) Функции  и  

14) Функции  и  

15) Функции  и   

16) Формулы привидения  

17) Тригонометрические функции суммы и разности углов  

18) Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму  

19) Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение    .  

20) Производная  

21) Касательная к графику функции  

22) Первообразная    

23) Определенный интеграл    

24) Комплексные числа  

25) Комплексные числа, тригонометрическая форма представления  



1) Числовая последовательность

 

Если каждому значению  ставится в соответствие по определенному закону действительное число , то множество занумерованных действительных чисел

 и будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью. При этом отдельные числа  - это элементы или члены последовательности.

Обозначение последовательности -

 

Рассмотрим ещё одну последовательность .

Назовем последовательность:

 - суммой последовательностей  и

 - разностью последовательностей  и

 - произведением последовательностей  и

 - частным последовательностей  и  (при неравенстве нулю всех членов последовательности )

 

Последовательность  называется ограниченной сверху / снизу, если существует действительное число M / m такое, что каждый элемент этой последовательности  удовлетворяют неравенству  / . Число M - верхняя грань, а число m - нижняя грань последовательности .

 

Последовательность  называется неограниченной, если для любого положительного действительного числа A (сколь бы велико они ни было) найдется хотя бы один элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству .

 

Последовательность  называется бесконечно большой, если для любого положительного действительного числа A (сколь бы велико оно ни было) найдется номер N такой, что при всех  элементы этой последовательности  удовлетворяют неравенству . Здесь .

 

Последовательность  называется бесконечно малой, если для любого положительного действительного числа  (сколь бы мало оно ни было) найдется номер N такой, что при всех  элементы этой последовательности  удовлетворяют неравенству . Здесь . Теорема. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу C, то C равно 0.

Доказательство. Пусть  - бесконечно малая последовательность. Пусть C отлично от нуля. Обозначим . Для указанного  найдется такой номер N такой, что  для всех . Но так как все элементы  равны C, то получаем , что неверно => предположение, что C отлично от нуля неверно => С = 0.

 

Последовательность  называется сходящейся, если существует такое действительное числа a, что последовательность  является бесконечно малой. При этом число a называется пределом последовательности .

Из определения следует, что любая бесконечно малая последовательность является сходящейся и пределом имеет число 0.

Обозначение предела:

 

Теорема. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим, что последовательность  имеет два предела a и b. Тогда , где  и  - бесконечно малые последовательности.

Последовательность  - бесконечно малая, а все её члены равны постоянному числу b - a. По теореме из свойств бесконечно малых последовательностей следует, что  => => сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2) Элементы теории чисел

Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Операции сложения и умножения, их свойства. Простые и составные числа, НОД и НОК, деление с остатком, сравнение по модулю

Натуральные числа - числа, возникающие в процессе счета, целые положительные  Натуральные числа бывают простыми и составными.

Простое натуральное число - число, делителями которого являются два числа: оно само и единица.

Составное натуральное число - число, имеющее хотя бы один делитель, отличный от единицы и самого числа.

Числа вида (-m), где m - натуральное число, называются отрицательными числами.

Множество, состоящее из всех натуральных и отрицательных чисел и нуля, называется множеством целых чисел, а сами числа называются целыми числами.

 

Для целых чисел определены операции сложения и вычитания, а также умножения. Результатом этих операций является целое число. Отдельно определяется деление, результатом которого уже не обязательно является целое число.

Разделить целое число a на натуральное число m с остатком - значит найти целые числа

q и r такие, что справедливо равенство , причем число r удовлетворяет условию . Если r = 0, то говорят, что целое число a делится нацело на натуральное число m.

 

Теорема. Пусть а - любое целое число и m - любое натуральное число. Тогда существует единственная пара целых чисел q и r, удовлетворяющая условиям  и .

Следствие 1. Любое четное число a может быть записано в виде , где q - некоторое целое число.

Следствие 2. Любое нечетное число a может быть записано в виде , где q - некоторое целое число.

Следствие 3. Любое целое число a, делящееся нацело на некоторое натуральное число k, может быть записано в виде , где q - некоторое целое число.

Следствие 4. Любое целое число a, не делящееся нацело на некоторое натурально число k, может быть записано в виде , где r - одно из чисел , а q - некоторое целое число.

 

Если каждое из чисел  делится нацело на некоторое натуральное k, то говорят, что число k является их общим делителем. Если два или несколько чисел не имеют общих делителей, отличных от единицы, то эти числа называют взаимно простыми. Так как данные числа  могут иметь лишь конечное число общих делителей, то среди их общих делителей имеется наибольший (в случае взаимно простых числе он равен единице).

Для наибольшего общего делителя (НОД) применяется обозначение: .

В общем виде процесс отыскания НОД можно описать на примере двух чисел следующим образом. Запишем разложение a и b на попарно различные простые множители:

Может случиться, что среди чисел  нет ни одного равного какому-либо из чисел . Тогда a и b - взаимно простые числа, . Если, например,

 совпадает с одним из чисел , то оба числа a и b делятся на , взятое в степени, меньшей из двух степеней, с которыми это число  входит в разложение каждого из чисел a и b. Поэтому для получения НОД чисел a и b следует:

1)      Выбрать все одинаковые простые множители, входящие в разложения a и b

2)      Каждый из них взять в степени, меньшей из двух степеней, с которыми этот множители входят в указанные разложения

3)      Взять произведение найденных таким путем общих множителей - оно и будет НОД чисел a и b.

Подобным же способом находится и НОД нескольких чисел.

 

Существует способ отыскания НОД двух чисел, известный под названием алгоритм Евклида. Он основан на следующих утверждениях:

1)      Если a и b - натуральные числа, причем , то

2)      Если a и b - натуральные числа, такие, что , то

 

Если число m является кратным для каждого из чисел  (делится на любое из этих чисел нацело), то m называется общим кратным чисел . В частности, произведение нескольких натуральных чисел всегда является их общим кратным. Среди всех общим кратных чисел  имеется наименьшее - оно и называется наименьшим общим кратным (НОК) данных чисел и обозначается так: .

Для отыскания НОК нескольких чисел следует:

1)      Выписать все простые множители, входящие в разложение хотя бы одного из этих чисел

2)      Взять каждый из этих простых множителей в наибольшей из степеней, в которых он входит в разложения данных чисел

3)      Взять произведение всех таких сомножителей - оно и будет НОК данных чисел.

 

Нетрудно заметить, что для двух взаимно простых чисел a и b:  - НОК двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел. Отметим без доказательства более общее соотношение: , - имеющее место для любых двух натуральных чисел: произведение НОК и НОК равно произведению самих чисел.

 

Рациональные числа - числа, представимые в виде , где p - целое, а q - натуральное числа.

Две равные дроби  и  (они равны, если ) являются записями одного и того же рационального числа. В десятичной системе счисления рациональные числа представляются в виде конечной или периодической десятичной дроби.

Правила действия с рациональными числами:


1)

2)


3)

4)

Иррациональные числа - числа, представимые в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

 

Множество всех бесконечных десятичных дробей (с определенными понятиям равенства, суммы и произведения этих чисел) называется множеством действительных чисел, а каждая бесконечная десятичная дробь, не оканчивающаяся бесконечной последовательностью девяток, называется действительным числом.

Для действительного положительного числа  можно определить его приближенное значение с недостатком -  и приближенное значение с избытком - .

Суммой двух действительных чисел называется число, которое больше (или равно) суммы двух любых приближенных их значений с недостатком, но меньше (или равно) суммы двух любых приближенных их значений с избытком.

Произведением двух действительных положительных чисел называется число, которое больше (или равно) произведения двух любых приближенных их значений с недостатком, но меньше (или равно) произведения двух любых приближенных их значений с избытком.

Для отрицательных чисел аналогичным образом вводятся соответствующие определения приближенных значений с избытком и недостатком, суммы и произведения.

 

Основные законы сложения и умножения действительных чисел:

1)  (коммутативность сложения)

2)  (ассоциативность сложения)

3)  (коммутативность умножения)

4)  (ассоциативность умножения)

5)  (дистрибутивность сложения)

Для сложения и умножения действительных чисел вводятся обратные действия - вычитание и деление.

Вычесть из действительного числа a действительное число b - значит найти действительное число c такое, что .

Разделить действительное число a на отличное от нуля действительное число b - значит найти действительное число d такое, что .

На множестве действительных чисел операции вычитания и деления, кроме деления на ноль, всегда выполнимы.

 

Два положительных действительных числа  и  равны, если  для

Из двух положительных действительных чисел  и  первое больше второго, если , либо если найдется некоторое натуральное n, что , но .

Два действительных числа  и  называются противоположными, если  для

Два отрицательных действительных числа равны, если равны противоположные им числа. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого противоположное меньше.

 

Сравнение по модулю - соотношение между двумя целыми числами a и b, означающее, что разность  этих чисел делится на заданное число m, называемое модулем сравнения. Обозначается:  (mod m). Так число 2 сравнимо с числом 14 по модулю 3, так как 14 - 2 делится на 3:  (mod 3).

3) Признаки делимости

На 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11

Разделить натуральное число n на натуральное число m, значит найти такое целое число q, что . Если такое число существует, то числа m и q называются делителями числа n, а число q называют частным от деления числа n на m.

Натуральные числа, делящиеся на 2, а также число 0, называются четными, а натуральные числа, не делящиеся на 2, - нечетными.

 

Теорема. Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра четная.

Доказательство. Любое натуральное число N в десятичной системе счисления можно представить в виде

Слагаемое очевидно делится на 2. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число. Поэтому если число B делится на 2, то и N также будет делиться на 2.

 

Теорема. Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Доказательство. Заметим, что . В результате любое натуральное число N в десятичной системе счисления можно представить в виде

Слагаемое  очевидно делится на 3. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число. Поэтому если число B делится на 3, то и N также будет делиться на 3. Но число B не что иное, как сумма цифр исходного числа.

 

Теорема. Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда на 4 делится двузначное число, составленное из цифр, стоящих в разрядах десятков и единиц данного числа.

Доказательство. Любое натуральное число N в десятичной системе счисления можно представить в виде

Слагаемое очевидно делится на 4. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число. Поэтому если число B делится на 4, то и N также будет делиться на 4. Таким образом, N будет делиться на 4, когда  делится на 4.

Теорема. Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.

Доказательство.

Слагаемое очевидно делится на 5. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число. Поэтому если число B делится на 5, то и N также будет делиться на 5. Но однозначное число B делится на 5 только в том случае, когда это число 0 или 5.

 

Теорема. Натуральное число делится на 6 тогда и только тогда, когда его последняя цифра четная и сумма его цифр делится на 3.

Доказательство. Чтобы натуральное число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3 - два множителя в разложении 6. Применяя два признака делимости на 2 и на 3, получаем, делимость натурального числа на 6 только в том случае, когда его последняя цифра четная и сумма его цифр делится на 3.

 

Теорема. Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда на 8 делится трехзначное число, составленное из цифр, стоящих в разрядах сотен, десятков и единиц данного числа.

Доказательство. Любое натуральное число N в десятичной системе счисления можно представить в виде

Слагаемое очевидно делится на 8. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число. Поэтому если число B делится на 8, то и N также будет делиться на 8. Таким образом, N будет делиться на 8, когда  делится на 8.

 

Теорема. Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Доказательство.

Слагаемое  очевидно делится на 9. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число. Поэтому если число B делится на 9, то и N также будет делиться на 3. Но число B не что иное, как сумма цифр исходного числа.

 

Теорема. Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда это число оканчивается на 0.

Доказательство.

Слагаемое очевидно делится на 10. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число. Поэтому если число B делится на 10, то и N также будет делиться на 10. Но однозначное число B делится на 10 только в том случае, когда это число 0.

 

Теорема. Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность сумм цифр, стоящих на четных (единицы, сотни, десятки тысяч:) и начетных позициях (десятки, тысячи, сотни тысяч:), делится на 11.

4) Решения квадратного уравнения

Формулы корней, разложение на линейные множители. Прямая и обратная теорема Виета

Квадратным уравнением называют уравнение , где x - неизвестное, a, b, c - действительные числа, причем a ≠ 0 (иначе уравнение было бы линейным). Число a называют коэффициентом при квадрате неизвестного, число b - коэффициентом при неизвестном, число c - свободным членом. Левая часть уравнения -  - называется квадратным трехчленом.

Неполное квадратное уравнение - уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Корень уравнения - число, при подстановке которого вместо неизвестного в уравнение получается верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение - значит найти все его действительные корни или доказать, что таких не существует.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при  равен 1, называется приведенным - .

 

Теорема. Если выполняется тождество , то квадратное уравнение  при  имеет два корня  и , а при  - лишь один корень .

Доказательство. Левая часть тождества -  - обращается в ноль при  и  и не обращается в ноль при других значениях x (так как при других значениях x оба множителя  и  отличны от нуля). Это значит, что числа  и  и только они являются корнями уравнения  или уравнения . Если , то принято говорить, что  является для уравнения  корнем второй кратности.

 

Теорема. Если квадратное уравнение  имеет корни  и , то справедливо тождество . В случае, когда уравнение имеет лишь один корень , справедливо тождество . Если уравнение не имеет корней, то квадратный трехчлен  не разлагается на множители.

Доказательство. Сначала разделим обе части уравнения  на a - от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения  выделим в левой части полный квадрат:

Обозначим выражение  через D:

Возможны три случая:

1)

 и ,

Таким образом получили формулу корней квадратного уравнения.

2)

3)

В этом случае получается, что выражение , которое не может иметь действительных корней => квадратный трехчлен  не разлагается на множители.

 

 

Прямая теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, деленному на коэффициент при .

Доказательство. , где  и  - корни квадратного уравнения .

 

Обратная теорема Виета. Если выполняются равенства  и , то числа  и являются корнями квадратного уравнения .

Доказательство. Рассмотрим квадратный трехчлен выражение . Подставим в него исходные равенства:

Отсюда следует, что  и  - корни квадратного уравнения  и  соответственно тоже.

5) Многочлены

Деление многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера

Одночлен - произведение, состоящее из числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, взятых каждая с тем или иным показателем степени (большим нуля).

Степень одночлена - сумма показателей степеней всех входящих в него переменных

 - одночлен со степенью 9.

 

Многочлен - алгебраическая сумма одночленов. Член - слагаемое, входящее в многочлен.

 - многочлен, 3 - член многочлена.

Подобные члены - члены, отличающиеся друг от друга лишь коэффициентами.

 и  - подобные члены

Привести подобные члены - значит найти сумму всех подобных членов в многочлене.

Для того чтобы привести к стандартному виду многочлен, надо сначала привести к стандартному виду все его члены, а потом привести подобные члены.

Наибольшую из степеней входящих в данный многочлен слагаемых называют степенью этого многочлена.

 - многочлен со степенью 3.

Член с большей степенью называют старшим членом многочлена.

 - многочлен со страшим членом .

Если степени всех членов многочлена одинаковы, то этот многочлен называют однородным.

 - однородный многочлен степени 2.

Тождественно равные многочлены - многочлены, отличающиеся друг от друга лишь порядком слагаемых.

 

При сложении, вычитании, умножении и делении двух многочленов получаются выражения, которые не являются многочленами. Так выражение  не является многочленом, так как это сумма многочленов, а не сумма одночленов. Однако сумма, разность и произведение двух многочленов тождественно равны некоторым многочленам.

 

Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо умножить на этот одночлен все члены многочлена и полученные произведения сложить. После этого следует привести полученный многочлен к стандартному виду.

 

Деление многочлена на одночлен. Если все члены многочлена делятся на данный одночлен, то частное от деления этого многочлена на одночлен приводится к виду многочлена. Для этого надо разделить каждый член многочлена на одночлен и привести частные к стандартному виду. Если некоторые члены многочлена не делятся на одночлен, то при делении получится сумма, у которой некоторые слагаемые - дроби.

 

Умножение многочлена на многочлен. При умножении суммы на сумму надо каждый член первой суммы умножить на каждый член второй суммы и результаты сложить и привести к стандартному виду.

При этом степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

Деление многочлена на многочлен с остатком

Теорема. Пусть  и  - многочлены от x, причем  не является нулевым многочленом (среди коэффициентов этого многочлена есть отличные от нуля). Тогда существуют такие многочлены  и , что , причем степень многочлена  меньше степени многочлена .

Многочлены  и , обладающие указанными выше свойствами, называют соответственно неполным частным (или частным, если  - нулевой элемент) и остатком при делении  на .

 

Чтобы найти частное и остаток при делении многочлена на многочлен, нужно представить многочлены частного и остатки в общем виде.

: многочлены  и  - известны => степень многочлена  - есть разность степенней многочленов  и , а степень многочлена  на один меньше степени многочлена . Представив многочлены  и  в общем виде, взяв за неизвестные их коэффициенты, составим систему уравнений на основе равенства известных коэффициентов многочлена  и коэффициентов многочлена, тождественно равному выражению .

Поделим многочлен  на многочлен  таким способом:




Второй способ - запись деления <уголком>, аналогичную записи при делении многозначных чисел.

 

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена  на двучлен  равен  (значению многочлена и ).

Доказательство. . Пусть , тогда

, где r - остаток от деления многочлена  на двучлен .

Так остаток от деления многочлена  на двучлен  равен: .

Число  называют корнем многочлена , если .

 

Теорема. Число  является корнем многочлена  тогда и только тогда, когда  делится на .

Доказательство.

1) Если  делится на , то есть , то  - корень для .

2) И с другой стороны, из теоремы Безу следует и обратное утверждение: если

 - корень многочлена , то  делится на  без остатка.

 

Теорема. Если числа  различны, то многочлен  делится на  тогда и только тогда, когда все эти числа являются корнями для .

Доказательство.

1) Пусть среди чисел  нет одинаковых. Если многочлен  делится на произведение , то есть , то каждое из чисел  - корень для , так как при подстановке вместо x числа  (), один из множителей  обратится в ноль и тогда .

2) Многочлен  в силу теоремы Безу делится на , то есть . Так как  - корень, то .

Так как , то  =>  делится на , то есть  => . Аналогичным образом получаем, что , то есть  делится на .

Следствие. Многочлен степени n не может иметь более чем n различных корней.

 

Схема Горнера используется для нахождения остатка от деления многочлена  на двучлен  и коэффициентов многочлена - частного от деления. Схема реализуется следующим образом:

a

k

В данной схеме  и будет искомым остатком деления  на .

Найдем частное и остаток от деления многочлена  на  по схеме Горнера:

 

4

-3

0

-7

11

2

4

5

10

13

37

6) Арифметическая и геометрическая прогрессии

Их свойства

Арифметическая прогрессия

Последовательность чисел, в которой каждый последующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией.

Таким образом, арифметическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением  и начальным значением , d называют разностью прогрессии.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии -

 

Теорема. Последовательность  - арифметическая прогрессия тогда и только тогда, когда каждый её член, кроме первого, равен полусумме соседних с ним членов -  .

 

Теорема. Сумма первых n членов арифметической прогрессии  равна полусумме 1-ого и n-ого членов, умноженной на n - число членов -

Доказательство. Запишем сумму  дважды:

Теперь сложим эти равенства почленно:

Сумма индексов в каждой скобке равна n+1, поэтому каждая скобка равна , учитывая, что мы имеем n таких скобок, получаем - .

Геометрическая прогрессия

Последовательность, в которой каждый следующий член, кроме первого, получается из предыдущего умножением на одно и тоже число q, называется геометрической прогрессией.

Таким образом, геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением  и начальным значением , q называют знаменателем прогрессии.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - такая, знаменатель которой меньше единицы.

 

Формула n-ого члена геометрической прогрессии -

 

Теорема. Последовательность  - геометрическая прогрессия тогда и только тогда, когда каждый её член, кроме первого, равен произведению двух соседних членов - .

 

Теорема. Сумма первых n членов геометрической прогрессии  равна .

Доказательство. Запишем сумму :

 (1)

Умножим обе части на q:

 =>  (2)

Вычтем из равенства (2) равенство (1) и получим:

Откуда, учитывая, что , получим, что  или .

Учитывая, что  получаем - .

7) Степень

Её свойства

Степень с натуральным показателем

Степенью числа a с натуральным показателем n называется число x, такое что , обозначается как .

 

Свойства степени с натуральным показателем

Для любых двух отличных от нуля чисел a и b и натуральных чисел m и n верны равенства:


1)     

2)     

3)     


4)     

5)     


 

Арифметический корень n-ой степени

Корнем n-ой степени из числа a  называется число x, такое что  и , обозначается как .

 

Свойства арифметического корня n-ой степени

Для любых натуральных n, m и целого k и неотрицательных a и b верны равенства:


1)     

2)       при

3)       

4)     


5)       при

6)      , если , то

7)     


 

Степень с рациональным показателем

Степенью числа a с рациональным показателем  называется число x, такое что ,  где , m - целое число, n - натуральное число , , где , обозначается как .

 

Степенью числа a c отрицательным показателем (-r) называется число x, такое что , обозначается как .

 

Свойства степеней с рациональным показателем


1)     

2)     

3)     


4)     

5)     


8) Логарифм

Свойства

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получилось число b.

 - логарифм числа a по основанию b.

Десятичный логарифм - логарифм по снованию 10.

Натуральный логарифм - логарифм по основанию e.

 

Все свойства верны только в случае, когда основание больше нуля () и не равно единице (), и само число больше нуля ():

1) Основное логарифмическое свойство:

Пусть , тогда

 

2)

 

3)

Так как логарифмическая функция непрерывна на всей области определения, то прологарифмируем обе части выражения:

Из свойств 2 и 3 следует, что:

а)

б)

в)

 

4)

Из свойства 4 следует, что

5)

 

6)

 =>

Так как логарифмическая функция непрерывна на всей области определения, то прологарифмируем обе части выражения:

 

Переход к новому основанию:

9) Числовая функция

Способы задания (табличный, аналитический, графический, параметрический), обратная функция, достаточный условия существование обратной функции

Функцией  называют правило, которое каждому элементу x из множества X ставит в соответствие единственный элемент y из множества Y.

Элемент x называют аргументом функции (или независимой переменной). Элемент , соответствующий фиксированному значению элемента  называют значением функции и обозначают через :  - y называют зависимой переменной.

Множество X называют областью определения функции  и обозначают .

Множество всех значений функции , которые она принимает на элементах из множества X, называют множеством значений функции  (или областью её значения) и обозначают .

 

Способы задания функции

1) Табличный

Если количество значений, которые может принимать аргумент, конечно, то его можно задать с помощью таблицы, где перечислены все значения x и все значения .

2) Графический

Если задана функция  с областью определения, то каждому значению  соответствует значение функции . По двум числам  и  можно построить на координатной плоскости точку . Совокупность всех таких точек образует график функции .

3) Аналитический

Во многих случаях функция задается с помощью формул (аналитических выражений).

4) Параметрический

Параметрическое представление функции - задание функции , определенной, например на отрезке  с помощью пары функций  и , , таких что у функции :  - существует однозначная обратная функция , что , то есть для любого  имеет место .

Обратная функция

Функция, определенная на множестве Y (множестве значений взаимнооднозначной функции ), которая каждому элементу  ставит в соответствие то значение  (из области определения функции ), для которого , называется обратной функцией к функции .

 Для нахождения функции (если она существует), обратной данной , необходимо выразить x через y: , а затем записать полученную функцию в обычном виде - .

Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции, и наоборот, множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной.

 

Условие существования обратной функции

Графики обратной и прямой функции симметричны относительно прямой . Для функции непрерывной и строго монотонной на промежутке X существует обратная функция , непрерывная и строго монотонная (в том же смысле) на промежутке Y изменения функции .

10) Степенная функция

Свойства (для целых и рациональных показателей)

Функция вида , где n - целое число, называется степенной функцией с целым показателем. Степенная функция с целым показателем обладает свойствами, которые зависят от показателя степени n. Рассмотрим все пять случаев:

1)      Число

2)      Число n - положительное и четное

3)      Число n - положительное и нечетное

4)      Число n - отрицательное и нечетное

5)      Число n - отрицательное и четное

 

При  функция совпадает с тождественной единицей (кроме точки , в которой она не определена)

 

Характеристика функции :

1)      Область определения.

2)      Область значений.

3)      Периодичность. Функция непериодическая, так как она принимает значение нуля только в точке .

4)      Четность. Функция  является четной, так как

5)      Точки пересечения графика с осями. Так как уравнение  при любом натуральном k имеет единственный корень (он равен нулю), то функция  имеет только одну точку пересечения с осями координат - точку .

6)      Промежутки знакопостоянства.

 при

7)      Наибольшее и наименьшее значения. Наибольшего значения не существует

наименьшее значение -  при .

8)      Интервалы возрастания и убывания. Функция не является монотонной на всей области определения, но является монотонной на промежутках

возрастает при

убывает при .

9)      Асимптоты. График функции асимптот не имеет.

Характеристика функции :

1)      Область определения.

2)      Область значений.

3)      Периодичность. Функция непериодическая, так как она принимает свои значения ровно один раз.

4)      Четность. Функция  является нечетной, так как

5)      Точки пересечения графика с осями. Так как уравнение  при любом натуральном k имеет единственный корень (он равен нулю), то функция  имеет только одну точку пересечения с осями координат - точку .

6)      Промежутки знакопостоянства.

 при

 при

7)      Наибольшее и наименьшее значения. Наибольшего и наименьшего значений не существует.

8)      Интервалы возрастания и убывания. Функция является монотонной на всей области определения, возрастает при .

9)      Асимптоты. График функции асимптот не имеет.

 

Характеристика функции :

1)      Область определения.

2)      Область значений.

3)      Периодичность. Функция непериодическая, так как она принимает свои значения ровно один раз.

4)      Четность. Функция  является нечетной, так как

5)      Точки пересечения графика с осями. График функции не пересекает оси координат.

6)      Промежутки знакопостоянства.

 при

 при

7)      Наибольшее и наименьшее значения. Наибольшего и наименьшего значений не существует.

8)      Интервалы возрастания и убывания. Функция не является монотонной на всей области определения, но является монотонной на отрезках

убывает при

9)      Асимптоты. Асимптотами графика функции являются прямые  и .

Характеристика функции :

1)      Область определения.

2)      Область значений.

3)      Периодичность. Функция непериодическая, так как они принимает свои значения ровно два раза.

4)      Четность. Функция  является четной, так как

5)      Точки пересечения графика с осями. График функции не пересекает оси координат.

6)      Промежутки знакопостоянства.

 при

7)      Наибольшее и наименьшее значения. Наибольшего и наименьшего значений не существует.

8)      Интервалы возрастания и убывания. Функция не является монотонной на всей области определения, но является монотонной на отрезках

возрастает при

убывает при

9)      Асимптоты. Асимптотами графика функции являются прямые  и .

 

Функция вида , где r - рациональное число, называется степенной функцией с рациональным показателем. Степенная функция с рациональным показателем обладает свойствами, которые зависят от показателя степени r. Рассмотрим два случая:

1)      Число r - положительное

2)      Число r - отрицательное

 

Характеристика функции :

1)      Область определения.

2)      Область значений.

3)      Периодичность. Функция непериодическая, так как они принимает свои значения ровно один раз.

4)      Четность. Функция  не является ни четной, ни нечетной, так как она определена только для положительных значений переменной x.

5)      Точки пересечения графика с осями. Так как уравнение  при любом положительном r имеет единственный корень (он равен нулю), то функция  имеет только одну точку пересечения с осями координат - точку .

6)      Промежутки знакопостоянства.

 при

7)      Наибольшее и наименьшее значения. Наибольшего значения не существует

наименьшее значение -  при .

8)      Интервалы возрастания и убывания. Функция является монотонной на всей области определения, возрастает при

9)      Асимптоты. График функции асимптот не имеет.

Характеристика функции :

1)      Область определения.

2)      Область значений.

3)      Периодичность. Функция непериодическая, так как они принимает свои значения ровно один раз.

4)      Четность. Функция  не является ни четной, ни нечетной, так как она определена только для положительных значений переменной x.

5)      Точки пересечения графика с осями. График функции не пересекает оси координат.

6)      Промежутки знакопостоянства.

 при

7)      Наибольшее и наименьшее значения. Наибольшего и наименьшего значений не существует.

8)      Интервалы возрастания и убывания. Функция является монотонной на всей области определения, убывает при

9)      Асимптоты. Асимптотами графика функции являются прямые  и .

11) Показательная и логарифмическая функции

Свойства и графики

Функция  называется показательной. Число a - основание - всегда предполагается положительным действительным числом, а число x - действительное рациональное. Показательная функция  принимает только положительные значения. При  она является возрастающей, а при  - убывающей. Если число , то считают, что  для любого действительного числа x, так как единица в любой рациональной степени равна единице.

 

Теорема. Пусть число a положительно и не равно единице, тогда:

1)        число , определенное указанным способом, существует и единственно для любого числа x

2)        уравнение  для любого положительного числа y имеет единственный корень

3)        число  всегда положительно

Следствие. При любом  уравнение  не имеет корней.

 

Характеристика показательной функции :

1)      Область определения.

2)      Область значений.

3)      Периодичность. Функция непериодическая, так как она принимает свои значения ровно один раз.

4)      Четность. Функция не является четной, так как принимает все свои значения ровно один раз, функция не является нечетной, так как область её значений несимметрична относительно нуля.

5)      Точки пересечения с осями координат. Согласно следствию выше при любом  уравнение  не имеет корней => график показательной функции не пересекает ось абсцисс (Ox). Точка же пересечения графика с осью ординат (Oy) имеет координаты , так как любое число  в нулевой степени есть единица.

6)      Промежутки знакопостоянства. Значения функции положительны при любых x.

7)      Наибольшее значение и наименьшее значение. Функция не имеет наибольшего и наименьшего значения.

8)      Интервалы возрастания и убывания. Показательная функция монотонна. Если , то она является возрастающей функцией, а если  - убывающей.

9)      Асимптоты. График показательной функции  имеет единственную асимптоту - ось абсцисс (Ox) -

Логарифмической функцией переменной x по основанию a называют отображение, которое числу x ставит в соответствие число, равное  (, ,  - из определения логарифма).

 

Характеристика логарифмической функции :

1)      Область определения.

2)      Область значений функции.

3)      Периодичность. Логарифмическая функция не является периодической, так как она определена только для положительных значений переменной x.

4)      Четность и нечестность. Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной, так как она определена только для положительных значений переменной x.

5)      Точки пересечения графика с осями координат. Так как уравнение  имеет единственный корень , то у логарифмической функции есть одна точка пересечения с осью абсцисс (Ox) - . Точка  не принадлежит области определения => точек пересечения с осью ординат (Oy) нет.

6)      Промежутки знакопостоянства функции. Если , то значения логарифмической функции отрицательны на промежутке  и положительны на промежутке . Если , то значения логарифмической функции положительны на промежутке  и отрицательны на промежутке .

7)      Наибольшее и наименьшее значение. Логарифмическая функция не имеет наибольшего и наименьшего значения, так как областью значений этой функции являются все действительные числа.

8)      Интервалы возрастания и убывания. Если основание , то функция  является возрастающей на всей области определения, если же , то функция является убывающей.

9)      Асимптоты. Единственной асимптотой графика логарифмической функции является ось ординат (Oy) -

12) Функции  и

Свойства и графики

Чтобы определить понятия тригонометрических функций, рассматривают круг (тригонометрический круг) с центром, расположенным в начале координат, и радиусом, равным единице.

Для любого действительного числа  можно провести радиус ON этого круга, образующий с осью Ox угол, радианная мера которого равна числу  (положительной направление - против хода часовой стрелки).

 

Число, равное ординате (Oy) конца единичного радиуса, соответствующего углу , называется синусом угла  и обозначается . Поскольку каждому значению величины угла  на тригонометрическом круге соответствует единственная точка такая, что радиус ON образует угол  с осью Ox, то введенное отображение  является функцией.

 

Характеристика функции :

1)      Область определения. , так как для любого значения угла однозначно определена точка, являющаяся концом соответствующего радиуса.

2)      Область значений. , так как конец радиуса тригонометрического круга может принимать значения лишь на отрезке .

3)      Периодичность. Число  является периодом функции , поскольку центральный угол, опирающийся на дугу, совпадающую со свей окружностью, равен , а точки соответствующие углам ,  и  изображаются на тригонометрическом круге одной точкой, то есть их синусы равны.

4)      Четность и нечетность. Функция  является нечетной, то есть .

5)      Точки пересечения графика с осями координат. График пересекает ось абсцисс (Ox) в точках, определяемых уравнением , то есть . График пересекает ось ординат (Oy) в точке с ординатой, определяемой равенством , то есть .

6)      Промежутки знакопостоянства. Так как ординаты точек, лежащих в верхней полуплоскости, положительны, а точек, расположенных в нижней полуплоскости, отрицательны, то

 при

 при

7)      Наибольшее и наименьшее значения.

наибольшее значение -  при

наименьшее значение -  при .

8)      Интервалы возрастания и убывания. Функция не является монотонной на всей области определения, но является монотонной на отрезках

возрастает при

убывает при

9)      Асимптоты. График функции асимптот не имеет.

 

 

 

Арксинус - обратная функция к функции, являющейся сужением синуса на отрезок ;  означает, что y принимает значения  и .

 

Характеристика функции :

1)        Область определения. Такая же как и область значений у функции синуса - .

2)        Область значений.  - по определению

3)        Периодичность. Функция непериодическая, так как она принимает свои значения ровно один раз.

4)        Четность. Функция  является нечетной, то есть

5)        Точки пересечения графика с осями. График пересекает ось абсцисс (Ox) в точке, определяемой выражением  (из определения функции) или , то есть . График пересекает ось ординат (Oy) в точке с ординатой, определяемой выражением , то есть .

6)        Промежутки знакопостоянства.

 при

 при

7)        Наибольшее и наименьшее значения.

наибольшее значение -  (по определению) при

наименьшее значение -  (по определению) при .

8)        Интервалы возрастания и убывания. Функция является монотонной на всей области определения, возрастает при

9)        Асимптоты. График функции асимптот не имеет.

13) Функции  и

Свойства и графики

Чтобы определить понятия тригонометрических функций, рассматривают круг (тригонометрический круг) с центром, расположенным в начале координат, и радиусом, равным единице.

Для любого действительного числа  можно провести радиус ON этого круга, образующий с осью Ox угол, радианная мера которого равна числу  (положительной направление - против хода часовой стрелки).

 

Число, равное абсциссе (Ox) конца единичного радиуса, соответствующего углу , называется косинусом угла  и обозначается . Поскольку каждому значению величины угла  на тригонометрическом круге соответствует единственная точка такая, что радиус ON образует угол  с осью Ox, то введенное отображение  является функцией.

 

Характеристика функции :

1)      Область определения. , так как для любого значения угла однозначно определена точка, являющаяся концом соответствующего радиуса.

2)      Область значений. , так как конец радиуса тригонометрического круга может принимать значения лишь на отрезке .

3)      Периодичность. Число  является периодом функции , поскольку центральный угол, опирающийся на дугу, совпадающую со свей окружностью, равен , а точки соответствующие углам ,  и  изображаются на тригонометрическом круге одной точкой, то есть их косинусы равны.

4)      Четность и нечетность. Функция  является четной, то есть .

5)      Точки пересечения графика с осями координат. График пересекает ось абсцисс (Ox) в точках, определяемых уравнением , то есть . График пересекает ось ординат (Oy) в точке с ординатой, определяемой равенством , то есть .

6)      Промежутки знакопостоянства. Так как абсциссы точек, лежащих в правой полуплоскости, положительны, а точек, расположенных в левой полуплоскости, отрицательны, то

 при

 при

7)      Наибольшее и наименьшее значения.

наибольшее значение -  при

наименьшее значение -  при .

8)      Интервалы возрастания и убывания. Функция не является монотонной на всей области определения, но является монотонной на отрезках

возрастает при

убывает при .

9)      Асимптоты. График функции асимптот не имеет.

 

 

 

Арккосинус - обратная функция к функции, являющейся сужением косинуса на отрезок ;  означает, что y принимает значения  и .

 

Характеристика функции :

1)      Область определения. Такая же как и область значений у функции косинуса - .

2)      Область значений.  - по определению

3)      Периодичность. Функция непериодическая, так как она принимает свои значения ровно один раз.

4)      Четность. Функция  не является четной, так как принимает все свои значения ровно один раз, и не является нечетной, так как принимает только положительные значения, но .

5)      Точки пересечения графика с осями. График пересекает ось абсцисс (Ox) в точке, определяемой выражением  (из определения функции) или , то есть . График пересекает ось ординат (Oy) в точке с ординатой, определяемой выражением , то есть .

6)      Промежутки знакопостоянства.

 при

7)      Наибольшее и наименьшее значения.

наибольшее значение -  (по определению) при

наименьшее значение -  (по определению) при .

8)      Интервалы возрастания и убывания. Функция является монотонной на всей области определения, убывает при

9)      Асимптоты. График функции асимптот не имеет.

14) Функции  и

Свойства и графики

Число, равное отношению синуса угла  такого, что , к косинусу этого угла, называется тангенсом угла  и обозначается .

Поскольку для каждого значения величины угла , кроме , можно поставить в соответствие однозначно определенное значение , то это соответствие является функцией.

 

Свойства этой функции следуют из свойств функций  и .

Характеристика функции :

1)        Область определения. Функции  и  определены при всех значениях переменной x => функция  так же определена для всех значений x, за исключением точек , где  обращается в ноль.

2)        Область значений.

3)        Периодичность. Число  является периодом функции , поскольку функция при аргументах ,  и  принимает одинаковые значения.

4)        Четность и нечетность. Функция  является нечетной, так как

5)        Точки пересечения графика с осями. График функции пересекает ось Ox в точках с абсциссами, определяемыми уравнением , то есть . График пересекает ось Oy в точке с ординатой, определяемой выражением , то есть .

6)        Промежутки знакопостоянства. Для любого угла x, синус и косинус которого имеют одинаковые знаки, тангенс угла x положителен, то есть тангенс угла положителен для углов I и III четверти; а для любого угла x, где синус и косинус имеют различные знаки, тангенс угла x отрицателен, то есть для углов II и IV четверти.

 при

 при

7)        Наибольшее и наименьшее значение. Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений, поскольку её область значений - все действительные числа.

8)        Интервалы возрастания и убывания. Функция не является монотонной на всей области определения, но является монотонной на каждом из интервалов

возрастает при

9)        Асимптоты. График имеет вертикальные асимптоты

 

Арктангенс - обратная функция к функции, являющейся сужением тангенса на интервал ;  означает, что y принимает значения  и .

 

Характеристика функции :

1)        Область определения. Такая же как и область значений и функции тангенса .

2)        Область значений.  - по определению

3)        Периодичность. Функция непериодическая, так как она принимает свои значения ровно один раз.

4)        Четность и нечетность. Функция  является нечетной, то есть

5)        Точки пересечения графика с осями. График пересекает ось абсцисс (Ox) в точке, определяемой выражением  (из определения функции) или , то есть . График пересекает ось ординат (Oy) в точке с ординатой, определяемой выражением , то есть .

6)        Промежутки знакопостоянства.

 при

 при

7)        Наибольшее и наименьшее значения. Функция не имеет наибольшего и наименьшего значения.

8)        Интервалы возрастания и убывания. Функция является монотонной на всей области определения, возрастает при .

9)        Асимптоты. График функции имеет две асимптоты .

15) Функции  и

Свойства и графики

Число, равное отношению косинуса угла  такого, что , к синусу этого угла, называется котангенсом угла  и обозначается .

Поскольку для каждого значения величины угла , кроме , можно поставить в соответствие однозначно определенное значение , то это соответствие является функцией.

 

Свойства этой функции следуют из свойств функций  и .

Характеристика функции :

1)      Область определения. Функции  и  определены при всех значениях переменной x => функция  так же определена для всех значений x, за исключением точек , где  обращается в ноль.

2)      Область значений.

3)      Периодичность. Число  является периодом функции , поскольку функция при аргументах ,  и  принимает одинаковые значения.

4)      Четность и нечетность. Функция  является нечетной, так как

5)      Точки пересечения графика с осями. График функции пересекает ось Ox в точках с абсциссами, определяемыми уравнением , то есть . График не пересекает ось Oy, поскольку функция не определена при  (по определению).

6)      Промежутки знакопостоянства. Для любого угла x, синус и косинус которого имеют одинаковые знаки, котангенс угла x положителен, то есть котангенс угла положителен для углов I и III четверти; а для любого угла x, где синус и косинус имеют различные знаки, котангенс угла x отрицателен, то есть для углов II и IV четверти.

 при

 при

7)      Наибольшее и наименьшее значение. Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений, поскольку её область значений - все действительные числа.

8)      Интервалы возрастания и убывания. Функция не является монотонной на всей области определения, но является монотонной на каждом из интервалов

убывает при

9)      Асимптоты. График имеет вертикальные асимптоты

 

 

Арккотангенс - обратная функция к функции, являющейся сужением котангенса на интервал ;  означает, что y принимает значения  и .

 

Характеристика функции :

1)      Область определения. Такая же как и область значений и функции котангенса .

2)      Область значений.  - по определению

3)      Периодичность. Функция непериодическая, так как она принимает свои значения ровно один раз.

4)      Четность. Функция  не является четной, так как принимает все свои значения ровно один раз, и не является нечетной, так как принимает только положительные значения, но .

5)      Точки пересечения графика с осями. График не пересекает ось абсцисс (Ox), поскольку функция не определена при  (по определению). График пересекает ось ординат (Oy) в точке с ординатой, определяемой выражением , то есть .

6)      Промежутки знакопостоянства.

 при

7)      Наибольшее и наименьшее значения. Функция не имеет наибольшего и наименьшего значения.

8)      Интервалы возрастания и убывания. Функция является монотонной на всей области определения, убывает при .

9)      Асимптоты. График функции имеет две асимптоты  и .

16) Формулы приведения

Тригонометрические функции углов , , ,  могут быть выражены через функции угла  с помощью формул, которые называют формулами приведения.

Докажем, что для любого:  и .

Повернем радиус ОА, длина которого R, на угол  и на угол . При этом радиус ОА перейдет соответственно в радиусы  и .

Опустим из точки  перпендикуляры  и  на оси координат. Получим прямоугольник . Провернем прямоугольник  около точки О на угол . Тогда точка  перейдет в точку , точка  перейдет в точку  на оси Oy, точка  - в точку  на оси Ox, а прямоугольник  перейдет в равный ему прямоугольник . Отсюда следует, что ордината точки  равна абсциссе точки , а абсцисса точки  равна числу противоположному ординате точки . Обозначим координаты точки  через  и , а координаты точки  через  и , тогда

 и  =>   и  =>

Аналогично для  и . Достаточно представить разность  в виде суммы , тогда

Формулы приведения для синуса и косинуса угла  выглядят так:

Для доказательства достаточно представить  в виде  и дважды воспользоваться формулами приведения для , а  представить как .

 

Формулы приведения для синуса и косинуса угла  имеют вид:

Чтобы доказать эти формулы достаточно представить  в виде  и применить последовательно формулы приведения для углов  и  .

 

Формулы приведения для синуса и косинуса угла  следуют из того, что при изменении угла на целое число оборотов значение синуса и косинуса не изменяются.

 

Формулы приведения для тангенса и котангенса можно получить с помощью формул приведения для синуса и косинуса.

 

Из всех вышеприведенных формул, можно вывести общее правило для формул приведения:

1)        Если к аргументу тригонометрической функции прибавляется число, равное , то функция меняется на ко-функцию (например, синус на косинус).

2)        Если к аргументу тригонометрической функции прибавляется число, равное , то функция остается неизменной.

3)        Знак определяется исходной функцией при условии, что изначальный аргумент принадлежит первой четверти.

17) Тригонометрические функции суммы и разности углов

Выведем формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

Провернем радиус ОА равный R, около точки О на угол  и на угол  получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов  и . Пусть координаты точки В равны  и , координаты точки С - и . Эти же координаты имеют соответственно векторы  и . По определению скалярного произведения векторов: .

Выразим скалярное произведение векторов  и  через тригонометрические функции углов. Из определения косинуса и синуса следует, что , , , . Подставив значения  в , получим, что

С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов, имеем:

Угол ВОС между векторами  и  может быть равен , , либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев поэтому  В этом случае имеем, что

Эта формула называется формулой косинуса разности. С помощью этой формулы легко получить формулу косинуса суммы:

 

Формулы синуса суммы и синуса разности

 

18) Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму

Чтобы определить понятия тригонометрических функций, рассматривают круг (тригонометрический круг) с центром, расположенным в начале координат, и радиусом, равным единице.

Для любого действительного числа  можно провести радиус ON этого круга, образующий с осью Ox угол, радианная мера которого равна числу  (положительной направление - против хода часовой стрелки).

 

Число, равное ординате (Oy) конца единичного радиуса, соответствующего углу , называется синусом угла  и обозначается .

Число, равное абсциссе (Ox) конца единичного радиуса, соответствующего углу , называется косинусом угла  и обозначается .

 

Запишем выражения для синусов суммы и разности

Складывая почленно эти тождества и разделив на 2, получим, что

Далее выпишем выражения косинусов суммы и разности

Из них аналогично получим

19) Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение

Запишем формулу произведения синусов:

Введем новые углы: ,, тогда , .

Подставив эти выражения для углов вместо x и y, получим, что:

Аналогично доказываются и все остальные формулы разности и суммы синуса, косинуса.

Таким образом, для любых двух углов  и  верны следующие равенства:

 

Формулы для тангенсов и котангенсов:

при  и ,

Аналогично доказываются и все остальные формулы разности и суммы тангенса, котангенса. Таким образом, для любых двух углов  и  верны следующие равенства:

 при  и ,

,  при  и ,

, и   при  и ,

 

Существуют дополнительные формулы:

,

,

Преобразование выражения  с помощью введения вспомогательного аргумента

Предполагая, что числа a и b не равны нулю одновременно, перепишем рассматриваемое выражение в виде:

Поскольку выполнено очевидное тождество , то существует угол  такой, что  и .

В качестве угла , например, можно выбрать угол:

Следовательно, , где . Итак можно утверждать, что при a и b не равных нулю одновременно, справедливо равенство

20) Производная

Её геометрический и физический смысл. Производные элементарных функций

Рассмотрим функцию , определенную на некотором интервале . Пусть  - произвольная точка, принадлежащая интервалу .

Разность , где  - также точка, принадлежащая интервалу  - называется приращением аргумента в точке . Разность  называется приращением функции  в точке , соответствующим приращению , обозначается как .

Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращении аргумента к нулю, если такой предел существует и конечен, то есть .

 

Производные элементарных функций




 

Доказательство.

2)   =>

Действия с функциями (основные свойства производных)

Если в точке  существуют производные функций  и , то в этой точке существуют также следующие производные:

 при

, где

 

Доказательство.

Пусть , тогда

Разделим на , тогда

В силу дифференцируемости функций  и  существует предел правой части последнего равенства при  и он равен  => , но  =>

 

Геометрический смысл производной

Пусть имеется график некоторой функции  в декартовой системе координат. Зафиксируем некоторую точку графика . Пусть точка P кривой имеет координаты .

Таким образом, отрезок MP представляет собой некоторой секущую данной кривой, угол наклона которой к положительному направлению оси Ox обозначим .

Тогда, в силу того, что положение точки P зависит от  и она является, по сути, переменной точкой на кривой, то и величина угла  будет зависеть от , иначе .

Определим касательную к некоторой кривой в точке  как предельной положение секущей MP. Тогда для существования касательной в этой точке достаточно, чтобы существовал , где  - угол наклона касательной к оси Ox.

DMNP:  =>

Учитывая непрерывность арктангенса, получаем, что. Если производная данной функции здесь существует, то существует и предел отношения её приращения в рассматриваемой точке к приращению аргумента, и он равен значению производной в этой точке:

Таким образом,  => , то есть если функция  имеет в данной точке  производную, то существует касательная к графику этой функции в точке , причем угловой коэффициент этой касательной равен значению производной в этой точке.

 

Механический смысл производной

Из курса физики известно, что среднюю скорость движения материальной точки можно вычислить по формуле:

, где S - перемещение точки, Dt - исследуемый момент времени.

Тогда мгновенную скорость точки в данный момент времени можно вычислить как предел отношения изменения перемещения к некоторому малому промежутку времени. Таким образом, мгновенная скорость материальной точки в некоторый момент времени есть значение производной функции перемещения в этот момент времени:

 

Теорема. Производная сложной функции. Если функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке , то сложная функция  также имеет производную в точке , причем .

Например,

21) Касательная к графику функции

Через точку графика функции и через произвольную точку плоскости

Касательной к графику функции  в точке  называется предельное положение секущей  (если оно существует и единственно), когда точка  стремится к точке .

Касательной к графику дифференцируемой в точке  функции , называется прямая, проходящая через точку  и имеющая угловой коэффициент .

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке  равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной в этой точке.

 

Уравнение касательной

Для вывода уравнения касательной запишем уравнение секущей, проходящей через точки  и :

Если в точке  существует производная , то при стремлении точки  к точке  (при ) уравнение секущей в пределе станет уравнением касательной:

В тех точках области определения функции, в которых производная не существует, нельзя провести касательную. Верно и обратное утверждение. Например, функция  не имеет касательной в точке . Эта функция служит примером того, что непрерывность функции во всех точках области определения не является достаточным условием существования производной во всех точках этой области.

 

Пример. Чтобы найти уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку , нужно найти производную искомой функции - , затем, подставляя координаты точки  в уравнение касательной, получим, что:

, где  - точка касания.

Подставим полученной значение  в уравнение касательной:

22) Первообразная

Неопределенный интеграл и его свойства. Первообразные элементарных функций

Если в дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции  найти её производную (или дифференциал), то интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию , зная её производную  (или дифференциал). Искомую функцию  называют первообразной функции .

Функция  называется первообразной функции  на интервале , если для любого  выполняется равенство  или .

 

Теорема. Если функция  является первообразной функции  на интервале , то множество всех первообразных для  задается формулой , где , причем других первообразных не будет.

Доказательство. Функция  является первообразной : , то есть  - первообразная .

Пусть - некоторая другая, отличная от , первообразная функции , то есть  =>

 =>

, где  =>

 => других первообразных для , отличных от , не существует.

 

Совокупность всех первообразных функции  - неопределённый интеграл этой функции.  - неопределенный интеграл с подынтегральной функцией  и переменной интегрирования .

Таким образом, по определению .

Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции  называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию.

 

Свойства неопределённого интеграла

1)     

2)     

3)     

4)      , где

5)     

Первообразные элементарных функций


1)     

2)     

3)     

4)     

5)     

6)     

7)     

8)     

9)     

10) 

11) 


12)

13) 

14) 

15) 

16) 

17) 

18) 

19) 

20) 


 

Доказательство.

1) Поскольку  =>  =>  =>

23) Определенный интеграл

Его свойства. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция  определена на отрезке .

1) С помощью точек  таких, что , разобьем отрезок  на n частичных отрезков

2) В каждом частичном отрезке  выберем произвольную точку  и вычислим значение функции в ней, то есть величину .

3) Умножим найденной значение функции  на длину  соответствующего частичного отрезка - .

4) Составим сумму  всех таких произведений - . Сумма такого вида называется интегральной суммой функции  на отрезке .

5) Бесконечно уменьшающееся значение  называют дифференциалом аргумента , а предел интегральной суммы при  называют определенным интегралом  от функции  на отрезке

 

Свойства определённого интеграла

1)     

2)     

3)     

4)     

5)       (если  и  - непрерывная)

6)      Если  - непрерывная, , , то

Если  - непрерывная, , , то

7) Если  - чётная, непрерывная, то

8)      Если  - нечётная, непрерывная, то

9)      Если  и  - непрерывные, , , то .

10)  Если  - периодическая функция с периодом T, то .

 

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция  интегрируема на отрезке .

Теорема. Если функция  непрерывна на отрезке  и  - какая-либо её первообразная на отрезке , то имеет место формула .

Доказательство. С помощью точек  таких, что , разобьем отрезок  на n частичных отрезков .

Рассмотрим тождество :

Преобразуем каждую разность скобках по формуле Лагранжа : Получим, что ,

то есть , где .

Если функция  непрерывна на отрезке , то при  величина интегральной суммы стремится к некоторому числу, которое и считают (по определению) равным площади криволинейной трапеции, то .

Равенство  называется формулой Ньютона-Лейбница.

24) Комплексные числа

Определение, геометрический смысл. Арифметические операции, алгебраическая форма представления

Комплексным числом Z называется выражение вида , где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, такая, что . Число a называется вещественной частью комплексного числа и обозначается как , а число b - мнимой частью и обозначается как . Комплексные числа  и  называются равными, если  и .

Если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то его условились считать равным вещественному числу a. Таким образом, всякое вещественное число является частным случаем комплексного.

Запись числа  называется алгебраической формой числа.

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части. Число, сопряженное комплексному числу z, обозначают : если , то .

 

Арифметические операции

Суммой двух комплексных чисел  и  называется число

Разностью двух комплексных чисел  и  называется число

Произведением двух комплексных чисел  и  называется число .

Теорема. Частным от деления числа  на число  называется число  при  и .

Доказательство.

 

Свойства операций сложения и умножения такие же, как и для действительных чисел:

1)     

2)       

3)     

4)     

5)     

6)     

7)     

 

Теорема. Каждое отличное от нуля число z имеет обратное ему число, то есть такое число w, что .

Доказательство. Если  и , тогда  =>

Учитывая то, что это комплексное число имеем:

Изображение комплексных чисел

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат . Каждому комплексному числу  можно сопоставить точку с координатами , и наоборот, каждой точке с координатами  можно сопоставить комплексное число . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

Изобразим на комплексной плоскости числа ,

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке , а именно, комплексное число  изображается радиус-вектором точки с координатами .

Отметим, что изображением суммы двух комплексных чисел z и  является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа  и . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие.

 

Модуль и аргумент комплексного числа

Пусть комплексное число  изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа  и обозначается . Из рисунка очевидно, что .

Угол, образованный радиус-вектором числа  с осью , называется аргументом числа  и обозначается . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до  или в диапазоне от  до . Кроме того, у числа  аргумент не определен.

На рисунке  равен углу . Из того же рисунка очевидно, что .

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:  - для  и  - для

Если , то комплексное число изображается вектором на оси  и его аргумент равен  или .

 

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Рассмотрим уравнение , где - вещественное положительное число. Легко проверить, что его корни , , где  - обычный арифметический корень.

Решим уравнение , где , ,  - вещественные числа, . Если дискриминант  отрицательный, то корни уравнения находятся по формулам:

, .

25) Комплексные числа, тригонометрическая форма представления

Возведение в степень и извлечение корней

Комплексным числом Z называется выражение вида , где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, такая, что . Число a называется вещественной частью комплексного числа и обозначается как , а число b - мнимой частью и обозначается как . Комплексные числа  и  называются равными, если  и .

Если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то его условились считать равным вещественному числу a. Таким образом, всякое вещественное число является частным случаем комплексного.

Запись числа  называется алгебраической формой числа.

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части. Число, сопряженное комплексному числу z, обозначают : если , то .

 

Тригонометрическая форма

Преобразуем алгебраическую форму записи в тригонометрическую:

.

Поскольку выполнено очевидное тождество , то существует угол  такой, что  и .

Следовательно, , где .

Последнее выражение называется тригонометрической формой комплексного числа. Число называется модулем, а  - аргументом комплексного числа  и обозначается как .

Любое число  может быть представлено в тригонометрической форме.

 

Действия с комплексными числами в тригонометрической форме

Произведение

Пусть , , тогда

.

Последняя запись является тригонометрической формой комплексного числа  => ,

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Деление

При делении комплексных чисел их модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются, то есть ,

 

Возведение в степень

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень , где  - натуральное число.

Пусть , тогда , то есть . Далее находим , то есть  .

Продолжая умножения дальше, придем к формуле . Эта формула называется формулой Муавра.

 

Извлечение корня из комплексного числа

Так как корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя, то мы будем говорить о решении уравнения , где  - неизвестное, а  - известное комплексное число.

Если , то . Пусть , тогда запишем число  в тригонометрической форме , где  и  - известные величины. Запишем неизвестное число  в тригонометрической форме , где  и  - неизвестны. По формуле Муавра получаем, что  => .

Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны => . В этом соотношении  и  - положительные числа => , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

Если два комплексных числа равны, то аргументы у них могут различаться только на величину, кратную  => ,  => , .

Таким образом, , .

 

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой , которая носит название формулы Эйлера.

 
Адрес страницы на сайте :
http://redpencil.ru/obschie-voprosi-po-algebre/ekzamenatsionnie-voprosi-po-algebre-za-shkolniy-kurs.html

© RedPencil, 2018