Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса

Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса 

√1. Понятие площади плоской фигуры. Площади треугольников.

Площадь - положительная величина, обладающая следующими  свойствами:

1. Если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.

2. Равные фигуры имеют равные площади.

Фигуры, имеющие равные площади называются равновеликими.

Площади треугольников:

1. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

На стр. 121 (Теорема:) до стр. 122 (Теорема. Если угол:)

2. Формула Герона.

Площадь треугольника равна, где p - полупериметр и a, b, c - стороны  этого треугольника.

Условие:

Δ ABC

Доказательство:

Проведём высоту AD.

Пусть BC=a, AC=b, AB=c, AD=h, BD=x, тогда CD=a-x.

  По теореме Пифагора AD2=AB2-CD2 и AD2=AC2-CD2 => AB2-BD2=AC2-CD2, т. е. с2-x2=b2-(a-x)2 => 2ax=a2+c2-b2.

По теореме Пифагора AD2=AB2-BD2 => h2=c2-x2

Последовательно разложив на множители как разности квадратов в числителе, получаем, что

Пусть периметр (a+b+c) треугольника АВС будет равен 2р =>

=>

 
a+b-c=2p-2c

 

a+c-b=2p-2b

b+c-a=2p-2a

Мы знаем, что S==> S=

3. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Условие:

Δ ABC

Доказательство:

Проведём высоту AD.

Пусть BC=a, AC=b, AB=c, AD=h.

Воспользуемся первой формулой площади треугольников S=.

Теперь выразим высоту h через синус угла B:

h=c*sin B => S=

4. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

По следствию из первой площади.

5. Площадь треугольника равна отношению произведения всех его сторон на четыре радиуса описанной окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Условие:

Δ ABC

Окружность (O;r) - описанная около Δ ABC

Доказательство:

По формуле радиуса описанной окружности мы знаем, что 2r==> sin A =.

Воспользуемся третьей формулой площади треугольников S=.

Теперь подставим:

S=.

6. Площадь правильного треугольника равна квадрату стороны на корень из трёх, делённое на четыре.

Условие:

Δ ABC - правильный

Доказательство:

Проведём высоту BH.

Пусть AB=BC=AC=a.

Площадь равна .

Выразим BH  в Δ ABH:

BH=AB*sin A

sin A = sin 60 =

Теперь подставим:

S=

7. Площадь треугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.

Условие:

Δ ABC

Окружность (O;r) - вписанная.

Доказательство:

Проведём высоты из точки O на стороны треугольника, так, что OK AB, ON BC, OM AC.

OK=ON=OM=r, т. к. являются радиусами, проведёнными в точки касания.

SΔ ABC=SΔ ABO+SΔ BOC+SΔ COA.

SΔ AOB=

=>

 
SΔ BOC=

 

SΔ AOB=

SΔ ABC =

SΔ ABC =

Пусть периметр (AB+BC+AC) = 2p => S=pr.

8. Площадь треугольника равна произведению радиуса вневписанной окружности касающейся стороны a на разность полупериметра и стороны a.

Условие:

Окружность (O;r) - вневписанная.

Доказательство:

Проведём высоты из точки O на стороны треугольника, так, что OK AB, ON BC,

OM AC.

OK=ON=OM=r, т. к. являются радиусами, проведёнными в точки касания.

SΔ ABC=SΔ AOB+SΔ ACO-SΔ BOC

SΔ AOB=

=>

 
SΔ ACO=

 

SΔ BOC=

SΔ ABC =

SΔ ABC =

Пусть периметр (AB+BC+AC) = 2p, BC=a => S=r(p-a).

√2. Понятие площади плоской фигуры. Площади четырехугольников.

Площадь - положительная величина, обладающая следующими  свойствами:

1. Если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.

2. Равные фигуры имеют равные площади.

Фигуры, имеющие равные площади называются равновеликими.

Площади четырёхугольников:

Площадь произвольного четырёхугольника.

Площадь произвольного четырёхугольника равна произведению диагоналей на синус угла между ними пополам.

Условие:

ABCD - произвольный четырёхугольник

AC, BD - диагонали.

Доказательство:

Пусть AC=d1, BD=d2,    AOB=α.

S ABCD=SΔ AOB+ SΔ BOC+ SΔ COD+ SΔ OAD

SΔ AOB=

=>

 
SΔ BOC=

 

SΔ COD=

SΔ AOD=

S ABCD =

Площадь квадрата.

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

На стр. 117 (49. Площадь:) до стр. 118 (50. Площадь:)

Площадь параллелограмма (ромба).

Площадь параллелограмма (ромба) равна произведению основания на высоту проведенную к этому основанию.

На стр. 120 (Теорема. Площадь:) до стр. 121 (52. Площадь:)

Площадь трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

На стр. 123 (Теорема:) до стр. 124 (Задачи:)

Площадь ромба.

Площадь ромба равна произведению диагоналей пополам.

Доказательство:

Мы знаем, что площадь произвольного четырёхугольника равна произведению диагоналей на синус угла между ними пополам. Если угол между ними 900, то его синус равен единице => площадь равна произведению диагоналей пополам. В случае с ромбом диагонали перпендикулярны => площадь ромба равна произведению диагоналей пополам.

Площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

На стр. 118 (50. Площадь:) до стр. 119 (Вопросы и:)

√3. Соотношение между элементами прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора. Теорема обратная теореме Пифагора. Теорема о среднем пропорциональном. Формулы медианы, биссектрисы, высоты, радиусов вписанной и описанной окружности для прямоугольного треугольника.

Соотношение между элементами прямоугольного треугольника.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На стр. 125 (54. Теорема:) до стр. 126 (Теорема доказана:)

Теорема обратная к теореме Пифагора.

Если квадрат одной сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

На стр. 127 (55. Теорема:) до стр. 127 (По теореме:)

Теорема о среднем пропорциональном.

На стр. 142 (Отрезок XY:) до стр. 143 (64. Практические:)

Формулы медианы, биссектрисы, высоты, радиусов вписанной и описанной окружности для прямоугольного треугольника.

Формула медианы.

Медиана, проведённая к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

Условие:

Δ ABC - прямоугольный треугольник

   A=900

AO - медиана.

Доказательство:

Проведём прямую CD║AB

Продолжим AO за точку O

AO ∩ CD=D

Рассмотрим треугольники Δ ABO и Δ COD:

=>

 
   ABO=   DCO, т. к. AB║CD

 

   BOA=   DOC (вертикальные)

BO=OC, т. к. AO - медиана

эти треугольники равны (по второму признаку) => AB=CD

как соответствующие элементы равных треугольников.

   DCA=900, т. к. AB║CD и AB AC

Рассмотрим треугольники Δ СAB и Δ CAD:

Они равны по двум катетам (AB=CD, AC - общий) =>

   OAC=   OCA как соответствующие элементы равных треугольников => в треугольнике AOC AO=OC => медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

Формула биссектрисы.

Биссектриса в прямоугольном треугольнике равна отношению произведения катетов на корень из двух к их сумме.

Доказательство:

Мы знаем формулу биссектрисы треугольника для произвольного угла:

k=, где k - биссектриса; b, c - стороны, на который биссектрисы не падает, A - угол, из которого выходит биссектриса

В нашем случае b и с - катеты, а угол A=900.

В итоге, k=

Формула высоты.

Высота в прямоугольном треугольнике равна корню из произведения отрезков, поделённых этой высотой.

Доказательство:

В нашем случае высота является средним пропорциональным => равна корню из произведения отрезков, поделённых этой высотой.

Формула радиуса описанной около прямоугольного треугольника окружности.

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Мы знаем, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе этого треугольника => эта гипотенуза является диаметром, а диаметр равен двум радиусам => радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы.

√4. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников. Теорема о соотношении площадей подобных треугольников. Соотношение линейных элементов подобных треугольников.

Подобные треугольники.

На стр. 133 (57. Определение:) до стр. 134 (Оказывается:)

Признаки подобия треугольников:

На стр. 137 (59. Первый:) до стр. 139 (Вопросы:)

Теорема о соотношении площадей подобных треугольников.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

На стр. 134 (Пусть треугольники:) до стр. 135 (Вопросы:)

Все линейные элементы подобного треугольника относятся как коэффициент подобия.

Условие:

Δ ABC ~ Δ XYZ

BH,YR - высоты

BK,YP - биссектрисы

BD,YO - медианы.

Доказательство:

Высота:

Δ BHC ~ Δ YRZ (по двум углам      (    Z=   C,    BHC=   YRZ )) =>

Биссектриса:

Δ BKC ~ Δ YPZ (по двум углам      (    Z=   C,    KBC=   PYZ )) =>

Медиана:

Δ BKC ~ Δ YPZ (по двум сторонам ( ) и углу между (   C=    Z) =>

Радиус описанной окружности:

Условие:

Δ ABC

Окружность(O;r) - описанная.

Доказательство:

Проведём радиусы QM, QL, OB, OA.

뿷퇶b툮bAB=뿷퇶b툮bLM (вписанные углы C и N равны) => углы АОВ=LQM равны.

 Треугольники равнобедренные (АО=ОВ=r и LQ=QM=q) => углы при основании равны =>

Δ ABO ~ Δ LQM =>

.

Радиус вписанной окружности:

Условие:

Δ ABC

Окружность(O;r) - вписанная.

Доказательство:

Проведём радиусы QU и OH, биссектрисы TQ и CO.

Углы Н и U прямые (ОН - радиус проведенный к касательной, QU тоже радиус к касательной)

Угол НСО равен углу UTQ, т. к. ОС и TQ - биссектрисы (центр вписанной окружности лежит на точке пересечения биссектрис) =>

Δ UQT ~ Δ HOC =>

√5. Биссектриса треугольника и её свойства (Теорема о точке пересечения биссектрис, теорема о пропорциональных величинах, две формулы длины биссектрисы).

Биссектриса угла - луч, делящий угол на две равные части.

Биссектриса треугольника - отрезок, делящий угол треугольника пополам и соединённый с противоположной стороной.

Теорема о точке пересечения биссектрис.

Биссектрисы треугольника пресекаются в одной точке.

На стр. 169 (Следствие:) до стр. 170 (Серединным:)

Теорема о пропорциональных отрезках.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Условие:

Δ АВС

ВК - биссектриса.

Доказательство:

, т. к. высота к АС общая

 =>

Формулы биссектрисы:

Длина биссектрисы угла треугольника равна отношению удвоенного произведения сторон, образующих этот угол, помноженного на косинус половины угла, из которого она выходит, к их сумме.

Условие:

Δ АВС

AK - биссектриса.

Y

 

 
Доказательство:

 

=>

 
Пусть AB=c, BC=a, AC=b, AK=k

 

SΔ АВС= SΔ АВK+ SΔ AKС

*sin A = *sin  + *sin

sin A = 2sin *cos

cb*sin *cos = * sin + *sin

2bc*cos = k(c+b)

k=

Квадрат длины биссектрисы угла треугольника равна разности произведений сторон, образующих этот угол, и отрезков, которые она образует при делении третьей сторону.

Условие:

Δ АВС

AK - биссектриса.

Y

 

 
Доказательство:

 

Пусть AB=c, BK=x, KC=y, AC=b, AK=k

По теореме косинусов

cos AKB =

cos AKC =

cos AMB = -cos AMC (т. к. смежные) =>

=

k2y+x2y-c2y = -k2x-y2x+b2x

k2y+k2x = b2x+c2y-x2y-y2x

 (по теореме о пропорциональных отрезках)

Свойства биссектрисы:

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

На стр. 169 (Доказательство:) до стр. 169 (2.) Пусть:)

Каждая точка, лежащая  внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

На стр. 169 (2.) Пусть:) до стр. 169 (Следствие:)

√6. Медиана треугольника и её свойства.

Медиана треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Формула длины медианы:

Длина медианы равна удвоенной сумме квадратов сторон, на которые медиана не падает, минус квадрат стороны, на которую она падает, делённой на четыре.

Условие:

Δ АВС

AM - медиана.

Y

 

 
Доказательство:

 

Пусть AB=c, BM=MC=a/2, AC=b, AM=ma.

По теореме косинусов

cos AMB =

cos AMC =

cos AMB = -cos AMC (т. к. смежные) =>

Свойства:

1. Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке;

На стр. 141 (Задача 1:) до стр. 142 (63. Пропорциональные:)

2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Доказательство:

Площади этих треугольников будут равны, т. к. основания равны, а высота общая.

3. Точка пересечения медиан делит их в отношение 2:1;

На стр. 141 (Задача 1:) до стр. 142 (63. Пропорциональные:)

4. Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.

Доказательство:

Мы знаем, что медианы пересекаясь в одной точке, делятся

в отношение 2 к 1.

=>

 
Поскольку SΔ B1CO относится к SΔ BCO как 2 к 1    

 

SΔ CA1O равна SΔ A1BO                 

SΔ BCO относится к SΔ COA1 как 1 к 1 => равные.

Аналогично можно доказать, что площади остальных треугольников равны.

√7. Окружность. Зависимость между дугами, хордами и расстоянием хорд от центра. Свойство диаметра.

Окружность - множество точек на плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

Хорда - отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Свойства хорд:

1. Хорды одной окружности равны ó когда они равноудалены от центра.

(=>)

Условие:

O - центр окружности

АВ и СD - хорды

OH и OH1 - высоты

СD=AB

Доказательство:

По свойству диаметра

=>

 
HD=CD/2, т. к. OH CD,

 

BH1=AB/2, т. к. OH1 AB.

HD=BH1

OD=OB, т. к. OB и OD - радиусы.

=>

 
Рассмотрим  Δ ODH и Δ BOH1:

 

Они равны по гипотенузе (OD=OB) и катету (HD=BH1)

OH=OH1 как соответствующие элементы равных треугольников.

(<=)

Условие:

O - центр окружности

АВ и СD - хорды

OH и OH1 - высоты

OH=OH1

Доказательство:

OD=OB, т. к. OB и OD - радиусы.

Рассмотрим  Δ ODH и Δ BOH1:

Они равны по гипотенузе (OD=OB) и катету (OH=OH1)

HD=BH1 как соответствующие элементы равных треугольников.

По свойству диаметра

=>

 
HD=CD/2, т. к. OH CD,

 

BH1=AB/2, т. к. OH1 AB

HD=BH1

СD/2=AB/2  => CD=AB.

2. Хорды одной окружности равны ó когда они стягивают равные центральные углы или дуги.

(=>)

Условие:

O - центр окружности

АВ и СD - хорды

     COD=    AOB

Доказательство:

AO=OB=OD=OC, т. к. AO, OD, OC, OB -

радиусы.

Рассмотрим Δ COD и Δ ABO:

Они равны по двум сторонам

O=OD, OA=OB) и углу между ними

 (   COD=    AOB) => СD=AB как соответствующие элементы равных треугольников.

(<=)

Условие:

O - центр окружности

АВ и СD - хорды

AB=CD

Доказательство:

AO=OB=OD=OC, т. к. AO, OD, OC, OB -

радиусы.

Рассмотрим Δ COD и Δ ABO:

Они равны по трём сторонам

O=OD, OA=OB, CD=AB (по условию)) =>

     COD=    AOB как соответствующие элементы равных треугольников.

3. Хорды одной окружности параллельны ó когда равны дуги, заключённые между ними.

(=>)

Условие:

СD и AB - хорды

AB║CD

Доказательство:

Соединим точки C и В.

Т. к. AB║CD (по условию), то

    ABC=     BCD (накрест лежащие)

Также эти углы вписанные =>

=>

 
    ABC= 2      AC

 

    BCD= 2      BD

    AC=     BD

 
 
 

 


(<=)

Условие:

СD и AB - хорды

     AC=     BD

 Доказательство:

Соединим точки С и В.

=>

 
    ABC= 2      AC

 

    BCD= 2      BD

     AC=     BD

    ABC=    BCD

Т. к.     ABC=    BCD, то AB║CD

Свойство диаметра:

Диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром ó когда он проходит через её середину.

(=>)

Условие:

О - центр окружности

АВ - диаметр

МК - хорда

MK AB

Н - середина МК

Доказательство:

Соединим точки M и О, К и О.

MO=OK, т. к. MO и ОК - радиусы.

Рассмотрим Δ MOH и Δ HOK:

Они равны по гипотенузе (МО=ОК) и общему катету (ОН) =>

MH=HK как соответственные элементы равных треугольников.

(<=)

Условие:

О - центр окружности

АВ - диаметр

МК - хорда

H - середина МК

МН=НК

Доказательство:

Соединим точки M и О, К и О.

MO=OK, т. к. MO и ОК - радиусы.

Рассмотрим Δ MOH и Δ HOK:

Они равны по трём сторонам

(МО=ОК, МН=НК, ОН - общая) =>

=>

 
    ОНМ=   ОНК

 

    ОНМ+   ОНК=1800

    ОНМ=   ОНК=900  => MK AB

√8. Касательная к окружности, свойство и признак касательной. Построение касательной через точку на окружности и вне окружности.

Центральный угол - угол с вершиной в центре окружности.

Вписанный угол - угол с вершиной на окружности.

На стр. 158 (Пусть:) до стр. 161 (Задачи:)

На стр. 168 (673. К данной:) до стр. 169 ( 3. Четыре:)

√9. Центральный и вписанный углы. Угол между касательной и хордой.

Касательная - прямая, касающаяся с окружностью в одной точке.

Хорда - отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности.

На стр. 164 (71. Теорема:) до стр. 165 (Теорема:)

Угол между касательной и хордой равен половине величины дуги, расположенной внутри этого угла.

Условие:

О - центр окружности

АС - хорда

AL - касательная

Доказательство:

Проведём отрезки ОА и ОС.

ОА=ОС, т. к. ОА и ОС - радиусы.

Рассмотрим Δ АOС:

    ОАС=    ОСА, т. к. ОА=ОС

=>

 
    ОАС= (1800 -    АОС)/2

 

    LAC=    LAO -    OAC

    LAC= 900 - (1800 -    AОC)/2 =    АОС /2

=>

 

 

    AОC=     AC, т. к.     АОС - центральный

    LAC=     АС /2

√10. Угол между пересекающимися хордами. Угол между двумя секущими. Угол между касательной и секущей.

Касательная - прямая, касающаяся с окружностью в одной точке.

Хорда - отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Секущая - прямая, пересекающаяся с окружностью в двух точках.

Если две хорды пересекаются, то угол между ними равен полусумме дуг, образованных этими хордами.

Условие:

О - центр окружности

АВ и СD - хорды

Е - точка их пересечения.

Доказательство:

Соединим точки В и D.

    АDВ=     АВ /2, т. к.    АDB - вписанный

    СВD=      CD /2, т. к.    CBD - вписанный

    AEB=    АDB+   CBD, т. к.    AED -

внешний угол Δ BED =>

    AEB=      CD /2+     AB /2 = (     AB+      СD) /2

Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, расположенных между секущими.

Условие:

АС и АМ - секущие

Доказательство:

Построим ВК║NM

=>

 
    СВК=      СК /2= (     СМ -      КМ)/2

 

      КМ=      BN, т. к. ВК║NM

=>

 
    СВК= (     СМ -      BN)/2

 

    СВК=    САМ, т. к. ВК║NM

    CАМ=(     СМ -      BN)/2

Угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, расположенных между ними.

А

 

 

Условие:

АС - секущая

АВ - касательная.

Доказательство:

Построим DК║AB

    KDC=      СК /2= (     BС -      КB)/2

=>

 

 

      КB=      BD (смотри реш. 1)

    KDC= (     BС -      BD)/2

=>

 

 

    BAС=    KDC, т. к. ВК║NM

    BАC=(     BC -      BD)/2

Решение 1.

Условие:

О - центр окружности

КD - хорда

АВ - касательная

BB1 - диаметр

Доказательство:

ВТ ТК, т. к. АВ║ТК и АВ ВТ

КD  BB1 => KT=TD

Рассмотрим Δ Ки Δ ТOD:

Они равны по гипотенузе (КО=ОD)

и катету (ОТ - общий) =>

    ВОК=    ВОD как соответственные элементы

равных треугольников. Также эти углы центральные =>

они опираются на равные дуги =>

     КB=      BD

√11. Пропорциональные отрезки в круге.

 Окружность - множество точек на плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

Теорема о квадрате касательной.

Если касательная и секущая одной окружности пересекаются, то квадрат отрезка касательной от общей точки с секущей до точки касания равен произведению отрезков секущей от общей точки с касательной до точек касания с окружностью.

Условие:

AB - касательная

AD - секущая

Доказательство:

Проведём BD и ВС.

Рассмотрим Δ АВС и Δ ADB:

=>

 
   BDC=     BC /2

 

   ABC=     BC /2 (по углу между

хордой и касательной)

=>

 
   BDC=    ABC

 

   BAD - общий

Δ АВС ~ Δ ADB =>  =>

AB2=AC*AD

Если две хорды одной окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Условие:

AB и CD - хорды

E - точка их пересечения

Доказательство:

Проведём CB и AD.

   BAD=    DEB, т. к. опираются на одну дугу BD

=>

 

 

   CEB=    AED (вертикальные)

Δ АВС ~ Δ ADB => => AE*BE=DE*EC.

Если две секущие пересекаются, то произведение отрезков одной секущей от общей точки до точек пересечения с окружностью равно произведению соответствующих отрезков другой секущей.

Условие:

AC, AN - секущие

Доказательство:

Проведём касательную AK.

=>

 
AK2=AB*AC

 

AK2=AM*MN

AB*AC=AM*MN

√12. Окружность, описанная около треугольника и четырехугольника. Теорема Птолемея.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.

На стр. 171 (Следствие:) до стр. 171 (73. Теорема:)

На стр. 176 (Теорема:) до стр. 176 (2) В отличие:)

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе этого треугольника.

Условие:

Δ ВAС - прямоугольный

М - середина ВС

N - середина AB

Доказательство:

MN - средняя линия Δ АВС => NM║AC =>          NM AB => MN - серединный перпендикуляр AB

M - точка, принадлежащая серединным перпендикулярам BC и AB => это точка пересечения серединных перпендикуляров => MA=MB=MC => это центр описанной окружности.

Центр описанной окружности правильного треугольника лежит в точке пересечения его высот, медиан и биссектрис.

Серединные перпендикуляры в правильном треугольнике лежат на высотах, т. к. высота в таком треугольнике делит сторону, на которую она падает, пополам, как и серединный перпендикуляр => точка пересечения серединных перпендикуляров, т. е. центр описанной окружности лежит на пересечении высот, и, поскольку высоты совпадают с биссектрисами и медианами, то и на пересечении биссектрис и медиан.

Свойства вписанного четырёхугольника:

На стр. 176 (В любом:) до стр. 177 (Задачи:)

Признаки вписанного четырёхугольника:

На стр. 182 (729*. Докажите:) до стр. 183 (730. Через:)

Теорема Птолемея.

Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Условие:

ABCD - вписанный четырёхугольник.

Доказательство:

Пусть AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, BD=n, AC=m.

=>

 
Отметим    ABM=    BDC.

 

   BAC=   DBC, т. к. опираются на одну дугу ВС

Δ ABN ~ Δ DBC =>

   ADB=   ACB, т. к. опираются на одну дугу AB

   ABD=   ABM+   MBD=    DBC+   MBD=   MBC =>

Δ MBC ~ Δ ADB =>

ac+bd = n*MC+n+AM = n(AM+MC)=mn

mn = ac+bd.

√13. Окружность, вписанная в треугольник и четырёхугольник. Вневписанная окружность.

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность является вписанной в этот многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.

На стр. 174 (Теорема:) до стр. 175 (В любом..)

Свойства описанного четырехугольника:

На стр. 175 (В любом:) до стр. 175 (75. Описанная:)

Признаки описанного четырехугольника:

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Условие:

ABCD - выпуклый четырёхугольник

Окружность (О;r)

Суммы противоположных сторон равны.

Доказательство:

Пусть Окр (О) касается трёх сторон ABCD.

Проведём С1D1CD и С1D1 - касательная

к Окр (О).

Рассмотрим четырёхугольник ABС1D1:

Т. к. это описанный четырёхугольник, то

=>

 
AB+С1D1 = BC1+AD1

 

AB+CD=BC+AD

С1D1-CD = BC1+AD1-BC-AD = BC1+AD1-BC1-CC1-AD1-DD1

CD = C1D1+CC1 +DD1 => C1, D1CD => C=C1, D=D1  => ABCD - описанный.

Аналогично доказывается, когда СD - секущая окружности.

Вневписанная окружность.

Вневписанная окружность - окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Докажем, что такая существует.

Условие:

Δ ABC

AY - биссектриса

BX - биссектриса внешнего угла при вершине B.

Доказательство:

AY∩BX=O

Проведём биссектрису CZ.

Опустим высоты OK, ON и OM на AC, BC и AB соответственно.

=>  OK=ON=OM

 
OM=OK (по свойству биссектрисы AY)

 

ON=OK (по свойству биссектрисы BX)

Построим окружность с центром в точке О и радиусом ОК.

OK=ON=OM => О - равноудалена от BC и продолжений сторон AB и AC =>             Окр (О;ОК) - вневписанная.

Свойства вневписанной окружности:

1. Центр вневписанной окружности лежит на пересечение биссектрис внешних углов.

Условие:

Δ ABC

CZ - биссектриса внешнего угла при вершине С

BX - биссектриса внешнего угла при вершине B.

Доказательство:

Опустим высоты OK, ON и OM на AC, BC и AB соответственно.

=>  OK=ON=OM  =>

 
ON=OM (по свойству биссектрисы CZ)

 

ON=OK (по свойству биссектрисы BX)

Можно построить окружность с центром в точке О и радиусом ОК.

2. Если O - центр вневписанной окружности, касающейся стороны ВС, тогда точки О, В, С и Q - центр вписанной окружности в треугольнике - лежат на окружности с диаметром QO.

Условие:

Δ АВС

X

 
Окружность (О;r)

 

Окружность (Q;r1)

Y

 

Y

 

 
Доказательство:

 

Проведём биссектрисы углов В и С внешних и внутренних BW, BX, CZ, CY.

   OBQ =    ABC /2+    CBK /2 =                = 1800 /2 = 900 =>     OBQ опирается на диаметр OQ.

   OCQ =    ACB /2+    BCJ /2 = 1800 /2 = 900 =>    OCQ опирается на диаметр OQ.

=> B, C, Q, O принадлежат одной окружности.

3. Прямая, проходящая через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противолежащей стороны, делит периметр треугольника пополам.

Условие:

Δ АВС

Окружность (О;r)

X

 

 

АК - прямая.

Y

 

 
Доказательство:

 

AN=AM (отрезки касательных к одной окружности)

CK=CM (отрезки касательных к одной окружности)

BN=BK (отрезки касательных к одной окружности)

AB+BK=AB+BN=AN=AM=AC+CM=AC+CK =>

AB+BK=AC+CK => AB+BK = = p.

√14. Теорема о пропорциональных отрезках. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника. Деление отрезка на n равных частей.

Средняя линия треугольника - отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Если стороны     О пересечены параллельными прямыми АВ и СD, то ОА и АС пропорциональны ОВ и BD соответственно.

Условие:

   СОD

АВ║CD

Доказательство:

Построим AN║OD.


 
Рассмотрим Δ АOВ и Δ АСN:

 

=>

 
AN║BD =>    COD=   CAN

 

AB║CD =>    OAB=   ACN

Δ АOВ ~ Δ АСN (по двум углам) =>

ABND - параллелограмм => AN=BD =>

  

Теорема Фалеса.

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

На стр. 101 (385. Докажите:) до стр.102 (386. Докажите:)

Средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника параллельная одной из его сторон и равна половине этой стороны.

На стр. 141 (62. Средняя:) до стр. 141 (Пользуясь:)

Деление отрезка на n равных частей.

На стр. 104 (396. Разделите:) до стр. 104 (397. Постройте:)

√15. Параллелограмм, его свойства и признаки.

Параллелограмм - четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

На стр. 97 (Рассмотрим:) до стр. 97 (Рисунок 160:)

1. Сумма соседних углов в параллелограмме равна 1800.

Условие:

ABCD - параллелограмм

Доказательство:

Т. к. BC║AD, то

   ABC+   BAD=1800

2. При делении параллелограмма диагональю, получившиеся треугольники равны.

Условие:

ABCD - параллелограмм

BD - диагональ

Доказательство:

Δ АBD = Δ BCD по трём сторонам

(BD - общая, AB=CD (по св-ву), BC=AD (по св-ву))

3. Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны, а противоположных параллельны.

1.

Условие:

ABCD - параллелограмм

BK, DV - биссектрисы.

Доказательство:

    ABC=    CDA, т. к. они противоположные =>

=>

 
    CBK=    VDA

 

    CVD=    VDA, т. к. AD║BC

    CBK=    CVD => BK║VD

2.

Условие:

ABCD - параллелограмм

BK, AV - биссектрисы.

Доказательство:

=>

 
    ABC+    BAD= 1800, т. к. они соответственные

 

    BAO=    BAD /2

    ABO=    ABC /2

=>

 
    BAO+    ABO= 900

 

    BOA= 1800 -    BAO -    ABO

    BOA= 900 => BK AV

4. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

Условие:

ABCD - параллелограмм

AK, BH - высоты.

Доказательство:

AK=BH, т. к. KC║AD и AK и BH - высоты

AH=KB, т. к. KC║AD и AK и BH - высоты

Рассмотрим Δ HBD:

=>

 
По теореме Пифагора BD2=DH2+HB2

 

DH=AD-AH

BD2=(AD-AH)2+HB2 = AD2-2AH*AD+AH2+BH2

Рассмотрим Δ АВH:

По теореме Пифагора AH2=AB2-BH2

Рассмотрим Δ АKC:

По теореме Пифагора AC2=AK2+KC2

=>

 

 

AK=BH

=>

 
AC2=BH2+KC2

 

KC=BC+KB

AC2=BH2+(BC+KB)2

=>

 

 

AH=KB

AC2=BH2+(BC+AH)2 = BH2+BC2+2BC*AH+AH2

=>

 
AC 2+BD2= BC2+AD2+2BC*AH-2AH*AD+AH2+BH2+AH2+BH2

 

AD=BC, т. к. ABCD - параллелограмм

AB2=AH2+BH2

AC2+BD2=2(AB2+BC2)

Признаки параллелограмма:

На стр. 98 (Рассмотрим:) до стр.98 (44. Трапеция:)

1. Если сумма соседних углов в четырёхугольнике равна 1800, этот четырехугольник - параллелограмм.

Условие:

ABCD - четырёхугольник

Соседние углы равны.

Доказательство:

=>

 
Т. к.    ABC+   BAD=1800, то BC║AD

 

Т. к.    BAD+   CDA=1800, то AB║CD

ABCD - параллелограмм.

2. Если противоположные углы в четырёхугольнике равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Условие:

ABCD - четырёхугольник

Противоположные углы равны.

Доказательство:

Сумма всех углов 3600 => сумма соседних равна половине от всей суммы, т. е. 1800

По предыдущему признаку этот четырёхугольник - параллелограмм.

√16. Частные случаи параллелограмма.

На стр. 105 (45. Прямоугольник:) до стр. 106 (47. Осевая:)

√17. Трапеция, её виды. Свойства и признаки равнобедренной трапеции. Средняя линия трапеции.

На стр. 98 (44. Трапеция:) до стр. 99 (Задачи:)

Свойства равнобедренной трапеции:

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Условие:

ABCD - равнобедренная трапеция.

Доказательство:

Проведём высоты BH и СК к стороне AD

BH=CK, т. к. расстояние между параллельными прямыми везде одинаково.

Рассмотрим Δ АВH и Δ СKD:

Они равны по гипотенузе (AB=CD) и катету (BH=CK) =>

  BAH=   CDK как соответствующие элементы равных треугольников.

Т. к. BCCD, то

  CBA=1800 -   BAH=1800 -   CDK=   DCB, т. к. эти углы соответственные

2. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Условие:

ABCD - равнобедренная трапеция

АС и BD - диагонали

О - точка их пересечения.

Доказательство:

Проведём высоты BH и СК к стороне AD

BH=CK, т. к. расстояние между параллельными прямыми везде одинаково.

Рассмотрим Δ АВD и Δ AСD:

Они равны по двум сторонам (AD - общая, AB=CD) и углу между ними

(   BAD=   CDA (по первому свойству)) => AC=BD как соответствующие элементы равных треугольников.

3. В равнобедренной трапеции отрезки, отсечённые высотами, равны.

Условие:

ABCD - равнобедренная трапеция.

Доказательство:

Проведём высоты BH и СК к стороне AD

BH=CK, т. к. расстояние между параллельными прямыми вежде одинаково.

Рассмотрим Δ АВH и Δ СKD:

Они равны по гипотенузе (AB=CD) и катету (BH=CK) =>

AH=DK как соответствующие элементы равных треугольников.

4. В равнобедренной трапеции точка пересечения диагоналей делит их на попарно равные отрезки.

Условие:

ABCD - равнобедренная трапеция

АС и BD - диагонали

О - точка их пересечения.

Доказательство:

Проведём высоты BH и СК к стороне AD

BH=CK, т. к. расстояние между параллельными прямыми везде одинаково.

Рассмотрим Δ АВD и Δ AСD:

Они равны по трём сторонам (AD - общая, AB=CD, AC=BD) =>    BDA=   CAD как соответствующие элементы равных треугольников => AO=OD, т. к. Δ АOD - равнобедренный.

BO=BD-OD=AC-AO=OC, т. к. BD=AC и OD=AO.

5. Равные элементы в равнобедренной трапеции.

Условие:

ABCD - равнобедренная трапеция

АС и BD - диагонали

О - точка их пересечения.

Доказательство:

Проведём высоты BH и СК к стороне AD

BH=CK, т. к. расстояние между параллельными прямыми вежде одинаково.

Δ ВOA = Δ COD по трём сторонам (AO=OB, BO=OC (по 4-ому свойству), AB=CD)

Δ ABD = Δ ACD по трём сторонам (AD - общая, BD=AC (по 2-ому свойству), AB=CD)

Δ ABC = Δ BCD по трём сторонам (BC - общая, BD=AC (по 2-ому свойству), AB=CD)

Δ ВAH = Δ CKD по трём сторонам (BH=CK, KD=AH (по 3-ему свойству), AB=CD)

Δ ACK = Δ HBD по гипотенузе (BD=AC (по 2-ому свойству)) и катету (BH=CK).

Признаки равнобедренной трапеции:

1. Если в четырёхугольнике углы при двух противоположных сторонах равны, то этот четырехугольник - равнобедренная трапеция.

Условие:

ABCD - четырёхугольник

Углы при двух противоположных сторонах равны

Доказательство:

Сумма всех углов 3600 => сумма соседних равна половине от всей суммы, т. е. 1800  => BCAD.

Проведём высоты BH и СК к стороне AD

BH=CK, т. к. расстояние между параллельными прямыми вежде одинаково.

Δ ВHA = Δ CKD по катету (BH=CK) и острому углу (   BAH=   CDK) =>

AB=CD как соответственные элементы равных треугольников =>

Этот четырёхугольник - равнобедренная трапеция.

2. Если в четырёхугольнике точка пересечения диагоналей делит их на попарно равные отрезки, то этот четырёхугольник - равнобедренная трапеция.

Условие:

ABCD - четырёхугольник

АС и BD - диагонали

О - точка их пересечения

Точка пересечения диагоналей делит их на попарно равные отрезки.

Доказательство:

AC=AO+OC=OD+OB=BD, т. к. AO=OD, OB=OC

Δ ВOA = Δ COD по двум сторонам (BО=ОC, АО=ОD) и острому углу (   BОА=   CОD) => AB=CD

Δ ABC = Δ BCD по трём сторонам (BC - общая, AC=BD, AB=CD) =>

=>

 
   ABC=    BCD

 

Δ ACD = Δ ABD по трём сторонам (AD - общая, AC=BD, AB=CD) =>

   BAD=    CDA

ABCD - равнобедренная трапеция (по 1-ому признаку)

Средняя линия трапеции.

Средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины её боковых сторон

Средняя линия в трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Условие:

ABCD - трапеция

MN - средняя линия

Доказательство:                                                                        

Проведём BNAD=C.

Рассмотрим Δ BCN и Δ NDK:

CN=ND

=>

 
   CNB=   DNK (вертикальные)

 

   BCN=   NDK (накрест лежащие при BCAD)

Δ BCN = Δ DNK => BN=NK, BC=DK как соответственные элементы равных треугольников

Т. к. AM=MB и BN=AK => MN - средняя линия Δ ABK => MNAKAD и MN=AK /2

AK=AD+DK=AD+BC =>

MN=(AD+BC) /2

√18. Синус острого угла. Синус произвольного угла. Свойства синуса произвольного угла. Теорема синусов.

Синус острого угла равен отношению перпендикуляра к наклонной.

Возьмём точку B на наклонной и опустим перпендикуляр на прямую. Мы получим, что синус угла между наклонной и прямой равен отношению этого перпендикуляра к наклонной.

Теперь докажем, то, что где бы мы не взяли точку В на наклонной, отношение перпендикуляра к наклонной будет постоянным, т. е. синус будет всегда одним и тем же.

Условие:

BC - перпендикуляр.

Доказательство:

Отметим на АВ ещё одну точку N и опустим перпендикуляр на прямую АС.

Δ ANM ~ Δ ABC по двум углам (   BAC - общий,

 ACB=   AMN=900) =>  sin BAC = sin NAM.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета и гипотенузы.

Условие:

Δ ACВ - прямоугольный.

Доказательство:

Гипотенуза - наклонная, катет - перпендикуляр. Теперь мы используем определение синуса острого угла => sin A =

 
 

sin A =

 
 

 


 Для того, чтобы мы смогли найти синус произвольного угла, нужно разобрать все случаи произвольного угла.

Сначала определим синус для тупого угла.

C

 
Считаем, что прямая k горизонтальна. Подъём точки B относительно прямой k точно так же задаётся отношением перпендикуляра ВС к наклонной АВ. Это отношение, как нам уже известно, будет синусом острого угла ВАС, смежного тупому углу BAD.

 

Поэтому для тупого угла его синус определяется как синус смежного ему острого угла.

Теперь определим синус прямого угла.

Пусть угол BAC - прямой, тогда где бы ни стояла точка В, то гипотенуза ВA всегда будет равна катету ВC => отношение =1, т. е. синус прямого угла равен 1.

 


sin 900 = 1

Определим синус развёрнутого угла.

Пусть угол BAC - развёрнутый, тогда где бы ни стояла точка В, то катет ВС всегда будет равен 0, т. к. точка В совпадает с точкой С => отношение =0, т. е. синус развёрнутого угла равен 0.

 
 
 

 


sin 1800 = 0

Свойства синуса произвольного угла:

1. Синус каждого угла не больше единицы.

Это следует из того, что перпендикуляр не больше наклонной.

2. При возрастании угла от 00 до 900 его синус возрастает от 0 до 1.

Возьмём острый угол О со сторонам v и q. Из вершины О внутрь угла проведём единичный отрезок ОА, образующий с лучом v острый угол α. Из точки А опустим перпендикуляры AK и AL на лучи p и v соответственно. Получим прямоугольник OKAL. Т. к. OA=1, то AK = sin α. А поскольку OL=AK, то OL = sin α. Итак, sin α равен длине проекции OL единичного отрезка OA на луч q.

Когда угол α возрастает от 00 до 900, отрезок ОА поворачивается вокруг точки О от положения ОA0 на луче q. Точка А пробегает четверть окружности. При этом точка L движется от точки О до точки A1. Длина отрезка OL, т. е. sin α возрастает от 0 до 1.

3. При возрастании угла от 900 до 1800 его синус убывает от 1 до 0.

Когда тупой угол возрастет от 900 до 1800, смежный ему угол убывает от 900 до 00. В таком случае по предыдущему свойству синус такого угла убывает от 1 до 0.

4. Синусы углов, имеющих равные величины, равны.

Возьмём два равных угла:    А и    М. Из некоторой точки В на стороне угла А опустим перпендикуляр ВС на другую сторону угла А. Получим прямоугольный треугольник АВС. Отложим на сторонах угла М отрезки МР=АВ и MQ=AC. Тогда по первому признаку равенства треугольников Δ ABC = Δ MPQ. Поэтому    Q=   C=900. Итак, PQ - перпендикуляр, опущенный из точки Р одной стороны угла М на другую его сторону.

sin M =

=>

 
sin A =

 

PQ=BC

PM=BA

sin M = sin A.

5. Величина острого угла определяется синусом этого угла.

Т. е. зная синус острого угла, можно найти сам угол. Это значит, что для острых углов из равенства sin α = sin β вытекает равенство α=β.

 Пусть sin α = sin β. Для углов α и β логически возможны три случая:

1. α > β, тогда sin α > sin β => случай неверен.

2. α < β, тогда sin α < sin β => случай неверен.

Остаётся только третий случай α=β.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

На стр. 242 (97. Теорема:) до стр. 242 (Теорема доказана:)

Формула радиуса описанной окружности.

Удвоенный радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла этой стороны.

Условие:

Δ ABC - вписанный.

Доказательство:

Проведём BD - диаметр и соединим точки C и D.

   BCD=900, т. к. опирается на диаметр

BC=BD*sin BDC

Введём обозначения:

BC=a, т. к. лежит против угла А

BD=2r

   BDC=   BAC, т. к. опираются на одну дугу (     BС) =>

a=2r*sin a => 2r =.

√19. Косинус острого угла. Косинус произвольного угла. Свойства косинуса произвольного угла. Теорема косинусов.

Косинус острого угла равен отношению проекции наклонной к наклонной.

Помимо этого косинус удовлетворяет следующим равенствам:

, когда угол А - острый

cos A =

, когда угол А - тупой

Из данного определения следует, что косинусы смежных углов противоположны.

Возьмём точку B на наклонной и опустим перпендикуляр на прямую. Мы получим, что косинус угла между наклонной и прямой равен отношению проекции этой наклонной к наклонной.

Теперь докажем, то, что где бы мы не взяли точку В на наклонной, отношение проекции наклонной к наклонной будет постоянным, т. е. косинус будет всегда одним и тем же.

Условие:

BC - перпендикуляр.

Доказательство:

Отметим на АВ ещё одну точку N и опустим перпендикуляр на прямую АС.

Δ ANM ~ Δ ABC по двум углам (   BAC - общий,

 ACB=   AMN=900) =>  cos BAC = cos NAM.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего этому углу катета и гипотенузы.

Условие:

Δ ACВ - прямоугольный.

Доказательство:

Гипотенуза - наклонная, катет - проекция наклонной. Теперь мы используем определение косинуса острого угла => cos A =

cos A =

ccos A =

 
 Для того, чтобы мы смогли найти косинус произвольного угла, нужно разобрать все случаи произвольного угла.

 

Сначала определим косинус для тупого угла.

Рассмотрим два смежных угла с общей вершиной А и общеё стороной АВ. Опустим перпендикуляр ВС на другую сторону острого угла А. Тогда, по определению, косинус острого угла А равен , а косинус смежного ему тупого угла равен .

Теперь определим косинус прямого угла.

Пусть угол BAC - прямой, тогда где бы ни стояла точка В, то катет АС всегда будет равен 0 => отношение =0, т. е. косинус прямого угла равен 0.

 


cos 900 = 0

Определим косинус развёрнутого угла.

Пусть угол BAC - развёрнутый, тогда где бы ни стояла точка В, то гипотенуза ВA всегда будет равна катету BC, т. к. точка В совпадает с точкой С => отношение =1,  т. е. косинус развёрнутого угла равен 1.

 
 
 

 


cos 1800 = 1

Свойства косинуса произвольного угла:

1.      Косинус каждого угла не больше единицы и не меньше -1.

Это следует из того, что проекция наклонной меньше наклонной.

2.      sin α = cos (900 - α).

Мы знаем, что cos B= и sin A= => sin A=cos B. Также знаем, что cos A= и sin B= => cos A=sin B. Но, как нам известно,    A+   B=900. Острые углы, сумма которых равна 900, называются дополнительными => косинус одного из дополнительных углов косинусу другого угла, т. е. sin α = cos (900 - α).

3.      cos (1800 - α) = - cos α.

4.      При возрастании угла от 00 до 1800 его косинус убывает от 1 до -1.

Воспользуемся равенством sin α = cos (900 - α). Зная свойства синуса, получим, что косинус убывает от 1 до 0, когда α возрастает от 00 до 900. А затем применим второе равенство cos (1800 - α) = - cos α и получим, что косинус убывает от 0 до -1, когда α возрастает от 900 до 1800 .

5.      Косинус однозначно определяет угол.

Т. е. из равенства cos α = cos β вытекает равенство α=β.

 Пусть cos α = cos β. Для углов α и β логически возможны три случая:

1. α > β, тогда cos α < cos β => случай неверен.

2. α < β, тогда cos α > cos β => случай неверен.

Остаётся только третий случай α=β.

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Условие:

Δ ABC.

Доказательство:

Для угла С есть три возможности:

1.        С=900.

Тогда cos C=0 и доказательство сводится к теореме Пифагора.

2.        С<900.

В Δ ABC есть ещё хотя бы один острый угол. Пусть это будет угол B. Из вершины А проведём высоту AD. Т. к. углы B и С острые, точка D лежит внутри BC. Отрезок CD=b1 будет катетом в прямоугольном треугольнике ACD с гипотенузой AC=b и прилежащим острым углом C. Поэтому b1 = b*cos C.

По теореме Пифагора находим с2 из другого прямоугольного треугольника ABD с катетами AD=h и BD=a - b1 => с2 = (a - b1)+h2.

Но h2 = b2 -  из треугольника ACD. Подставив это выражение для h2 в равенство и заменив b1 по формуле b1 = b*cos C, придём к следующему равенству:

с2 = a2-2ab1++b2-= a2+b2-2ab*cos C.

3.        С>900.

Снова проведём высоту AD=h из вершины А. Теперь её основание - точка D - лежит на продолжении ВС за точкой С. Снова обозначим отрезок СD через b1. В этом случае BD=a+b1 и из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора с2 = (a + b1)+h2.

По определению косинуса тупого угла           cos C=. Поэтому b1 = - b*cos C. Наконец, из треугольника ACD снова получаем, что h2 = b2 - . Подставив выражение для h2 и для b1, т. е. b1 = b*cos C, мы придём к следующему равенству:

с2 = b2-+a2+2ab1+= a2+b2-2ab*cos C.

√20. Тангенс и котангенс острого угла. Тангенс и котангенс произвольного угла. Свойства тангенса и котангенса произвольного угла. Вывод значений тригонометрических функций для углов в 300, 450 и 600. Синус, косинус, тангенс и котангенс табличных углов от 00 до 1800.

Тангенс острого угла - отношение синуса к косинусу этого угла.

tg α =

При α=00 тангенс не определён, т. к. cos 90=0.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению катета, противолежащему этому углу, к прилежащему катету.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами BC=a и AC=b и гипотенузой АВ=c.

Получаем, что sin A =  и cos A = . Подставим:

tg A = .

Тангенс произвольного угла мы легко сможем найти, потому что знаем, как найти синус и косинус этого угла.

Свойства тангенса:

1. Тангенсы смежных углов противоположны.

tg (1800 - α) = = = - tg α.

2. При возрастании угла от 0 до 90 tg α увеличивается от 0 до ∞.

Построим Δ ABC такой, что катет АС=1, а    А=α.

BC = AC*tg α = tg α.

Когда катет ВС возрастает от 0 до ∞, то тангенс

острого угла аналогично возрастает от 0 до ∞.

3. При возрастании угла от 900 до 1800 тангенс уменьшается от 0 до -∞.

Поскольку угол смежный с этим углом будет возрастать от 0 до ∞ (по предыдущему свойству), то сам угол будет убывать от 0 до -∞, по первому свойству.

4. Значение тангенса острого угла определяет угол.

Т. е. зная тангенс острого угла, можно найти сам угол. Это значит, что для острых углов из равенства tg α = tg β вытекает равенство α=β.

 Пусть tg α = tg β. Для углов α и β логически возможны три случая:

1. α > β, тогда tg α > tg β => случай неверен.

2. α < β, тогда tg α < tg β => случай неверен.

Остаётся только третий случай α=β.

Котангенс острого угла - отношение косинуса к синусу этого угла.

ctg α =

При α=00 и при 1800 тангенс не определён, т. к. sin 0=0 и sin 180=0.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению катета, прилежащему этому углу, к противолежащему катету.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами BC=a и AC=b и гипотенузой АВ=c.

Получаем, что sin A =  и cos A = . Подставим:

сtg A = .

Котангенс произвольного угла мы легко сможем найти, потому что знаем, как найти синус и косинус этого угла.

Свойства котангенса:

1. Котангенс угла обратнопропорционален тангенсу этого же угла.

ctg =  и sin = .

 = 1: => ctg α = .

2. Котангенсы смежных углов противоположны.

сtg (1800 - α) = = = - ctg α.

3. При возрастании угла от 00 до 1800 котангенс убывает от ∞ до -∞.

4. Т. к. ctg α = , то при возрастании угла от 00 до 900 tg α будет возрастать от 0 до ∞ => ctg будет убывать от ∞ до 0. А при возрастании угла от 900 до 1800 tg α будет убывать от 0 до -∞ => ctg будет убывать от 0 до -∞. Из всего следует, что при возрастании угла от 00 до 1800 котангенс убывает от ∞ до -∞.

5. Значение котангенса острого угла определяет угол.

Т. е. зная котангенс острого угла, можно найти сам угол. Это значит, что для острых углов из равенства сtg α = сtg β вытекает равенство α=β.

 Пусть сtg α = сtg β. Для углов α и β логически возможны три случая:

1. α > β, тогда сtg α < ctg β => случай неверен.

2. α < β, тогда ctg α > ctg β => случай неверен.

Остаётся только третий случай α=β.

Вывод значений тригонометрических функций для углов в 300, 450 и 600.

1.      Для 300.

Найдём синус угла в 300.

Условие:

Δ АВС - прямоугольный

   А=300

Решение:

В прямоугольном треугольнике против угла в 300 лежит

катет равный половине гипотенузы =>

=>

 
BC= AB /2

 

sin A =

sin A = = .

Найдём косинус угла 300.

Условие:

Δ АВС - прямоугольный

   А=300

Решение:

В прямоугольном треугольнике против угла в 300 лежит

катет равный половине гипотенузы =>

BC= AB /2

Пусть BC=1, тогда AB=2BC=2. По теореме Пифагора найдём AC:

AC==

cos A = =.

Найдём тангенс угла 300.

tg A = = .

Найдём котангенс угла 300.

ctg A = .

2.      Для 450.

Найдём синус угла 450.

Условие:

Δ АВС - прямоугольный

   А=450

Доказательство:

Т. к.    BAC=450, то   ABC=450 => AC=BC.

Пусть AC=1, тогда ВС=1. По теореме Пифагора найдём AB:

AB=

sin A = = .

Найдём косинус угла 450.

Условие:

Δ АВС - прямоугольный

   А=450

Доказательство:

=>

 
sin A =

 

cos A =

AC=BC

В

 
sin A = cos A =.

 

Найдём тангенс угла 450.

Т. к. sin A = cos A, то tg A=1.

Найдём котангенс угла 450.

Т. к. sin A = cos A, то сtg A=1.

3.      Для 600.

Найдём синус угла 600.

Условие:

Δ АВС - прямоугольный

600

 
   А=600

 

С

 

А

 
Доказательство:

 

Мы знаем, что sin α = cos (900 - α) => sin 60 = cos 30 = .

Найдём косинус угла 600.

Мы знаем, что sin α = cos (900 - α) => cos 60 = sin 30 = .

Найдём тангенс угла 600.

tg A = = .

Найдём котангенс угла 600.

ctg A = .

Синус, косинус, тангенс и котангенс табличных углов от 00 до 1800.

Градусы

00

300

450

600

900

1200

1350

1500

1800

sin

0

1

0

cos

1

0

-1

tg

0

1

-

-1

0

ctg

-

1

0

-1

-

 
Адрес страницы на сайте :
http://redpencil.ru/obschie-voprosi-po-geometrii/ekzamenatsionnie-voprosi-po-geometrii-za-kurs-8-klassa.html

© RedPencil, 2018