Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс

1) Треугольники

Виды. Признаки равенства треугольников

Ломаная - линия из соединяющихся под углом отрезков прямых линий.

Многоугольник - фигура, образованная замкнутой ломаной без самопересечений вместе с частью плоскости, ограниченной этой ломанной. Стороны ломаной - стороны многоугольника, углы, составленные каждыми двумя соседними сторонами, - углы многоугольника, а их вершины - вершины многоугольника.

Треугольник - многоугольник, имеющий три стороны.

Виды треугольников

По длинам сторон:

- разносторонние (все стороны имеют различную длину);

- равнобедренные (две стороны одинаковы);

- равносторонние (все стороны равны).

По величине углов:

- остроугольные (все углы острые);

- прямоугольные (если один угол прямой);

- тупоугольные (если один угол тупой).

Два треугольника называются равными, если они при наложении могут быть совмещены. В совмещающихся треугольниках, должны быть равны все их элементы, то есть стороны и углы, высоты, медианы, биссектрисы. Но чтобы установить равенство двух треугольников, достаточно проверить равенства лишь некоторых элементов.

Признаки равенства треугольников

Теорема. Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть  и  - такие треугольники, что ,  и .

Совместим треугольник  с треугольником  так, чтобы точка A совпала c  и сторона AC пошла по . Тогда вследствие равенства этих сторон, точка C совместится с , а вследствие равенства углов  и  сторона AB пойдет по , а вследствие равенства этих сторон точка B совпадет с , поэтому сторона CB совместиться с (так как две точки можно соединить только одной прямой). Таким образом, треугольники совпадут, то есть будут равны.

Теорема. Второй признак равенства треугольников (по стороне и прилежащим к ней углам). Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника соответственно равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть  и  - такие треугольники, что ,  и .

Совместим треугольник  с треугольником  так, чтобы точка C совпала c  и сторона CB пошла по . Тогда вследствие равенства этих сторон, точка B совпадет с , а вследствие равенства углов  и ,  и  сторона BA пойдет по , а сторона CA - по . Так как две различные прямые могут пересечься только в одной точке, то вершина A должна совпасть с . Таким образом, треугольники совпадут, то есть будут равны.

Теорема. Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть  и  - такие треугольники, что ,  и .

Совместим треугольник  с треугольником  так, чтобы сторона CB совместилась с , и их вершины A и  лежали бы по разные стороны от основания CB.

Соединим прямой точки

B и , тогда получим два равнобедренных треугольника  и  с общим основанием CB. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны =>  и  =>  =>  =>  и  равны по перовому признаку (,, ).

Замечание. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и обратно, против равных углов лежат равнее стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Теорема. Прямоугольные треугольники равны:

1)      если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого треугольника

2)      если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого треугольника.

Доказательство. Так в прямоугольных треугольниках углы, содержащиеся между катетами, всегда равны, как прямые углы, то эти признаки представляют собой частные случаи общих признаков.

Теорема. Прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого.

Доказательство.

Пусть  и  - такие прямоугольные треугольники, что  и .

Совместим треугольник  с треугольником  так, чтобы у них совпали равные гипотенузы. Тогда вследствие равенства углов  и  катет AC пойдет по . При этом точка C должна совпасть с точкой . Иначе, если она не совпадет с точкой , катет BC займет положение  или , что невозможно, так как из одной точки  нельзя на прямую  опустить два перпендикуляра ( и  или  и ). Таким образом, треугольники совпадут, то есть будут равны.

Теорема. Прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого.

Доказательство.

Пусть  и  - такие прямоугольные треугольники, что  и .

Совместим треугольник  с треугольником  так, чтобы у них совпали равные катеты BC и . Тогда по равенству прямых углов луч CA совпадет с лучом . При этом гипотенуза AB не может не совместиться с гипотенузой . Иначе, если бы она заняла положение  или , то имелись бы две наклонные ( и  или  и ), которые одинаково удалены от основания перпендикуляра, что невозможно.

2) Медиана, биссектриса, высота треугольника

Их свойства

Перпендикуляр к данной прямой - прямая, пересекающая данную прямую под прямым углом.

Высота - отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на ее основание (или продолжение основания).

Среднее геометрическое

Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, в прямоугольном треугольнике равен произведению отрезков, на которые она разбивают гипотенузу.

Пусть  - прямоугольный треугольник с углом  и высотой AH.

 =>  =>

Медиана треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

 

Свойства медианы треугольника

1-2) Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник .

Пусть точка . Проведём среднюю линию : ║AB =>  и  =>  по двум углам => их стороны пропорциональны:

Так как , то  и  => точка O пересечения медиан  и  делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Аналогично мы можем доказать, что точка пересечения медиан  и  делит каждую из них в отношении 2:1 => все три медиана пересекаются в точке O.

3) Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Доказательство. Площади этих треугольников будут равны, так как основания равны, а высота общая.

4) Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.

Доказательство. Мы знаем, что медианы, пересекаясь в одной точке, делятся в отношении 2 к 1.

Аналогично можно доказать, что площади остальных треугольников равны.

Формула длины медианы. Длина медианы равна удвоенной сумме квадратов сторон, с которыми медиана не имеет общих точек, минус квадрат третьей стороны, делённой на четыре.

Доказательство.

 

 

Y

 

Пусть , , , .

 (по теореме косинусов)

 (так как смежные) =>

Медина в прямоугольном треугольнике. Медиана, проведённая к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

Доказательство.

Проведём прямую CD║AB. Продолжим AO за точку O так, что

 Рассмотрим треугольники  и :

 эти треугольники равны (по второму признаку) =>  как соответствующие элементы равных треугольников.

, так как AB║CD и . Рассмотрим треугольники  и : они равны по двум катетам (, AC - общий) =>  как соответствующие элементы равных треугольников => в :  => медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

Биссектриса угла - луч, делящий угол на две равные части.

Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с противоположной стороной.

 

Свойства биссектрисы треугольника

1-2) Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон и обратно, каждая точка, лежащая  внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Доказательство.

1) Возьмём произвольную точку M на биссектрисе , проведём перпендикуляры MK и ML к прямым AB и AC. Рассмотрим прямоугольные треугольники  и : они равны по гипотенузе (AM - общая гипотенуза) и острому углу ( (по условию)) => MK = ML.

2) Пусть точка M лежит внутри  и равноудалена от его сторон AB и AC. Проведём перпендикуляры MK и ML к прямым AB и AC. Прямоугольные треугольники  и  равны по гипотенузе (AM - общая гипотенуза) и катету ( (по условию)).

3) Биссектрисы треугольника пресекаются в одной точке.

Доказательство. Пусть точка O - пересечение биссектрис  и  треугольника . Проведём перпендикуляры OK, OL и OM соответственно к прямым AB, BC и AC. По первому свойству биссектрисы ,  => точка O равноудалена от сторон => по второму свойству биссектрисы точка O лежит на биссектрисе  этого угла.

4) Биссектриса внешнего угла перпендикулярна биссектрисе угла, смежному к этому углу.

Доказательство.

 =>

 

Теорема о пропорциональных отрезках. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство.

, так как высота АС - общая

 =>

Формулы биссектрисы. Длина биссектрисы угла треугольника равна отношению удвоенного произведения сторон, образующих этот угол, помноженного на косинус половины угла, из которого она выходит, к их сумме.

Y

Доказательство.

 

Пусть , , ,

Формулы биссектрисы. Квадрат длины биссектрисы угла треугольника равна разности произведений сторон, образующих этот угол, и отрезков, которые она образует при делении третьей сторону.

Доказательство.

 

 

Y

 

Пусть , , , ,

 (по теореме косинусов)

 (так как смежные) => =

 (по теореме о пропорциональных отрезках)

3) Признаки подобия треугольников

Рассмотрим два треугольника  и  такие, что ,  и . В этом случае стороны AB и , BC и , CA и  называются соответственными.

Два треугольника  и  называется подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого, то есть

, ,

, где k - коэффициент подобия, равны отношению сходственных сторон.

Гомотетия с центром в точке O и коэффициентом k - преобразование плоскости, при котором точка A переходит в такую точку , что . При гомотетии каждая фигура переходит в подобную.

Признаки подобия треугольников

Теорема. Первый признак подобия (по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Пусть  и  такие треугольники, что , .

Пусть . Подвергнем треугольник  преобразованию гомотетии с коэффициентом подобия k и центром в точке O. При этом получим некоторый треугольник , равный треугольнику .

Так как преобразование подобия сохраняет углы, то  и  => для треугольников  и  верно, что  и , а также  => эти треугольники равны по второму признаку (по стороне и прилежащей к ней углам).

Так как треугольники  и  гомотетичны, а, значит, подобны, а  треугольники  и  равны, то треугольники  и  подобны.

Теорема. Второй признак подобия (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Пусть  и  такие треугольники, что  и , .

Подвергнем треугольник  преобразованию гомотетии с коэффициентом подобия k и центром в точке O. При этом получим некоторый треугольник , равный треугольнику .

Так как преобразование подобия сохраняет углы, то  => для треугольников  и  верно, что , а также  и  => эти треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники  и  гомотетичны, а, значит, подобны, а  треугольники  и  равны, то треугольники  и  подобны.

Теорема. Третий признак подобия (по трем сторонам). Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Пусть  и  такие треугольники, что ,  и .

Подвергнем треугольник  преобразованию гомотетии с коэффициентом подобия k и центром в точке O. При этом получим некоторый треугольник , равный треугольнику .

У этих треугольников соответствующие стороны равны: ,  и  => эти треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Так как треугольники  и  гомотетичны, а, значит, подобны, а  треугольники  и  равны, то треугольники  и  подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Теорема. Прямоугольные треугольники подобны:

1)      если острый угол одного треугольника равен острому углу другого треугольника

2)      если два катета одного треугольника пропорциональны двум катетам другого треугольника.

Доказательство. Так в прямоугольных треугольниках углы, содержащиеся между катетами, всегда равны, как прямые углы, то эти признаки представляют собой частные случаи общих признаков.

Теорема. Прямоугольные треугольники подобны, если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого треугольника.

Доказательство.

Пусть  и  такие треугольники, что  и , .

Подвергнем треугольник  преобразованию гомотетии с коэффициентом подобия k и центром в точке O. При этом получим некоторый треугольник , равный треугольнику .

Так как преобразование подобия сохраняет углы, то  => для треугольников  и  верно, что , а также  и  => эти треугольники равны по гипотенузе и катету.

Так как треугольники  и  гомотетичны, а, значит, подобны, а  треугольники  и  равны, то треугольники  и  подобны.

Теорема о соотношении площадей подобных треугольников. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство.

Пусть  и  - два подобных треугольника, причем .

Теорема. Все линейные элементы подобного треугольника относятся как коэффициент подобия.

Доказательство.

Пусть  и  - два подобных треугольника, причем .

1) Высота

 (по двум углам , ) => .

2) Биссектриса

 (по двум углам , ) => .

3) Медиана

 (по двум сторонам  и углу между  => .

4) Радиус описанной окружности

Пусть  и  - два подобных описанных треугольника, причем .

 (по двум сторонам  и углу между ними ) => .

5) Радиус вписанной окружности

Пусть  и  - два подобных вписанных треугольника, причем .

Центр вписанной окружности лежит на точке пересечения биссектрис => CO и  - биссектрисы =>  

 (по двум углам , ) =>.

4) Параллелограмм

Его свойства, признаки параллелограмма

Ломаная - линия из соединяющихся под углом отрезков прямых линий.

Многоугольник - фигура, образованная замкнутой ломаной без самопересечений вместе с частью плоскости, ограниченной этой ломанной. Стороны ломаной - стороны многоугольника, углы, составленные каждыми двумя соседними сторонами, - углы многоугольника, а их вершины - вершины многоугольника.

Четырехугольник - многоугольник, имеющий четыре стороны.

Параллелограмм - четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1-2) В параллелограмме противоположенные стороны и углы равны

Доказательство. Пусть ABCD - параллелограмм с меньшей диагональю BD. Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, то при AB║CD и BC║AD:  и  =>

 (по второму признаку) => ,  и .

3) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Пусть ABCD - параллелограмм с меньшей диагональю BD. Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, то при AB║CD и BC║AD:  и  =>

 (по второму признаку) => , .

4) Сумма соседних углов в параллелограмме равна 180°.

Доказательство. Пусть ABCD - параллелограмм с меньшей диагональю BD. Так как BC║AD, то  как соответственные углы

5) При делении параллелограмма диагональю, получившиеся треугольники равны.

Доказательство. Пусть ABCD - параллелограмм с меньшей диагональю BD.

 (по первому признаку)

6) Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны (1), а противоположных параллельны (2).

(1) Доказательство. Пусть ABCD - параллелограмм с меньшей диагональю BD и биссектрисами BK и DV.

 =>

 => BK║DV

(2) Доказательство. Пусть ABCD - параллелограмм с меньшей диагональю BD и биссектрисами BK и AV.

7) Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

Доказательство. Пусть ABCD - параллелограмм с меньшей диагональю BD и высотами AK и BH.

Так как KC║AD и AK и BH - высоты, то  и

Рассмотрим :

Рассмотрим :  

Рассмотрим :

Признаки параллелограмма

1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Доказательство. Подобно доказательству 1-2-ого свойства параллелограмма.

2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Доказательство. Подобно доказательству 1-2-ого свойства параллелограмма.

3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Доказательство. Подобно доказательству 3-его свойства параллелограмма.

4) Если сумма соседних углов в четырёхугольнике равна 180°, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Доказательство. Пусть ABCD - четырехугольник.

Так как , то BC║AD

Так как , то AB║CD

5) Если противоположные углы в четырёхугольнике равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Доказательство. Пусть ABCD - четырехугольник.

Сумма всех углов 360° => сумма соседних равна половине от всей суммы, то есть 180°. По предыдущему признаку этот четырёхугольник - параллелограмм.

Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны.

Свойства ромба

1) Все свойства параллелограмма.

2) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

Признак ромба

1) Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам, то этот параллелограмм - ромб.

Прямоугольник - четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

1) Все свойства параллелограмма.

2) Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

Квадрат - равносторонний прямоугольник.

Свойства квадрата

1) Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника.

2) Все углы квадрата прямые.

Признак квадрата

1) Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб - квадрат.

5) Правильные многоугольники

Их свойства

Ломаная - линия из соединяющихся под углом отрезков прямых линий.

Многоугольник - фигура, образованная замкнутой ломаной без самопересечений вместе с частью плоскости, ограниченной этой ломанной. Стороны ломаной - стороны многоугольника, углы, составленные каждыми двумя соседними сторонами, - углы многоугольника, а их вершины - вершины многоугольника.

Правильный многоугольник - такой многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Центр правильного многоугольника - точка, равноудалённая от всех его вершин и от всех его сторон.

Теорема о центре правильного многоугольника. В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудалённая от всех его вершин и от всех его сторон.

Пусть  - правильный n-угольник. Проведём биссектрисы p и q углов  и . Лучи p и q пересекутся в точке O.

Так как  (как половины равных углов), то треугольник  - равнобедренный => . Далее  по двум сторонам ( (по условию),  - общая) и углу между ними (, так как  - биссектриса ) =>  =>  и .

 => , то есть  - биссектриса . Проделывая те же рассуждения несколько раз, получаем, что , то есть точка O равноудалена от всех вершин n-угольника.

Теперь докажем, что точка O равноудалена от всех сторон n-угольника. Из предыдущего доказательства следует, что треугольники ,  :  ,  - равнобедренные и равны между собой => их высоты, проведённые на стороны n-угольника (основания), равны между собой => точка O равноудалена от всех сторон правильного многоугольника .

Следствия

1) Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

2) В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Теорема. Сумма углов в выпуклом n-угольнике треугольнике равна .

Доказательство. Любой выпуклый n-угольник можно диагоналями разбить на  треугольника. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то сумма всех углов всех треугольников, составляющих многоугольник, равна .

Следствие. Угол в правильном n-угольнике равен .

Выражение сторон правильного многоугольника через радиус описанной и радиус вписанной окружности.

Рассмотрим :

Сторона правильного n-угольника равна , где R - радиус описанной окружности или , где r - радиус вписанной окружности.

Примеры

Тип правильного n-угольника	Для радиуса описанной окружности	Для радиуса вписанной окружности
треугольник	R	2r
квадрат	R	2r
шестиугольник	R	r

Площадь правильного многоугольника

, где p - полупериметр, а r - радиус вписанной окружности.

6) Окружность

Вписанные и описанные окружности около треугольники. Окружность, вписанная в треугольник

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность является вписанной в этот многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.

 

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник  и обозначим буквой O точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки O перпендикуляры OK, OL и OM соответственно к сторонам AB, BC и AC. Так как точка O равноудалена от сторон , то  => окружность с центром O радиуса OK проходит через точки K, L и M. Стороны  касаются этой окружности в точках K, L, M, так как они перпендикулярны к радиусам OK, OL и OM => окружность с центром O радиуса OK является вписанной в .

Замечание. В треугольник можно вписать только одну окружность.

Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой будет равноудалён от сторон треугольника => совпадет с точкой O пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки O до сторон треугольника => эти окружности совпадут.

Следствие (расположение центра). В произвольном треугольнике центр вписанной в него окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.

Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров m и n к сторонам AB и BC треугольника . Так как каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка, то  и  =>  => точка O равноудалена от концов отрезка AC => лежит на серединном перпендикуляре => все три серединных перпендикуляра m, n и p к сторонам  пересекаются в одной точке.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник . Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки OA, OB и OC. Так как точка O равноудалена от вершин , то  => окружность с центром в точке O радиуса OA проходит через все три вершины треугольника => является описанной около .

Замечание. Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности, тогда центр каждой из них равноудалён от его вершин => совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию

от точки O до вершин треугольника => окружности совпадают.

Следствие (расположение центра). В произвольном треугольнике центр описанной окружности лежит на пересечении его серединных перпендикуляров.

Расположение центра окружности, описанной около различных видов треугольников

1) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе этого треугольника.

Доказательство. Пусть  - такой треугольник, что . Проведем MN - среднюю линию  => NM ║AC =>  => MN - серединный перпендикуляр AB.

M - точка, принадлежащая серединным перпендикулярам BC и AB => это точка пересечения серединных перпендикуляров =>  => это центр описанной окружности.

2) Центр описанной окружности правильного треугольника лежит в точке пересечения его высот, медиан и биссектрис.

Доказательство. Серединные перпендикуляры в правильном треугольнике лежат на высотах, так как высота в таком треугольнике делит сторону, на которую она падает, пополам, как и серединный перпендикуляр => точка пересечения серединных перпендикуляров, то есть центр описанной окружности лежит на пересечении высот, и, поскольку высоты совпадают с биссектрисами и медианами, то и на пересечении биссектрис и медиан.

7) Условия существования вписанных и описанных около окружности четырехугольников

Окружность, вписанная в четырехугольник

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность является вписанной в этот многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.

Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность, например, прямоугольник, не являющийся квадратом.

Свойство описанного четырехугольника:

1) В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказательство. По теореме об отрезках касательной отрезки, соединяющие вершины и точки касания равны => ,  => .

Признак описанного четырехугольника:

1) Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство.

Пусть ABCD - выпуклый вписанный четырёхугольник. Проведём касательную к окружности  такую, что ║CD.

Рассмотрим четырёхугольник :

Так как это описанный четырёхугольник, то

 => ABCD - описанный четырёхугольник.

Аналогичное доказательство, когда CD - секущая окружности.

Различные виды четырёхугольников:

1) В квадрат, ромб всегда можно вписать окружность, так как суммы противоположных сторон всегда равны.

2) В прямоугольник (не являющийся квадратом) и параллелограмм (не являющийся ромбом) никогда нельзя вписать окружность, так как сумма одной пары противоположных сторон всегда больше другой.

3) В трапецию не всегда можно вписать окружность.

Окружность, описанная около четырехугольника

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.

Не около всякого четырёхугольника можно описать окружность, например, прямоугольник, не являющийся квадратом.

Свойство вписанного четырёхугольника:

1) В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Доказательство. Воспользуемся теоремой о вписанной угле: ,  =>  => сумма другой пары противоположных углов также равна 180°.

Признак вписанного четырёхугольника:

1) Если сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180°, то этот четырехугольник можно описать.

Доказательство.

Пусть ABCD - такой четырёхугольник, что . Проведём окружность через три вершины A, B и D четырёхугольника. В таком случае, вершина C может оказаться как внутри окружности, так и снаружи.

Рассмотрим второй случай. По теореме об угле между двумя секущими:  . Так как по теореме о вписанном угле , то , то есть , что противоречит условию.

Аналогично можно доказать и первый случай, где в отличие от второго   => , что также противоречит условию => точка C не лежит ни внутри, ни снаружи окружности => точка C лежит на окружности => ABCD - вписанный четырёхугольник.

Различные виды четырёхугольников:

1) Около квадрата и прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180°.

2) Около параллелограмма (не являющимся квадратом и прямоугольником) и ромба (не являющимся квадратом) никогда нельзя описать окружность, так как сумма противоположных сторон не равна 180°.

3) Около трапеции можно описать окружность только в том случае, если эта трапеция равнобедренная.

8) Касательная и секущая к окружности

Окружность - множество точек на плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

Касательная - прямая, имеющая с окружностью одну общую точку (точка касания).

Отрезки касательных - отрезки, ограниченные точками касания и точкой пересечения касательных.

Секущая - прямая, пересекающаяся с окружностью в двух точках.

Угол между двумя секущими. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, расположенных между секущими.

Доказательство.

Построим ВК║NM

 

   

.

Угол между касательной и секущей. Угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, расположенных между ними.

Доказательство.

Построим DK║AB

.

Решение 1

Доказательство.

, так как АВ║ТК и

 равны по гипотенузе  и общему катету ОТ =>  как соответственные элементы равных треугольников. Также эти углы центральные => они опираются на равные дуги => .

Свойство касательной:

1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство. Пусть q - касательная к окружности с центром O, а A - точка касания. Допустим, что q не перпендикулярна радиусу, тогда OA - наклонная к прямой q. Так как перпендикуляр, проведённый из точки O к прямой q, меньше наклонной OA, то расстояние от центра окружности до прямой q меньше радиуса => прямая q и окружность имеют две токи пересечения => q - не касательная, что противоречит условию => предположение не верно => .

Признак (критерий касательной):

1) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство. Так как данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра окружности к данной прямой, то расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу => прямая и окружность имеют одну точку пересечения => эта прямая - касательная.

 

Теорема об отрезках касательных. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку.

Доказательство. По свойству касательной  =>  по общей гипотенузе OA и катету  =>  и  как соответственные элементы равных треугольников.

Теорема о пропорциональности отрезков хорд (теорема о квадрате касательной). Если касательная и секущая одной окружности пересекаются, то квадрат отрезка касательной от общей точки с секущей до точки касания равен произведению отрезков секущей от общей точки с касательной до точек касания с окружностью.

Доказательство.

 по двум углам =>

Теорема о пропорциональности отрезков секущих. Если две секущие пересекаются, то произведение отрезков одной секущей от общей точки до точек пересечения с окружностью равно произведению соответствующих отрезков другой секущей.

Доказательство.

Проведём касательную AK.

Построение касательной к окружности

Построим окружность с центром O и точку A вне этой окружности. Допустим, что AB - касательная. Так как прямая , где OB - радиус, то задача сводится к построению точки B на окружности, для которой  - прямой.

Проведём отрезок OA и отметим его середину - точку Q. Затем проводим окружность с центром в точке Q радиуса AQ. Эта окружность пересекает данную в двух точках - B и C. Прямые AB и AC - искомые касательные, так как  и .  и , вписанные в окружность с центром Q, - прямые, потому что опираются на диаметр.

Задача имеет два решения.

9) Вписанные углы

Их свойства

Окружность - множество точек на плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

Хорда - отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Центральный угол - угол с вершиной в центре окружности, а стороны пересекают окружность.

Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство.

Пусть  - вписанный угол окружности с центром в точке O, опирающийся на дугу . Рассмотрим три возможных случая расположения луча BO относительно угла :

1) Луч BO совпадает с одной из сторон угла , например, со стороной BC.

В этом случае дуга  меньше полуокружности => . Так как  - внешний угол равнобедренного треугольника , а углы  и  при основании равнобедренного треугольника равны, то  => .

2) Луч BO делит  на два угла.

В этом случае BO пересекает  в некоторой точке D. Точка D разделяет  на две дуги -  и .

По уже доказанному  и  =>   => .

3) Луч BO не делит ÐABC на два угла и не совпадает со сторонами этого угла.

В этом случае BO пересекает окружность в точке D. По уже доказанному

 и  => => .

Следствия:

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.

10) Свойства хорд окружности

Окружность - множество точек на плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

Хорда - отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Свойства хорд:

1) Хорды одной окружности равны <=> когда они равноудалены от центра.

(=>) Доказательство.

По свойству диаметра

 по гипотенузе  и катету  =>  как соответствующие элементы равных треугольников.

(<=) Доказательство.

 по гипотенузе  и катету  =>  как соответствующие элементы равных треугольников.

По свойству диаметра

2) Хорды одной окружности равны <=> когда они стягивают равные центральные углы или дуги.

(=>) Доказательство.

 по двум сторонам ,  и углу между ними  =>  как соответствующие элементы равных треугольников.

(<=) Доказательство.

 по трём сторонам ,  и  =>  как соответствующие элементы равных треугольников.

3) Хорды одной окружности параллельны <=> когда равны дуги, заключённые между ними.

(=>) Доказательство.

как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD. Также эти углы вписанные =>

(<=) Доказательство.

 => AB║CD

Свойство диаметра:

1) Диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром <=> когда он проходит через её середину.

(=>) Доказательство.

 по гипотенузе  и общему катету ОН =>  как соответственные элементы равных треугольников.

 (<=) Доказательство.

 по трем сторонам (,  (по условию), OH - общая) => как соответственные элементы равных треугольников.

Среднее геометрическое в окружности. Отрезок, соединяющий точку на окружности и точку диаметре и перпендикулярный диаметру, равен корню из произведения полученных отрезков диаметра.

Доказательство. Продолжим отрезок AO за точку O до пересечения с окружностью (до точки B).

По теореме об отрезках хорд: . А так как  (по свойству диаметра), то  или .

Угол между двумя хордами. Если две хорды пересекаются, то угол между ними равен полусумме дуг, образованных этими хордами.

Доказательство.

 - вписанный =>

 - вписанный =>

 - внешний угол  =>

.

Теорема об отрезках хорд. Если две хорды одной окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство.

Проведём BC и AD.

 по двум углам  (опираются на одну дугу) и  (вертикальные) =>  =>.

11) Преобразования фигур на плоскости

Движение и его свойства

Если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что задано отображение плоскости на себя.

Отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, называется движением.

Свойства движения:

1) Три точки, лежащие на одной прямой перейдут в три точки, также лежащие на одной прямой.

Доказательство.

, ,

, ,

, то есть   лежат на одной прямой.

2) Отрезок переводится в отрезок.

Доказательство. Пусть нам дан отрезок AB. Отметим на нём точку X.

.

 (так как при движении сохраняется взаимное расположение) => .

Если взять любую другую точку у AB, то она аналогично перейдёт в точку из  => .

3) Луч перейдёт в луч, прямая - в прямую.

Доказательство. Вытекает из 2-ого свойства.

4) Треугольник при движении переходит в треугольник.

Доказательство. Вытекает из 2-ого свойства.

5) Движение сохраняет величины углов.

Доказательство. Вытекает из 4-ого свойства.

6) При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

Доказательство. Вытекает из 5-ого свойства.

7) Движение обратимо (преобразование обратное движению, является движением).

Виды движения:

- параллельный перенос;

- осевая симметрия;

- центральная симметрия;

- поворот.

Параллельный перенос

1) Параллельный перенос - преобразование плоскости, при котором все точки перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние

2) Обозначается как , где  ------------ вектор переноса

Читается как  - образ точки X при параллельном переносе на вектор .

3) Параллельный перенос задаётся вектором переноса. Зная этот вектор, мы всегда определим точку, в которую перейдёт точка, переносимая фигурой.

4) Параллельный перенос является движением, который сохраняет направление.

Доказательство.

 => параллельный перенос сохраняет расстояния и, значит, является движением и параллельный перенос сохраняет направление.

5) Алгоритм построения образа точки:

Пусть дан вектор переноса .

а) Построим прямую l такую, что l║

б) Пусть

в) Построим вектор  такой, что

г)  - искомая точка

6) У параллельного переноса нет неподвижных точек (при условии, что ¹).

7) Преобразование, обратное параллельному переносу, является переносом на вектор , то есть обратное  - это .

8) Примером тождественного преобразования при данном виде движения может служить перенос на нулевой вектор ().

Свойства параллельного переноса:

1) Все свойства движения.

2) Параллельный перенос сохраняет направление.

Признаки параллельного переноса:

1) Движение, сохраняющее направление, является параллельным переносом.

Осевая симметрия

1) Точки X и  называются симметричными относительно прямой a, если прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку .

Осевая симметрия - преобразование плоскости, при котором каждая точка плоскости переходит в точку, симметричную относительно прямой a.

2) Обозначается как:

3) Осевая симметрия задаётся прямой a, осью симметрии.

4) Осевая симметрия является движением.

Доказательство.

Перейдём в систему координат :

Точка A будет иметь координаты , а B - координаты .

5) Алгоритм построения образа точки:

а) Строим прямую a

б) Опустим перпендикуляр AB из точки A на прямую a так, что

в) Проведём окружность с центром в точке O и радиусом OA так, что  - искомая точка

6) К неподвижным точкам осевой симметрии относятся множество точек, лежащих на прямой a.

7) Обратное преобразование - осевая симметрия.

8) Тождественное преобразование - поворот вокруг прямой а на 180° в пространстве.

Свойства осевой симметрии:

1) Все свойства движения.

Центральная симметрия

1) Назовём точки A и B симметричными относительно точки O, если точка O является серединой AB.

Центральная симметрия относительно точки O - преобразование плоскости, при котором любая точка плоскости переходит в симметричную ей относительно точки O.

2) Обозначается как , где O - центр симметрии.

3) Центральная симметрия задаётся точкой O - центром симметрии.

4) Центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное.

Доказательство.

 O - середина  и  =>

 

 => направление изменяется, а расстояние сохраняется => центральная симметрия - движение, изменяющее направление на противоположное.

5) Алгоритм построения образа точки:

Даны точки O - центр симметрии и точка A.

а) Построим прямую OA

б) Построим окружность с центром в точке O радиусом OA такую, что , где B - искомая точка.

6) Неподвижная точка - центр симметрии.

7) Обратное преобразование - это та же самая симметрия.

8) Тождественного преобразования не существует.

Свойства центральной симметрии:

1) Все свойства движения.

2) Центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное.

3) Прямая при центральной симметрии переходит в параллельную себе прямую.

Признаки центральной симметрии:

1) Движение, изменяющее направление на противоположное, является центральной симметрией.

Так как это движение меняет направление на противоположное, то . Пусть это движение переводит точку X  в точку  и точка O - середина отрезка  => . Учитывая всё это, получаем, что

=> O - середина отрезка  и так как Y - любая точка, то такое движение называется симметрией с центром в точке O.

Поворот

1) Поворот относительно точки O на угол  - преобразование плоскости, при котором любая точка плоскости A переходит в такую точку , что

O - центр поворота

 - угол поворота

2) Обозначается поворот следующим образом: .

Направление угла со знаком "+" при повороте против часовой стрелки, со знаком "---" - по часовой, причём обычно угол варьируется от -180º до 180º.

3) Задаётся поворот точкой O - центром поворота и углом  - углом поворота.

4) Поворот является движением.

Доказательство.

 =>

 (по двум сторонам и углу между ними) =>  => поворот является движением.

5) Алгоритм построения образа точки:

Пусть даны точка A, которую нужно перенести, точка O, относительно которой будет осуществляться поворот, и угол  - угол поворота.

а) Построим окружность с центром в точке O и радиусом OA

б) Построим угол  такой, что

в)  - искомая точка

6) К неподвижным точкам относится точка O - центр поворота.

7) Преобразование, обратное повороту, - поворот на угол -α.

8) Тождественное преобразование повороту - поворот на угол в 0º.

Свойства поворота:

1) Все свойства движения.

2) .

12) Аксиомы стереометрии

Способы задания плоскостей в пространстве

Плоскостями называются фигуры, на которых выполняется планиметрия и для которых верны аксиомы стереометрии.

Две плоскости, имеющие общую точку, называются пересекающимися плоскостями.

Прямая и плоскость, имеющие единственную общую точку, называются пересекающимися.

Полупространством, ограниченным плоскостью , называется фигура со следующими свойствами:

1)      Она содержит плоскость , но не совпадает с ней.

2)      Если точки A и B принадлежат фигуре, но не плоскости , то отрезок AB не имеет с  общих точек.

3)      Если же точка A принадлежит фигуре, а B нет, то отрезок AB имеет с  общую точку.

Аксиомы стереометрии

Аксиома плоскости. В пространстве существуют плоскости. Через каждые три точки пространства проходит плоскость.

Следствия:

1) Множество точек пространства бесконечно, так как из планиметрии известно, что множество точек плоскости бесконечно.

2) Через каждые одну или две точки пространства проходит плоскость, так как для любых двух точек можно взять третью из плоскости, существующей согласно аксиоме плоскости, и провести через них новую плоскость.

Аксиома пересечения плоскостей. Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть их общая прямая.

Аксиома принадлежности прямой плоскости. Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Аксиома разбиения пространства плоскостью. Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства.

Говорят, что две точки или фигуры лежат по одну сторону от плоскости, если они принадлежат одному из полупространств, ограниченных данной плоскостью. Аналогично определяются фигуры, лежащие по разные стороны от плоскости.

Аксиома расстояния. Расстояние между любыми двумя точками пространства не зависит от того, на какой плоскости, содержащей эти точки, оно измерено.

Теорема. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Доказательство. Пусть точки A, B, C не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме плоскости, через каждые три точки проходит плоскость. Поэтому существует плоскость, проходящая через точки A, В, С. Обозначим её .

Убедимся, что она единственная. Допустим, что через эти три точки проходит еще одна плоскость , отличная от . Эти плоскости  и  имеют общие точки, например точку А. По аксиоме пересечения плоскостей их пересечением является их общая прямая => эта прямая содержит три точки A, B, C. Но эти точки не лежат на одной прямой по условию => через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Следствие. В пространстве существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Для каждых двух точек можно подобрать еще две таким образом, что все четыре точки не будут лежать в одной плоскости.

Доказательство. Пусть даны две точки A и B. Проведем через них какую-нибудь плоскость  и возьмем на ней точку C, не лежащую на AB.

В пространстве существуют точки, не лежащие в плоскости . Возьмем одну таких точек - точку D. Таким образом, мы получили четыре точки не лежащие в одной плоскости. Ни в какой другой плоскости они тоже не лежат, так как через три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, согласно первой теореме, проходит единственная плоскость .

Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Пусть дана прямая a и точка A, не лежащая на этой прямой. Возьмем на a две точки B и C. Точка A не лежит с ними на одной прямой, так как через точки B и C проходит лишь одна прямая - это прямая a, а точка A не лежит на ней по условию.

Через точки A, B, и C, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, притом единственная. Прямая a имеет с ней две общие точки B и C и, по аксиоме принадлежности прямой к плоскости, лежит в плоскости ABC.

Таким образом, ABC - есть искомая плоскость, проходящая через прямую a и точку A. Любая плоскость, проходящая через прямую a и точку A, содержит точки B и C и совпадает с плоскостью ABC => искомая плоскость единственная.

Теорема. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Доказательство. Возьмем три точки A, B и C, притом одна из них - точка пересечения прямых B, а две другие лежат на разных прямых - A, C.

Тогда все три точки не лежат на одной прямой => через них проходит плоскость ABC и притом только одна. АВС - искомая плоскость, так как точки A, B и C принадлежат плоскости, значит и прямые AB и BC принадлежат плоскости ABC (аксиома принадлежности прямой к плоскости).

Теорема. Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна.

Доказательство. По определению, две параллельные прямые лежат в одной плоскости.

Эта плоскость единственная, так как согласно ранее доказанной теореме через одну из прямых и любую точку на другой можно провести только одну плоскость.

Рассмотренные выше теоремы указывают три способа задания плоскости:

1) Тремя точками, не лежащими на одной прямой.

2) Прямой и не лежащей на ней точкой.

3) Двумя пересекающимися прямыми.

13) Взаимное расположение прямых в пространстве

Параллельность прямых в пространстве. Признаки скрещивающихся прямых

Существуют три взаимоисключающих друг друга варианта расположения прямых в пространстве:

1)      Две прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точку - пересекающиеся прямые.

2)      Две прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек - параллельные прямые.

3)      Две прямые не лежат в одной плоскости.

Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Две прямые, лежащие в одной плоскости, и не имеющие общих точек называются параллельными.

Теорема. Через каждую точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, притом только одна.

Доказательство. Пусть даны прямая a и не лежащая на ней точка А. Согласно теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость . В этой плоскости, как известно из планиметрии, существует прямая b║a и проходящая через точку А.

Любая прямая проходящая через точку A и параллельно a, совпадает с прямой b. Итак, в плоскости , по аксиоме параллельности есть только одна прямая, проходящая через точку A параллельно прямой a, - прямая b => в пространстве существует только одна прямая, проходящая через  точку A параллельно прямой a.

Лемма. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую.

Доказательство. Пусть даны прямые a║b и плоскость , пересекающая a в точке A. Проведём через прямые a и b плоскость . Согласно аксиоме,  пересечёт  по некоторой прямой c. Так как b и c лежат в одной плоскости , то . Но прямая c также лежит и в плоскости , поэтому .

Теорема. Две прямые параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны прямой с. Прямые a и b не имеют общих точек (в противном случае через такую точку проходило бы две прямые, параллельные

прямой с, что невозможно вследствие первой теоремы). Возьмем любую точку . Согласно теореме, через b и A проходит плоскость . Покажем, что a лежит в плоскости .

Допустим, что это не так, тогда прямая a пересекает  в точке А. Согласно лемме, и прямая с должна пересекать , так как  с || а. Но поскольку b || с, то, по той же лемме, прямая b тоже должна пересекать , что невозможно, так как по условию b  лежит в . Итак, а и b лежат в плоскости  и не имеют общих точек, то есть а || b.

Признаки скрещивающихся прямых:

1) Если две прямые содержат четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то они скрещиваются.

Доказательство. Проведём через точки A, B и C плоскость . Прямая , а прямая CD пересекает , так как  по условию. Точка C отлична от точек прямой AB => AB и CD не лежат в одной плоскости => они скрещиваются.

2) Прямая, пересекающая плоскость, скрещивается с каждой прямой, лежащей в этой плоскости и не проходящей через точку пересечения заданной прямой и плоскости.

Доказательство. Пусть прямая , а прямая .

По условию, b имеет не более одной общей точки A с плоскостью . Если взять любые две точки на прямой a, точку A и любую другую точку на b, то прямые a и b будут иметь четыре точки, не лежащие в одной плоскости (так как только три из них принадлежит ). По первому признаку, a и b - скрещивающиеся прямые.

14) Взаимное расположение прямой и плоскости. Параллельность прямой и плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости. Следствия

Аксиома. Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Следствие. Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.

Поэтому для взаимного расположения прямой и плоскости возможны три случая:

1)      Прямая лежит в плоскости.

2)      Прямая имеет с плоскостью только одну общую точку.

3)      Прямая не имеет с плоскостью общих точек.

Если прямая и плоскость не имеют общих точек, то они называются параллельными.

Лемма. Прямые, параллельные данной плоскости и проходящие через данную точку, не лежащую в этой плоскости, содержатся в плоскости, параллельной данной, и заполняют её.

Доказательство. Пусть точка A не лежит в плоскости , а плоскость  проходит через точку A и параллельно . Тогда все прямые, которые лежат в  и проходят через A, не имеют общих точек с , то есть параллельны . Такие прямые заполняют всю плоскость . Других прямых, проходящих через A и параллельных , нет. Действительно, любая прямая, проходящая через А и пересекающая плоскость , пересекает и плоскость  (по лемме о пересечении прямой с двумя параллельными плоскостями).

Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая AB параллельна какой-нибудь прямой CD, расположенной в плоскости p, но не содержится в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Доказательство. Проведем через AB и CD плоскость t и предположим, что прямая AB где-нибудь пересекается с плоскостью p. Тогда точка пересечения, находясь на прямой AB, должна принадлежать так же и плоскости t, на которой лежит прямая AB, в то же время точка пересечения должна принадлежать и плоскости p => точка пересечения, находясь одновременно и на плоскости t и на плоскости p, должна лежать на прямой CD, по которой пересекаются эти плоскости => прямая AB пересекается с прямой CD. Но это невозможно, так как они параллельны по условию => нельзя допустить, чтобы прямая AB пересекалась с плоскостью p, и потому AB || p.

Следствия:

1) Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна первой прямой.

2) Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна линии их пересечения.

3) Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

15) Взаимное расположение прямой и плоскости. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Аксиома. Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Следствие. Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.

Поэтому для взаимного расположения прямой и плоскости возможны три случая:

1)      Прямая лежит в плоскости.

2)      Прямая имеет с плоскостью только одну общую точку.

3)      Прямая не имеет с плоскостью общих точек.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна ко всякой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения.

О луче или отрезке говорят, что он перпендикулярен плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости. Если отрезок перпендикулярен плоскости и его конец принадлежит ей, то отрезок называется перпендикуляром к данной плоскости.

Отрезок, конец которого лежит на плоскости, но не перпендикулярный ей, называется наклонной к плоскости.

Теорема. Если из одной точки A, не лежащей в плоскости- ,

проведены к  перпендикуляр AB и наклонная AC , то .

Доказательство. Перпендикуляр короче наклонной, так как в прямоугольном треугольнике  катет AB короче гипотенузы AC.

Теорема. Через каждую данную точку проходит не более одной прямой, перпендикулярной данной плоскости.

Доказательство. Допустим, что через некоторую точку A проходят две прямые a и b, перпендикулярные плоскости . Проведём через них плоскость . Эта плоскость пересекает плоскость  по прямой с.

Так как  и , то обе прямые a и b перпендикулярны с. Но из планиметрии известно, что это невозможно => через точку A проходит не более одной прямой, перпендикулярной плоскости .

Теорема. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство. Пусть прямая a пересекает плоскость  в точке O и перпендикулярна прямым b и c, лежащим в плоскости  и проходящим через точку О. Возьмём такую прямую d,

отличную от b и с. Проведём в плоскости  прямую, которая пересекает прямые b, c и d в точках B, C и D соответственно и отложим на прямой a отрезок . Отрезки OB и OC являются серединными перпендикулярами к , поэтому точки B и C равноудалены от концов  =>  и .

 по трём сторонам => .

 по двум сторонам и углу между ними => .

 по трём сторонам => , а так как эти углы смежные, то  =>  => так как d - случайная прямая, то прямая a перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости  => .

Свойства прямых, перпендикулярных плоскости

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство. Пусть,  а || b и . Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как , то .

По условию леммы b || a , поэтому b || MA. Таким образом, прямые b и c параллельны соответственно прямым MA и MC, угол между которыми равен 90°. Это означает, что и угол между прямыми b и c также равен 90°, то есть .

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство. Рассмотрим две параллельные

прямые а и b и плоскость  такую, что .

Проведем произвольную прямую m в плоскости . Так как , то . По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей . Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой лежащей в плоскости , то есть .

Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к данной плоскости, то они параллельны.

Доказательство.

Рассмотрим прямые a и b, перпендикулярные к плоскости . Пусть a не параллельна b. Через какую-нибудь точку M  прямой b проведем прямую , параллельную прямой а. По предыдущей теореме . Докажем, что прямая  совпадает с прямой b. Допустим, что это не так. Тогда в плоскости, содержащей

прямые  и b, через точку M  проходят две прямые, перпендикулярные прямой с, по которой пересекаются две плоскости ( и плоскость, содержащая

прямые  и b). Но из планиметрии известно, что это невозможно => a || b.

16) Перпендикуляр и наклонная

Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Расстоянием от точки O до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащего в плоскости, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки к плоскости, называется проекцией наклонной на эту плоскость.

Угол между прямой и плоскостью

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Потому естественно считать, что угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90°. Если же прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0°.

Рассмотрим общий случай, когда прямая, не перпендикулярная плоскости, пересекает её.

В геометрии, оценивая наклон прямой к плоскости, чаще рассматривают не угол между перпендикуляром и наклонной (в отличие от оптики в физике), а угол, дополняющий его до 90°.

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Ясно, почему это определение исключает случай, когда прямая перпендикулярна плоскости: в этом случае проекцией на плоскость является точка. Если же прямая параллельна плоскости, то её проекцией будет прямая, параллельная данной прямой, то есть угол между прямой и плоскостью равен 0°.

Теорема. Угол между прямой и её проекцией на данную плоскость является наименьшим среди всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости.

Доказательство. Отложим на прямой BE отрезок .

В  и :  AB - общая сторона, , но  как перпендикуляр и наклонная. Против большей стороны лежит больший угол => .

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.

Доказательство. Пусть отрезок AH - перпендикуляр

к плоскости , АМ - наклонная, a - прямая, проведенная в плоскости  через точку М, перпендикулярно к проекции HM.

, поэтому  => так как прямая a перпендикулярна к двум пересекающимся прямым AH и HM, лежащим в плоскости AHM, то она перпендикулярна к этой плоскости => прямая a перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в частности .

Обратная теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

Доказательство. Пусть теперь прямая а перпендикулярна к наклонной АМ.

, поэтому  => прямая а перпендикулярна к плоскости AMH, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и АМ => прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности, .

17) Взаимное расположение плоскостей. Перпендикулярность плоскостей.

Признаки перпендикулярности плоскостей. Свойства взаимно перпендикулярных плоскостей

Для расположения двух плоскостей в пространстве возможны два случая:

1) Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, тогда по аксиоме пересечения плоскостей их пересечение - есть прямая; такие плоскости называются пересекающимися.

2) Две плоскости не имеют общих точек; такие плоскости называются параллельными.

Рассмотрим частный случай пересекающихся плоскостей - перпендикулярные плоскости.

Пусть две плоскости  и  пересекаются по прямой с. Возьмем любую их общую точку О. Проведем через О в плоскостях  и  прямые а и b, перпендикулярные

прямой с. Если окажется, что , то плоскости и  называют взаимно перпендикулярными.

Свойства взаимно перпендикулярных плоскостей:

1) Прямая, лежащая в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их общей прямой, перпендикулярна другой плоскости.

Доказательство. Пусть плоскости  и  взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Пусть прямая а лежит в плоскости  и . Прямая а пересекает прямую с в некоторой точке О. Проведем через О в плоскости  прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как , то . Поскольку  и , то  по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

2) Прямая, имеющая общую точку с одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная другой плоскости, лежит в первой из них.           

Доказательство. Пусть плоскости  и  взаимно перпендикулярны, прямая   и а имеет с  общую точку А. Через точку А в плоскости  проведем прямую l, перпендикулярную прямой . Согласно первому свойству . Поскольку в пространстве через каждую точку проходит лишь одна прямая, перпендикулярная данной плоскости, то прямая а и l совпадают. Так как l лежит в плоскости , то и .

Признаки перпендикулярности плоскостей:

1) Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

Доказательство. Пусть плоскость  содержит прямую а, перпендикулярную плоскости . Тогда прямая а пересекает плоскость в точке О. Точка О лежит на прямой с, по которой пересекаются плоскости  и . Проведем в плоскости  через О прямую . Так как  и ,

то  и => .

2) Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Доказательство. Пусть две плоскости  и  пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости . Тогда через любую точку прямой а проведем прямую, перпендикулярную плоскости . Согласно второму свойству эта прямая лежит и в плоскости , и в плоскости , то есть совпадает с прямой а => .

18) Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Параллельность плоскостей

Признаки параллельности плоскостей, теорема о параллельных плоскостях

Для расположения двух плоскостей в пространстве возможны два случая:

1) Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, тогда по аксиоме пересечения плоскостей их пересечение - есть прямая; такие плоскости называются пересекающимися.

2) Две плоскости не имеют общих точек; такие плоскости называются параллельными.

Теорема. Первый признак параллельности плоскостей. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.

Действительно, такие две плоскости не могут иметь общих точек, так как, согласно теореме, через каждую точку данной прямой проходит лишь одна плоскость, перпендикулярная данной прямой. Следовательно, эти плоскости параллельны.

Основная теорема о параллельных плоскостях. Через каждую точку, не лежащую в данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство. Пусть даны плоскость  и не лежащая в ней точка А. Существует плоскость  || , проходящая через

точку А. Докажем единственность такой плоскости.

Возьмём любую другую плоскость , проходящую через точку А, и покажем, что  пересекает . Для этого достаточно доказать, что в плоскости  найдётся прямая, пересекающая плоскость . Такую прямую легко построить. Возьмем в  любую точку B, не лежащую в плоскости  и проведём в плоскости  через точки A и B прямую p. Прямая p пересекает плоскость  в точке А. Поэтому прямая p пересекает и плоскость  в некоторой точке С. Оказалось, что точка С - общая точка двух плоскостей  и  =>   пересекает .

Поскольку все плоскости, проходящие через точку A и отличные от плоскости , пересекают плоскость , то  - единственная плоскость, параллельная плоскости , которая проходит через точку А.

Следствия:

1) Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую из них.

Доказательство. В противном случае через одну точку проходило бы две плоскости, параллельные одной и той же плоскости, что невозможно по рассмотренной теореме.

2) Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.

Доказательство. Если две плоскости  и  параллельны плоскости , то они не имеют общей точки, так как в противном случае через эту точку проходят две плоскости, параллельные .

Теорема. Второй признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти две плоскости параллельны.

Доказательство. Рассмотрим прямые  и , a║ и b║.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости прямые a и b параллельны . Допустим, что плоскости  и  пересекаются по прямой d  => a║d и b║d (первое следствие признака параллельности прямой и плоскости).

Таким образом, в плоскости  через одну точку проходят две прямые a и b, параллельные прямой d, что невозможно => плоскости  и  не пересекаются => ║.

19) Многогранные углы

Измерение двугранного угла. Свойства плоских углов трёхгранного угла

Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами так, что выполняются условия:

1)      Никакие два плоских угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или целой стороны.

2)      У каждого из этих углов каждая его сторона является общей только с одним из других углов.

3)      От каждого угла к каждому можно перейти по углам, имеющим общие стороны.

4)      Никакие два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости.

При этих условиях плоские углы, образующие многогранный угол, называются его гранями, а их стороны - его рёбрами.

Двугранным углом называется фигура, образованная в пространстве двумя полуплоскостями, имеющими общую граничную прямую и не лежащими в одной плоскости. Граничная прямая называется ребром двугранного угла, а полуплоскости - рёбрами.

Измерение двугранных углов

На ребре m двугранного угла  с гранями  и  отмечают произвольную точку O. Из этой точки проводят лучи  и  так, что  и .

Плоский угол со сторонами a и b называется линейным углом двугранного угла . Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Трёхгранным углом называется многогранный угол, составленный из трёх плоских углов.

Теорема. Свойство плоских углов трёхгранного угла. В трёхгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов.

Доказательство.

Пусть в трехгранном угле  наибольший из плоских углов есть угол . Отложим на этом угле , равный углу , и проведем какую-нибудь прямую АС, пересекающую SD в некоторой точке D. Отложим .

Соединив B с A и C, получим , в котором .

 по двум сторонам и углу между ними => . Поэтому, если в выведенном неравен-стве отбросить равные слагаемые AD и AB, то получим, что . Теперь замечаем, что у треугольников и  две стороны одного равны двум сторонам другого, а третьи стороны не равны. В таком случае, против большей из этих сторон лежит больший угол => поэтому, если , то .

Прибавив к левой части этого неравенства угол , а к правой равный ему угол , получим неравенство  => .

Таким образом, даже наибольший плоский угол меньше суммы двух других углов.

Следствие. Отнимем от обеих частей неравенства  для трехгранного угла по углу  или по углу , получим

Рассматривая эти неравен-ства справа налево и приняв во внимание, что угол  как наибольший из трех углов больше разности двух других углов, мы приходим к заключению, что в трехгранном угле каж-дый плоский угол больше разности двух других углов.

Аналог теоремы косинусов для трёхгранных углов

, где  - плоские углы при вершине трёхгранного угла, а  - двугранный угол, противолежащий .

Аналог теоремы синусов для трёхгранных углов

, где  - плоские углы при вершине трёхгранного угла,

а  - двугранные углы, противолежащие соответственно граням с углами .

20) Призма

Виды призм. Площадь поверхности призмы. Объём призмы. Параллелепипеды и их свойства

Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер - вершинами многогранника.

Призмой называется многогранник, у которого две грани, называемые основаниями призмы, равны и их соответственные стороны параллельны, а остальные грани - параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований.

Из определения следует, что отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований призмы, равны и параллельны друг другу. Таким образом, призма является цилиндром, в основании которого лежит многоугольник.

Призма называется n-угольной, если её основание - выпуклый n-угольник. Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны основанию. Правильной призмой называется прямая призма, основание которой - правильный многоугольник.

Теорема. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство. Перпендикулярным сечением называется многоугольник , получаемый, от пересечения призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру. Стороны этого многоугольника перпендикулярны к рёбрам. Боковая поверхность призмы представляет собой сумму площадей параллелограммов. В каждом из них за основание можно взять боковое ребро, а за высоту - сторону перпендикулярного сечения. Поэтому боковая поверхность призмы равна

Следствие. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.

Доказательство. В таком случае основание является перпендикулярным сечением.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности призмы и площади оснований (то есть площади многоугольников).

Призма, у которой основание - параллелограмм, называется параллелепипедом.

Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани - прямоугольники.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1)  Рёбра, сходящиеся в каждой его вершине, взаимно перпендикулярны.

2)  Любые две его грани либо параллельны, либо перпендикулярны.

3)  Каждое его ребро перпендикулярно тем противоположным граням, на которых лежат концы этого ребра.

4) Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трёх его рёбер, исходящих из одной вершины.

Объем призмы

Теорема. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство. Сначала докажем эту теорему для треугольной призмы, а потом и для многоугольной.

Проведем через ребро  треугольной призмы  плоскость, параллельную грани , а через ребро  - плоскость, параллельную грани , затем продолжим плоскости обоих оснований призмы до пе-ресечения с проведенными плоскостями. Тогда мы получим параллелепипед , который диагональной плоскостью  делится на две треугольные призмы (из них одна есть данная). Докажем, что эти призмы равновелики.

Для этого проведем перпендикулярное сечение abcd. В сечении полу-чится параллелограмм, который диагональю ас делится на два равных треугольника -  и . Одна треугольная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание есть , а высота - ребро . Другая треугольная призма равновелика та-кой призме, у которой основание есть , а высота - ребро. Две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами равны (потому что при вложении они со-вмещаются) равны => призмы  и  равно-велики => объем данной призмы составля-ет половину объема параллелепипеда  => обо-значив высоту призмы через Н, получим, что объем треугольной призмы равен

Проведем через ребро  многоугольной призмы диагональные плоскости  и . Тогда данная призма рассечется на несколько треугольных призм. Сумма объемов этих призм составляет искомый объем. Если обозначим площади их оснований через , а общую высоту через Н, то получим, что объем многоугольной призмы равен .

Следствие. Объём призмы можно выразить как , где  - площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам, а b - боковое ребро.

21) Пирамида

Виды пирамид. Правильная пирамида. Свойства параллельных сечений в пирамиде. Усеченная пирамида. Площадь поверхности пирамиды. Объем пирамиды

Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань (основание) - многоугольник, а остальные грани (боковые грани) - треугольники, имеющие одну общую вершину (вершину пирамиды).

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, а также длина этого перпендикуляра называется высотой пирамиды.

Апофема - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ребро основания.

Если основание пирамиды - n-угольник, то пирамиду называют n-угольной.

Виды пирамид

1) Правильная пирамида - такая, у которой основание - правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Свойства правильной пирамиды:

а) Боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники.

б) Все боковые ребра равны между собой.

в) Все двугранные углы при ребрах основания равны (боковые грани наклонены к основанию одинаково).

г) Все плоские углы при вершине равны.

д) Все двугранные углы при боковых ребрах равны.

е) Все высоты боковых граней, опущенные на ребра основания (апофемы) равны.

ж) Около такой пирамиды можно описать шар (центр описанного шара лежит на прямой, содержащей высоту).

2) Тетраэдр - правильная треугольная пирамида, все четыре грани которой - правильные треугольники

Свойства тетраэдра:

а) Отрезки, соединяющие середины скрещивающихся ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

б) Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечениями медиан противолежащих граней, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношение 3:1, считая от вершины.

3) Пирамида, одна из боковых граней которой перпендикулярна основанию

При этом высота лежит в грани, перпендикулярно основанию пирамида (то есть высота является апофемой).

4) Пирамида, две соседние боковые грани которой перпендикулярны основанию

В этом случае высотой служит общее боковое ребро этих граней.

5) Пирамида, две несоседние грани которой перпендикулярны основанию

Высота лежит вне пирамиды на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани, перпендикулярные основанию.

Площадь поверхности пирамиды

Для тетраэдра , где a - сторона тетраэдра

Для правильной треугольной пирамиды , где a - ребро основания пирамиды, h - апофема.

Объем пирамиды

, где H - высота пирамиды

Для тетраэдра , где a - сторона тетраэдра

Для правильной треугольной пирамиды , где a - ребро основания пирамиды, H - высота пирамиды.

Свойства параллельных сечений в пирамиде

Сечение, параллельное основанию пирамиды представляет собой многоугольник, подобный основанию.

1) Плоскость этого сечения разбивает боковые ребра и высоту пирамиды на пропорциональные отрезки

Доказательство.

Прямые ab и AB можно рассматривать как линии пересечения двух параллельных плоскостей (основания и секущей) третьей плоскостью , поэтому ab║AB. По той же причине bc║BC, cd║CD : am║AM  =>

2) Площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний до вершины пирамиды.

Доказательство.

Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому , но  =>

3) Сечение отсекает от пирамиды пирамиду, подобную данной

Доказательство.

,  => ,  => . Из подобия остальных треугольников получаем, что  и  => пирамиды подобны.

Усеченная пирамида

Усеченной пирамидой называется часть полной пирамиды, заключенная между основанием и параллельным ему сечением. Сечением называют верхним основанием, а основание полной пирамиды - нижним основанием усеченной пирамиды (основания подобны). Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции. Расстояние между верхним и нижним основаниями - высота усеченной пирамиды.

Правильная усеченная пирамида - часть правильной пирамиды.

Площадь поверхности усеченной пирамиды

Для правильной треугольной усеченной пирамиды , где a - сторона верхнего основания, b - сторона нижнего основания, а h - апофема.

Объем усеченной пирамиды

, где S - площадь верхнего основания,  - площадь нижнего основания, а H - высота усеченной пирамиды.

22) Круглые тела

Цилиндр, конус, усеченный конус. Свойства параллельных сечений в круглых телах. Площади поверхностей

Поверхность вращения - это поверхность в пространстве, образованная вращением плоской кривой вокруг некоторой оси, лежащей в её плоскости.

Цилиндр (прямой круговой) - тело, ограниченное поверхностью вращения прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины противоположных сторон. Поверхность цилиндра состоит из двух кругов (оснований) и боковой поверхности. Плоскости оснований параллельны, расстояние между ними - высота цилиндра. Ось цилиндра - прямая, проходящая через центры оснований. Боковая поверхность состоит из образующих - равных отрезков, параллельных оси. Боковую поверхность можно развернуть на плоскость - получится прямоугольник.

Круги с центрами O и  - основания цилиндра,

отрезок AB - образующая, отрезок  - радиус основания, отрезок  - высота цилиндра, прямоугольник ABCD - осевое сечение, отрезок AC - диагональ осевого сечения, прямая  - ось вращения.

Свойства цилиндра:

1)      Около цилиндра всегда можно описать шар (его центр лежит на середине высоты)

2)      В цилиндр можно вписать шар, если диаметр основания цилиндра равен его высоте.

Конус (прямой круговой) - тело, ограниченное поверхностью вращения равнобедренного треугольника вокруг его оси симметрии. Поверхность конуса состоит из круга (основания) и боковой поверхности. Вершину конуса можно соединить с любой точкой окружности основания образующей - отрезком, лежащим на боковой поверхности. Высота конуса - расстояние от вершины до основания. Развертка конуса - сектор круга и круг.

Точка M - вершина конуса, круг с центром O - основание конуса, отрезок MA - образующая, отрезок MO - высота конуса, OA - радиус основания, BC - диаметр основания, треугольник  - осевое сечение,  - угол при вершине осевого сечения,  - угол наклона образующей к плоскости основания. Связь между углами: .

Свойства конуса:

1)        В конус всегда можно вписать шар (его центр лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса).

2)        Около конуса всегда можно описать шар (его центр лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, являющегося осевым сечением конуса).

Усеченный конус - часть конуса, заключенная между его основанием и сечением, параллельным основанию. Усеченный конус можно рассматривать как результат вращения равнобедренной трапеции вокруг её симметрии. При вращении основания трапеции описывают круги - основания усеченного конуса. Высота усеченного конуса - расстояние между основаниями. Развертка усеченного конуса - часть кругового кольца и два круга.

Круги с центрами O и  - нижнее и верхнее основания усеченного конуса, OA и  - радиусы нижнего и верхнего оснований, отрезок AB - образующая,  - угол наклона образующей к плоскости нижнего основания, отрезок  - высота, трапеция ABCD - осевое сечение.

Свойства усеченного конуса:

1)        В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда образующая равна сумме радиусов оснований.

2)        Вокруг усеченного конуса всегда можно описать шар.

Свойства параллельных сечений в круглых телах:

1)      Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, - прямоугольник.

2)      Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, - круг.

3)      Сечение, проходящее через середину высоты , делит цилиндр на два равных тела.

4)      Сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса, - равнобедренный треугольник.

5)      Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, - круг.

Площадь поверхностей круглых тел

За величину боковой поверхности цилиндра принимают предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот цилиндр правильной призмы, когда число сторон правильного многоугольника, вписанного в основание, неограниченно увеличивается (и, следовательно, площадь каждой боковой грани убывает)

Теорема. Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Доказательство.

Впишем в цилиндр какую-нибудь правильную призму. Пусть p - длина периметра основания, H - высота призмы. Предположим, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает => периметр p будет стремиться к пределу, принимаемому за длину окружности C, а высота H останется без изменений => боковая поверхность призмы, равная произведению , будет стремиться к пределу . Этот предел и принимается за величину боковой поверхности цилиндра, то есть .

Чтобы получить полную поверхность цилиндра, достаточно приложить к боковой поверхности сумму двух площадей оснований: .

За величину боковой поверхности конуса (полного или усеченного) принимается предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной пирамиды (полной или усеченной), когда число сторон правильного многоугольника, вписанного в основание, неограниченно увеличивается (и, следовательно, площадь каждой боковой грани неограниченно убывает).

Теорема. Боковая поверхность конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей.

Впишем в конус какую-нибудь правильную пирамиду. Пусть p - длина периметра основания, l - длина апофемы пирамиды, L - образующая конуса. Предположим, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает. Тогда периметр p будет стремиться к пределу, принимаемому за длину окружности основания C, а апофема l будет иметь пределом образующую конуса, значит боковая поверхность вписанной пирамиды, равная , будет стремиться к пределу. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности конуса, то есть .

Чтобы получить полную поверхность конуса, достаточно приложить к боковой поверхности площадь основания: .

Теорема. Боковая поверхность усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Доказательство.

Впишем в усеченный конус какую-нибудь правильную усеченную пирамиду. Пусть p - периметр нижнего основания,  - периметр верхнего, l - длина апофемы пирамиды,

L - образующая усеченного конуса. При неограниченном возрастании числа боковых граней вписанной пирамиды периметры p и  стремятся к пределам, принимаемым за длины окружностей оснований C и , а апофема l имеет пределом образующую L => величина боковой поверхности вписанной пирамиды, равная , будет стремиться к пределу . Этот предел и принимается за величину боковой поверхности усеченного конуса, то есть .

Чтобы получить полную поверхность усеченного конуса, достаточно приложить к боковой поверхности сумму площадей двух оснований: .

Следствие:

Если в трапеции , от вращения которой получается конус, провести среднюю линию BC, то  =>  => .

23) Тела вращения

Объём тел вращения. Объём цилиндра, конуса, шара

Шаром называется множество точек пространства, находящихся от данной точки (центра шара) на расстоянии, не большем данного ( - радиус шара).

Шаром называют часть пространства, ограниченную сферой. Шаром называют фигуру вращения полукруга вокруг его диаметра.

Шаровой сегмент - часть шара, отсеченного от него плоскостью.

Шаровой сектор - тело вращения плоского кругового сектора вокруг его оси симметрии. Шаровой сектор можно составить из конуса и шарового сегмента.

Объемом называется неотрицательная величина, обладающая следующими свойствами:

- равные тела имеют равные объемы;

- если тело состоит из конечного числа других тел, то его объем равен сумме объемов, составляющих его тело;

- объем куба со стороной 1, равен 1.

Объем тел вращения

Ограниченный отрезком  график функции , то есть , будем вращать вокруг оси Ox. Вырежем из этой фигуры область, находящуюся между x и . Чтобы найти объём данной области, построим два цилиндра так, чтобы данная область находилась между ними. Радиусы оснований внешнего и внутреннего цилиндров равны соответственно  и . При этом высоты обоих цилиндров равны соответственно , а  и .

Площадь основания внутреннего цилиндра равна , а площадь основания внешнего цилиндра равна  => объемы этих цилиндров равны соответственно  и ,

а объем <вырезанной> области  можно представить следующим образом:

, где  и  - объемы соответственно внутреннего и внешнего цилиндров.

Так как  и , то  =>

Таким образом, объем тела вращения равен:

Объем конуса

Объем цилиндра

Объем шара

Объем сегмента шара

H - высота сегмента

Объем сектора шара

H - высота сектора шара

Объем усеченного конуса

h - высота срезанного конуса

H - высота усеченного конуса

24) Сфера и шар

Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере

Сферой называется множество точек про-странства, удаленных отданной точки на заданное положительное расстояние. При этом данная точка называется центром сферы, а данное расстояние - её радиусом.

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом R есть множество таких точек X в пространстве, для которых .

Шаром называется множество точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не большем некоторого данного положительного расстояния. Указанная точка называется центром шара, а указанное расстояние - радиусом шара.

Таким образом, шар с центром в точке O и радиусом R есть множество точек  в пространстве, для которых . Шар есть объединение множества точек X, для которых , и множества , для которых .

Множество точек, для которых , - это сфера; она называется поверхностью шара; говорят также, что она ограничи-вает шар. Точки  шара, для которых , называются его внутренними точ-ками. Про эти точки говорят также, что они лежат внутри шара. Радиусом сферы и шара называют не только расстояние, но также любой отрезок, соединяющий их центр с точкой на сфере.

Диметром шара и сферы называют как величину, равную удвоенному их радиусу, так и любой отрезок, по которому пересекает шар прямая, проходящая через его центр. Точки сферы, являющиеся концами диаметра, называются диаметрально противоположными.

Пересечение шара и сферы с плоскостью

Теорема о пересечении шара и сферы плоскостью.

(1) Если расстояние от центра шара до данной плоскости больше радиуса шара, то плоскость не имеет с шаром общих точек.

(2) Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей его сферой только одну общую точку.

(3) Если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара, то пересечение шара с плоскостью представляет собой круг. Центр этого круга находится в основании перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость, или в самом центре шара, если плоскость проходит через центр. Пересечение плоскости со сферой представляет окружность указанного круга.

Доказательство.

Пусть точка O - центр шара, R - его радиус, точка A - проекция точки O на данную плоскость a так, что . Величину  обозначим d.

(1)  => для любой точки X плоскости a выполняются неравенства  => на плоскости a нет точек шара.

(2) , то есть  => для любой точки X плоскости a, отличной от A,  => поэтому на плоскости лежит только одна точка шара - точка A.

(3) . Докажем, что пересечение шара и плоскости а - круг в плоскости а с центром в точке A и радиусом . Иначе говоря, надо доказать совпадение двух множеств: первое из них - множество общих точек шара и плоскости; второе - указанный круг, для этого докажем два утверждения:

а)  Каждая общая точка шара и плоскости принадлежит указанному кругу.

б)  Каждая точка указанного круга является общей точкой шара и плоскости.

(а) Доказательство. Пусть точка X - общая для шара и плоскости, причем не совпадает с точкой А. Для нее выполняется равенство . Так как X лежит в шаре, то  =>  =>  =>  или . Последнее не-равенство и означает, что точка X лежит в круге с центром A и радиусом .

(б) Доказательство. Пусть теперь точка X - лежит в указанном круге, то есть в круге на плоскости а с центром в точке A и радиусом . Таким образом,  =>  => точка X лежит внутри шара.

Заметим, что наше доказательство предполагает, что плоскость a не проходит через центр шара O. В случае, когда она проходит через его центр, доказательство будет аналогичным, учитывая, что .

Рассуждения о пересечении сферы с плоскостью проводятся аналогично, только вместо неравенства появляются равенства.

Из формулы  видно, что ра-диус r будет наибольшим, когда , то есть когда плоскость проходит через центр. Тогда . Поэтому такой круг, по ко-торому шар пересекает плоскость, прохо-дящая через центр, называется большим кругом, а его окружность - большой ок-ружностью.

К примеру, на глобусе экватор представляет собой большую окружность. Меридианы - полуокружности больших окружностей с концами в двух диаметрально противоположных точках, соответствующих Северному и Южному полюсам. Прямая, проходящая через полюсы, перпендикулярна плоскости экватора. Параллели - окружности, по которым пересекают поверхность глобуса плоскости, перпендикулярные прямой, проходящей через полюсы.

Следствие. Теорема о касании сферы и плоскости. Если плоскость касается сферы, та она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Обратно, если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она касается сферы.

Касательная плоскость к сфере

Касание шара и сферы с плоскостью в том случае, когда сфера (или ограниченный ею шар) имеет с плоскостью единственную общую точку, говорят, что сфера (или шар) касается этой плоскости, а их единственная общая точка называется их точкой касания.

Плоскость, которая касается сферы, называется касательной (или опорной) плоскостью этой сферы. Говорят, что прямая касается сферы, если она лежит в касательной плоскости к сфере и проходит через точку касания.

25) Вписанная в многогранник сфера

Условия существования вписано в многогранник сферы. Пирамида и сфера. Призма и сфера

Сферой называется множество точек пространства, удаленных от данной точки на заданное положительное расстояние. При этом данная точка называется центром сферы, а данное расстояние - её радиусом. Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом R - есть множество таких точек X в пространстве, для которых .

Рассмотрим понятие касательной плоскости к сфере. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку. Такая плоскость называется касательной к сфере.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Если сфера касается двух плоскостей, то её центр удален от каждой плоскости на расстояние, равное радиусу сферы.

Если касательные плоскости параллельны, то точки касания являются концами одного диаметра сферы, обеим плоскостям.

Если касательные плоскости пересекаются, то центр сферы принадлежит биссектору двугранного угла между плоскостями. Точки касания сферы с плоскостями принадлежат граням этого угла.

Сфера называется вписанной в многогранный угол, если она касается каждой его грани.

Теорема. В каждый трехгранный угол можно вписать сферу.

Доказательство. Центр сферы, вписанной в трехгранный угол, должен принадлежать биссекторам его двугранных углов. Известно, что эти биссекторы пересекаются внутри трехгранного угла по лучу l. Пусть О - точка этого луча, не совпадающая с вершиной угла, k - расстояние от этой точки до плоскостей граней. Сфера с центром О и радиусом R касается всех граней угла, то есть вписана в данный трехгранный угол

Заметим, что луч l, не считая его начала, есть множество центров сфер, вписанных в данный трехгранный угол.

Сфера называется вписанной в многогранник (а многогранник - описанным около сферы), если она касается всех его граней.

Теорема. В любой тетраэдр можно вписать сферу, причем только одну.

Доказательство. Известно, что биссекторы двугранных углов тетраэдра пересекаются в одной точке. Сфера с центром в этой точке и радиусом, равным рас-стоянию от этой точки до плоскости какой-либо грани тетраэдра, касается всех граней тетраэдра. Значит, в любой тетраэдр можно вписать сферу.

Центр вписанной сферы является общей точкой биссекторов всех внутренних двугранных углов многогранника => вписанная сфера существует только одна.

Не в каждом многограннике биссекторы двугранных углов пересекаются в одной точке, значит => не в каждый многогранник можно вписать сферу.

Теорема. Если в основание пирамиды можно вписать окружность, а основание высоты пирамиды является центром этой окружности, то в пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Пусть  - точки касания вписанной в ос-нование пирамиды окружности с его сторонами, Р - центр вписанной окружности. Прямоугольные треугольники  равны и имеют общий катет SP => биссектрисы углов при вершинах  пересекают этот катет в одной и той же точке О. Из точки О опустим перпендикуляры  на гипотенузы

 => . Аналогично имеем, что . Учитывая, что , получаем, что точка О равноудалена от плоскостей всех граней пирамиды. Значит, сфера с центром O и радиусом  касается всех граней, то есть вписана в данную пирамиду.

Следствие. Из доказанного утверждения следует, что в любую правильную пирамиду можно вписать сферу.

Теорема. Для того чтобы в призму можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы в перпендикулярное сечение призмы можно было вписать окружность и чтобы высота призмы была равна диаметру этой окружности.

Следствие. В правильную призму можно вписать сферу тогда только тогда, когда ее высота равна диаметру окружности, вписанной в основание.

26) Описанная около многогранника сфера

Условия существования описанной около многогранника сферы. Пирамида и сфера. Призма и сфера

Сферой называется множество точек пространства, удаленных от данной точки на заданное положительное расстояние. При этом данная точка называется центром сферы, а данное расстояние - её радиусом. Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом R - есть множество таких точек X в пространстве, для которых .

Сфера называется описанной около многогранника (а многогранник - вписанным в сферу), если все вершины многогранника лежат на сфере.

Теорема. Около любого тетраэдра можно описать сферу, причем только одну.

Доказательство. Доказать, что через любые четыре точки, не лежащие в одной плоскости, можно провести сферу и притом только одну.

Возьмем и соединим любые три точки и в полученном треугольнике проведем серединные перпендикуляры. Как известно они будут пересекаться в одной точке и будут равноудалены от всех сторон треугольника. Если провести прямую перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через точку пересечения серединных перпендикуляров, то любая точка лежащая на данной прямой a будет равноудалена от сторон треугольника. Четвертую точку возьмем и соединим с одной из вершин треугольника. Проведем серединный перпендикуляр к полученной прямой b через прямую a. Полученная точка O будет равноудалена от всех четырех точек => будет являться центром описанной сферы.

Из проведенного рассуждения видно, что такая сфера может быть только одна.

Теорема. Для того чтобы около пирамиды можно было описать сферу, необходимой необходимо и достаточно, чтобы около основания, пирамиды можно было описать окружность.

Доказательство. Доказательство этого утверждения аналогично доказа-тельству того, что около всякого тетраэдра можно описать сферу.

Теорема. Для того чтобы около призмы можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и чтобы около её основания можно было описать окружность.

Доказательство. Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведенном через центр окружности, описанной около основания. Центр сферы, описанной около призмы, является серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы.

Из указанных утверждений следует, что около любой правильной пирамиды и около любой правильной призмы можно описать сферу.