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√1. ??????? ??????? ??????? ??????. ??????? ?????????????.

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1. ???? ?????? ?????????? ?? ?????????? ????????????? ?????, ?? ?? ??????? ????? ????? ???????? ???? ?????.

2. ?????? ?????? ????? ?????? ???????.

??????, ??????? ?????? ??????? ?????????? ?????????????.

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1. ??????? ???????????? ????? ???????? ???????????? ??? ????????? ?? ??????, ??????????? ? ????? ?????????.

?? ???. 121 (???????:) ?? ???. 122 (???????. ???? ????:)

2. ??????? ??????.

??????? ???????????? ?????, ??? p - ???????????? ? a, b, c - ???????  ????? ????????????.

???????:

Δ ABC

??????????????:

???????? ?????? AD.

????? BC=a, AC=b, AB=c, AD=h, BD=x, ????? CD=a-x.

  ?? ??????? ???????? AD2=AB2-CD2 ? AD2=AC2-CD2 => AB2-BD2=AC2-CD2, ?. ?. ?2-x2=b2-(a-x)2 => 2ax=a2+c2-b2.

?? ??????? ???????? AD2=AB2-BD2 => h2=c2-x2

??????????????? ???????? ?? ????????? ??? ???????? ????????? ? ?????????, ????????, ???

????? ???????? (a+b+c) ???????????? ??? ????? ????? 2? =>

=>

 
a+b-c=2p-2c

 

a+c-b=2p-2b

b+c-a=2p-2a

?? ?????, ??? S==> S=

3. ??????? ???????????? ????? ???????? ???????????? ???? ??? ?????? ?? ????? ???? ????? ????.

???????:

Δ ABC

??????????????:

???????? ?????? AD.

????? BC=a, AC=b, AB=c, AD=h.

????????????? ?????? ???????? ??????? ????????????? S=.

?????? ??????? ?????? h ????? ????? ???? B:

h=c*sin B => S=

4. ??????? ?????????????? ???????????? ????? ???????? ???????????? ??? ???????.

?? ????????? ?? ?????? ???????.

5. ??????? ???????????? ????? ????????? ???????????? ???? ??? ?????? ?? ?????? ??????? ????????? ??????????, ????????? ?????? ????? ????????????.

???????:

Δ ABC

?????????? (O;r) - ????????? ????? Δ ABC

??????????????:

?? ??????? ??????? ????????? ?????????? ?? ?????, ??? 2r==> sin A =.

????????????? ??????? ???????? ??????? ????????????? S=.

?????? ?????????:

S=.

6. ??????? ??????????? ???????????? ????? ???????? ??????? ?? ?????? ?? ????, ???????? ?? ??????.

???????:

Δ ABC - ??????????

??????????????:

???????? ?????? BH.

????? AB=BC=AC=a.

??????? ????? .

??????? BH  ? Δ ABH:

BH=AB*sin A

sin A = sin 60 =

?????? ?????????:

S=

7. ??????? ???????????? ????? ??? ?????????????, ??????????? ?? ?????? ????????? ??????????.

???????:

Δ ABC

?????????? (O;r) - ?????????.

??????????????:

???????? ?????? ?? ????? O ?? ??????? ????????????, ???, ??? OK AB, ON BC, OM AC.

OK=ON=OM=r, ?. ?. ???????? ?????????, ???????????? ? ????? ???????.

SΔ ABC=SΔ ABO+SΔ BOC+SΔ COA.

SΔ AOB=

=>

 
SΔ BOC=

 

SΔ AOB=

SΔ ABC =

SΔ ABC =

????? ???????? (AB+BC+AC) = 2p => S=pr.

8. ??????? ???????????? ????? ???????????? ??????? ???????????? ?????????? ?????????? ??????? a ?? ???????? ????????????? ? ??????? a.

???????:

?????????? (O;r) - ????????????.

??????????????:

???????? ?????? ?? ????? O ?? ??????? ????????????, ???, ??? OK AB, ON BC,

OM AC.

OK=ON=OM=r, ?. ?. ???????? ?????????, ???????????? ? ????? ???????.

SΔ ABC=SΔ AOB+SΔ ACO-SΔ BOC

SΔ AOB=

=>

 
SΔ ACO=

 

SΔ BOC=

SΔ ABC =

SΔ ABC =

????? ???????? (AB+BC+AC) = 2p, BC=a => S=r(p-a).

√2. ??????? ??????? ??????? ??????. ??????? ?????????????????.

??????? - ????????????? ????????, ?????????? ??????????  ??????????:

1. ???? ?????? ?????????? ?? ?????????? ????????????? ?????, ?? ?? ??????? ????? ????? ???????? ???? ?????.

2. ?????? ?????? ????? ?????? ???????.

??????, ??????? ?????? ??????? ?????????? ?????????????.

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??????? ????????????? ????????????????.

??????? ????????????? ???????????????? ????? ???????????? ?????????? ?? ????? ???? ????? ???? ???????.

???????:

ABCD - ???????????? ???????????????

AC, BD - ?????????.

??????????????:

????? AC=d1, BD=d2,    AOB=α.

S ABCD=SΔ AOB+ SΔ BOC+ SΔ COD+ SΔ OAD

SΔ AOB=

=>

 
SΔ BOC=

 

SΔ COD=

SΔ AOD=

S ABCD =

??????? ????????.

??????? ???????? ????? ???????? ????? ??? ???????.

?? ???. 117 (49. ???????:) ?? ???. 118 (50. ???????:)

??????? ??????????????? (?????).

??????? ??????????????? (?????) ????? ???????????? ????????? ?? ?????? ??????????? ? ????? ?????????.

?? ???. 120 (???????. ???????:) ?? ???. 121 (52. ???????:)

??????? ????????.

??????? ???????? ????? ???????????? ????????? ?? ????????? ?? ??????.

?? ???. 123 (???????:) ?? ???. 124 (??????:)

??????? ?????.

??????? ????? ????? ???????????? ?????????? ???????.

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?? ?????, ??? ??????? ????????????? ???????????????? ????? ???????????? ?????????? ?? ????? ???? ????? ???? ???????. ???? ???? ????? ???? 900, ?? ??? ????? ????? ??????? => ??????? ????? ???????????? ?????????? ???????. ? ?????? ? ?????? ????????? ??????????????? => ??????? ????? ????? ???????????? ?????????? ???????.

??????? ??????????????.

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?? ???. 118 (50. ???????:) ?? ???. 119 (??????? ?:)

√3. ??????????? ????? ?????????? ?????????????? ????????????. ??????? ????????. ??????? ???????? ??????? ????????. ??????? ? ??????? ????????????????. ??????? ???????, ???????????, ??????, ???????? ????????? ? ????????? ?????????? ??? ?????????????? ????????????.

??????????? ????? ?????????? ?????????????? ????????????.

??????? ????????.

? ????????????? ???????????? ??????? ?????????? ????? ????? ????????? ???????.

?? ???. 125 (54. ???????:) ?? ???. 126 (??????? ????????:)

??????? ???????? ? ??????? ????????.

???? ??????? ????? ?????? ???????????? ????? ????? ????????? ???? ?????? ??????, ?? ??????????? ?????????????.

?? ???. 127 (55. ???????:) ?? ???. 127 (?? ???????:)

??????? ? ??????? ????????????????.

?? ???. 142 (??????? XY:) ?? ???. 143 (64. ????????????:)

??????? ???????, ???????????, ??????, ???????? ????????? ? ????????? ?????????? ??? ?????????????? ????????????.

??????? ???????.

???????, ??????????? ? ??????????, ? ????????????? ???????????? ????? ???????? ??????????.

???????:

Δ ABC - ????????????? ???????????

   A=900

AO - ???????.

??????????????:

???????? ?????? CD║AB

????????? AO ?? ????? O

AO ∩ CD=D

?????????? ???????????? Δ ABO ? Δ COD:

=>

 
   ABO=   DCO, ?. ?. AB║CD

 

   BOA=   DOC (????????????)

BO=OC, ?. ?. AO - ???????

??? ???????????? ????? (?? ??????? ????????) => AB=CD

??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

   DCA=900, ?. ?. AB║CD ? AB AC

?????????? ???????????? Δ ?AB ? Δ CAD:

??? ????? ?? ???? ??????? (AB=CD, AC - ?????) =>

   OAC=   OCA ??? ??????????????? ???????? ?????? ????????????? => ? ???????????? AOC AO=OC => ??????? ? ????????????? ???????????? ????? ???????? ??????????.

??????? ???????????.

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?? ????? ??????? ??????????? ???????????? ??? ????????????? ????:

k=, ??? k - ???????????; b, c - ???????, ?? ??????? ??????????? ?? ??????, A - ????, ?? ???????? ??????? ???????????

? ????? ?????? b ? ? - ??????, ? ???? A=900.

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??????????????:

? ????? ?????? ?????? ???????? ??????? ???????????????? => ????? ????? ?? ???????????? ????????, ?????????? ???? ???????.

??????? ??????? ????????? ????? ?????????????? ???????????? ??????????.

?????? ????????? ????? ?????????????? ???????????? ?????????? ????? ???????? ??????????.

??????????????:

?? ?????, ??? ????? ??????????, ????????? ????? ?????????????? ????????????, ????? ?? ?????????? ????? ???????????? => ??? ?????????? ???????? ?????????, ? ??????? ????? ???? ???????? => ?????? ????????? ????? ?????????????? ???????????? ?????????? ????? ???????? ??????????.

√4. ??????? ?????????????. ???????? ??????? ?????????????. ??????? ? ??????????? ???????? ???????? ?????????????. ??????????? ???????? ????????? ???????? ?????????????.

???????? ????????????.

?? ???. 133 (57. ???????????:) ?? ???. 134 (???????????:)

???????? ??????? ?????????????:

?? ???. 137 (59. ??????:) ?? ???. 139 (???????:)

??????? ? ??????????? ???????? ???????? ?????????????.

????????? ???????? ???? ???????? ????????????? ????? ???????? ???????????? ???????.

?? ???. 134 (????? ????????????:) ?? ???. 135 (???????:)

??? ???????? ???????? ????????? ???????????? ????????? ??? ??????????? ???????.

???????:

Δ ABC ~ Δ XYZ

BH,YR - ??????

BK,YP - ???????????

BD,YO - ???????.

??????????????:

??????:

Δ BHC ~ Δ YRZ (?? ???? ?????      (    Z=   C,    BHC=   YRZ )) =>

???????????:

Δ BKC ~ Δ YPZ (?? ???? ?????      (    Z=   C,    KBC=   PYZ )) =>

???????:

Δ BKC ~ Δ YPZ (?? ???? ???????? ( ) ? ???? ????? (   C=    Z) =>

?????? ????????? ??????????:

???????:

Δ ABC

??????????(O;r) - ?????????.

??????????????:

???????? ??????? QM, QL, OB, OA.

뿷퇶b툮bAB=뿷퇶b툮bLM (????????? ???? C ? N ?????) => ???? ???=LQM ?????.

 ???????????? ?????????????? (??=??=r ? LQ=QM=q) => ???? ??? ????????? ????? =>

Δ ABO ~ Δ LQM =>

.

?????? ????????? ??????????:

???????:

Δ ABC

??????????(O;r) - ?????????.

??????????????:

???????? ??????? QU ? OH, ??????????? TQ ? CO.

???? ? ? U ?????? (?? - ?????? ??????????? ? ???????????, QU ???? ?????? ? ???????????)

???? ??? ????? ???? UTQ, ?. ?. ?? ? TQ - ??????????? (????? ????????? ?????????? ????? ?? ????? ??????????? ??????????) =>

Δ UQT ~ Δ HOC =>

√5. ??????????? ???????????? ? ?? ???????? (??????? ? ????? ??????????? ??????????, ??????? ? ???????????????? ?????????, ??? ??????? ????? ???????????).

??????????? ???? - ???, ??????? ???? ?? ??? ?????? ?????.

??????????? ???????????? - ???????, ??????? ???? ???????????? ??????? ? ??????????? ? ??????????????? ????????.

??????? ? ????? ??????????? ??????????.

??????????? ???????????? ??????????? ? ????? ?????.

?? ???. 169 (?????????:) ?? ???. 170 (??????????:)

??????? ? ???????????????? ????????.

??????????? ???????????? ????? ??????????????? ??????? ?? ???????, ???????????????? ?????????? ???????? ????????????.

???????:

Δ ???

?? - ???????????.

??????????????:

, ?. ?. ?????? ? ?? ?????

 =>

??????? ???????????:

????? ??????????? ???? ???????????? ????? ????????? ?????????? ???????????? ??????, ?????????? ???? ????, ???????????? ?? ??????? ???????? ????, ?? ???????? ??? ???????, ? ?? ?????.

???????:

Δ ???

AK - ???????????.

Y

 

 
??????????????:

 

=>

 
????? AB=c, BC=a, AC=b, AK=k

 

SΔ ???= SΔ ??K+ SΔ AK?

*sin A = *sin  + *sin

sin A = 2sin *cos

cb*sin *cos = * sin + *sin

2bc*cos = k(c+b)

k=

??????? ????? ??????????? ???? ???????????? ????? ???????? ???????????? ??????, ?????????? ???? ????, ? ????????, ??????? ??? ???????? ??? ??????? ??????? ???????.

???????:

Δ ???

AK - ???????????.

Y

 

 
??????????????:

 

????? AB=c, BK=x, KC=y, AC=b, AK=k

?? ??????? ?????????

cos AKB =

cos AKC =

cos AMB = -cos AMC (?. ?. ???????) =>

=

k2y+x2y-c2y = -k2x-y2x+b2x

k2y+k2x = b2x+c2y-x2y-y2x

 (?? ??????? ? ???????????????? ????????)

???????? ???????????:

?????? ????? ??????????? ?????????????? ???? ???????????? ?? ??? ??????.

?? ???. 169 (??????????????:) ?? ???. 169 (2.) ?????:)

?????? ?????, ???????  ?????? ???? ? ?????????????? ?? ?????? ????, ????? ?? ??? ???????????.

?? ???. 169 (2.) ?????:) ?? ???. 169 (?????????:)

√6. ??????? ???????????? ? ?? ????????.

??????? ???????????? - ???????, ??????????? ??????? ???????????? ? ????????? ?????????????? ???????.

??????? ????? ???????:

????? ??????? ????? ????????? ????? ????????? ??????, ?? ??????? ??????? ?? ??????, ????? ??????? ???????, ?? ??????? ??? ??????, ???????? ?? ??????.

???????:

Δ ???

AM - ???????.

Y

 

 
??????????????:

 

????? AB=c, BM=MC=a/2, AC=b, AM=ma.

?? ??????? ?????????

cos AMB =

cos AMC =

cos AMB = -cos AMC (?. ?. ???????) =>

????????:

1. ??????? ? ???????????? ???????????? ? ????? ?????;

?? ???. 141 (?????? 1:) ?? ???. 142 (63. ????????????????:)

2. ??????? ????? ??????????? ?? ??? ???????????? ????????????.

??????????????:

??????? ???? ????????????? ????? ?????, ?. ?. ????????? ?????, ? ?????? ?????.

3. ????? ??????????? ?????? ????? ?? ? ????????? 2:1;

?? ???. 141 (?????? 1:) ?? ???. 142 (63. ????????????????:)

4. ??????? ???????????? ????? ??? ?? 6 ???????????? ?????????????.

??????????????:

?? ?????, ??? ??????? ??????????? ? ????? ?????, ???????

? ????????? 2 ? 1.

=>

 
????????? SΔ B1CO ????????? ? SΔ BCO ??? 2 ? 1    

 

SΔ CA1O ????? SΔ A1BO                 

SΔ BCO ????????? ? SΔ COA1 ??? 1 ? 1 => ??????.

?????????? ????? ????????, ??? ??????? ????????? ????????????? ?????.

√7. ??????????. ??????????? ????? ??????, ??????? ? ??????????? ???? ?? ??????. ???????? ????????.

?????????? - ????????? ????? ?? ?????????, ?????????????? ?? ?????? ?????, ?????????? ??????? ??????????.

????? - ???????, ??????????? ??? ?????, ??????? ?? ??????????.

???????? ????:

1. ????? ????? ?????????? ????? ó ????? ??? ???????????? ?? ??????.

(=>)

???????:

O - ????? ??????????

?? ? ?D - ?????

OH ? OH1 - ??????

?D=AB

??????????????:

?? ???????? ????????

=>

 
HD=CD/2, ?. ?. OH CD,

 

BH1=AB/2, ?. ?. OH1 AB.

HD=BH1

OD=OB, ?. ?. OB ? OD - ???????.

=>

 
??????????  Δ ODH ? Δ BOH1:

 

??? ????? ?? ?????????? (OD=OB) ? ?????? (HD=BH1)

OH=OH1 ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

(<=)

???????:

O - ????? ??????????

?? ? ?D - ?????

OH ? OH1 - ??????

OH=OH1

??????????????:

OD=OB, ?. ?. OB ? OD - ???????.

??????????  Δ ODH ? Δ BOH1:

??? ????? ?? ?????????? (OD=OB) ? ?????? (OH=OH1)

HD=BH1 ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

?? ???????? ????????

=>

 
HD=CD/2, ?. ?. OH CD,

 

BH1=AB/2, ?. ?. OH1 AB

HD=BH1

?D/2=AB/2  => CD=AB.

2. ????? ????? ?????????? ????? ó ????? ??? ????????? ?????? ??????????? ???? ??? ????.

(=>)

???????:

O - ????? ??????????

?? ? ?D - ?????

     COD=    AOB

??????????????:

AO=OB=OD=OC, ?. ?. AO, OD, OC, OB -

???????.

?????????? Δ COD ? Δ ABO:

??? ????? ?? ???? ????????

(?O=OD, OA=OB) ? ???? ????? ????

 (   COD=    AOB) => ?D=AB ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

(<=)

???????:

O - ????? ??????????

?? ? ?D - ?????

AB=CD

??????????????:

AO=OB=OD=OC, ?. ?. AO, OD, OC, OB -

???????.

?????????? Δ COD ? Δ ABO:

??? ????? ?? ???? ????????

(?O=OD, OA=OB, CD=AB (?? ???????)) =>

     COD=    AOB ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

3. ????? ????? ?????????? ??????????? ó ????? ????? ????, ??????????? ????? ????.

(=>)

???????:

?D ? AB - ?????

AB║CD

??????????????:

???????? ????? C ? ?.

?. ?. AB║CD (?? ???????), ??

    ABC=     BCD (??????? ???????)

????? ??? ???? ????????? =>

=>

 
    ABC= 2      AC

 

    BCD= 2      BD

    AC=     BD

 
 
 

 


(<=)

???????:

?D ? AB - ?????

     AC=     BD

 ??????????????:

???????? ????? ? ? ?.

=>

 
    ABC= 2      AC

 

    BCD= 2      BD

     AC=     BD

    ABC=    BCD

?. ?.     ABC=    BCD, ?? AB║CD

???????? ????????:

??????? ??????????????? ?????, ?? ?????????? ????????? ó ????? ?? ???????? ????? ?? ????????.

(=>)

???????:

? - ????? ??????????

?? - ???????

?? - ?????

MK AB

? - ???????? ??

??????????????:

???????? ????? M ? ?, ? ? ?.

MO=OK, ?. ?. MO ? ?? - ???????.

?????????? Δ MOH ? Δ HOK:

??? ????? ?? ?????????? (??=??) ? ?????? ?????? (??) =>

MH=HK ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

(<=)

???????:

? - ????? ??????????

?? - ???????

?? - ?????

H - ???????? ??

??=??

??????????????:

???????? ????? M ? ?, ? ? ?.

MO=OK, ?. ?. MO ? ?? - ???????.

?????????? Δ MOH ? Δ HOK:

??? ????? ?? ???? ????????

(??=??, ??=??, ?? - ?????) =>

=>

 
    ???=   ???

 

    ???+   ???=1800

    ???=   ???=900  => MK AB

√8. ??????????? ? ??????????, ???????? ? ??????? ???????????. ?????????? ??????????? ????? ????? ?? ?????????? ? ??? ??????????.

??????????? ???? - ???? ? ???????? ? ?????? ??????????.

????????? ???? - ???? ? ???????? ?? ??????????.

?? ???. 158 (?????:) ?? ???. 161 (??????:)

?? ???. 168 (673. ? ??????:) ?? ???. 169 ( 3. ??????:)

√9. ??????????? ? ????????? ????. ???? ????? ??????????? ? ??????.

??????????? - ??????, ?????????? ? ??????????? ? ????? ?????.

????? - ???????, ??????????? ??? ?????, ??????? ?? ??????????.

?? ???. 164 (71. ???????:) ?? ???. 165 (???????:)

???? ????? ??????????? ? ?????? ????? ???????? ???????? ????, ????????????? ?????? ????? ????.

???????:

? - ????? ??????????

?? - ?????

AL - ???????????

??????????????:

???????? ??????? ?? ? ??.

??=??, ?. ?. ?? ? ?? - ???????.

?????????? Δ ?O?:

    ???=    ???, ?. ?. ??=??

=>

 
    ???= (1800 -    ???)/2

 

    LAC=    LAO -    OAC

    LAC= 900 - (1800 -    A?C)/2 =    ??? /2

=>

 

 

    A?C=     AC, ?. ?.     ??? - ???????????

    LAC=     ?? /2

√10. ???? ????? ??????????????? ???????. ???? ????? ????? ????????. ???? ????? ??????????? ? ???????.

??????????? - ??????, ?????????? ? ??????????? ? ????? ?????.

????? - ???????, ??????????? ??? ?????, ??????? ?? ??????????.

??????? - ??????, ?????????????? ? ??????????? ? ???? ??????.

???? ??? ????? ????????????, ?? ???? ????? ???? ????? ????????? ???, ???????????? ????? ???????.

???????:

? - ????? ??????????

?? ? ?D - ?????

? - ????? ?? ???????????.

??????????????:

???????? ????? ? ? D.

    ?D?=     ?? /2, ?. ?.    ?DB - ?????????

    ??D=      CD /2, ?. ?.    CBD - ?????????

    AEB=    ?DB+   CBD, ?. ?.    AED -

??????? ???? Δ BED =>

    AEB=      CD /2+     AB /2 = (     AB+      ?D) /2

???? ????? ????? ???????? ????? ???????????? ???, ????????????? ????? ????????.

???????:

?? ? ?? - ???????

??????????????:

???????? ??║NM

=>

 
    ???=      ?? /2= (     ?? -      ??)/2

 

      ??=      BN, ?. ?. ??║NM

=>

 
    ???= (     ?? -      BN)/2

 

    ???=    ???, ?. ?. ??║NM

    C??=(     ?? -      BN)/2

???? ????? ??????????? ? ??????? ????? ???????????? ???, ????????????? ????? ????.

?

 

 

???????:

?? - ???????

?? - ???????????.

??????????????:

???????? D?║AB

    KDC=      ?? /2= (     B? -      ?B)/2

=>

 

 

      ?B=      BD (?????? ???. 1)

    KDC= (     B? -      BD)/2

=>

 

 

    BA?=    KDC, ?. ?. ??║NM

    B?C=(     BC -      BD)/2

??????? 1.

???????:

? - ????? ??????????

?D - ?????

?? - ???????????

BB1 - ???????

??????????????:

?? ??, ?. ?. ??║?? ? ?? ??

?D  BB1 => KT=TD

?????????? Δ ?O? ? Δ ?OD:

??? ????? ?? ?????????? (??=?D)

? ?????? (?? - ?????) =>

    ???=    ??D ??? ??????????????? ????????

?????? ?????????????. ????? ??? ???? ??????????? =>

??? ????????? ?? ?????? ???? =>

     ?B=      BD

√11. ???????????????? ??????? ? ?????.

 ?????????? - ????????? ????? ?? ?????????, ?????????????? ?? ?????? ?????, ?????????? ??????? ??????????.

??????? ? ???????? ???????????.

???? ??????????? ? ??????? ????? ?????????? ????????????, ?? ??????? ??????? ??????????? ?? ????? ????? ? ??????? ?? ????? ??????? ????? ???????????? ???????? ??????? ?? ????? ????? ? ??????????? ?? ????? ??????? ? ???????????.

???????:

AB - ???????????

AD - ???????

??????????????:

???????? BD ? ??.

?????????? Δ ??? ? Δ ADB:

=>

 
   BDC=     BC /2

 

   ABC=     BC /2 (?? ???? ?????

?????? ? ???????????)

=>

 
   BDC=    ABC

 

   BAD - ?????

Δ ??? ~ Δ ADB =>  =>

AB2=AC*AD

???? ??? ????? ????? ?????????? ????????????, ?? ???????????? ???????? ????? ????? ????? ???????????? ???????? ?????? ?????.

???????:

AB ? CD - ?????

E - ????? ?? ???????????

??????????????:

???????? CB ? AD.

   BAD=    DEB, ?. ?. ????????? ?? ???? ???? BD

=>

 

 

   CEB=    AED (????????????)

Δ ??? ~ Δ ADB => => AE*BE=DE*EC.

???? ??? ??????? ????????????, ?? ???????????? ???????? ????? ??????? ?? ????? ????? ?? ????? ??????????? ? ??????????? ????? ???????????? ??????????????? ???????? ?????? ???????.

???????:

AC, AN - ???????

??????????????:

???????? ??????????? AK.

=>

 
AK2=AB*AC

 

AK2=AM*MN

AB*AC=AM*MN

√12. ??????????, ????????? ????? ???????????? ? ????????????????. ??????? ????????.

???? ??? ??????? ?????????????? ????? ?? ??????????, ?? ?????????? ?????????? ????????? ????? ??????????????, ? ????????????? - ????????? ? ??? ??????????.

?? ???. 171 (?????????:) ?? ???. 171 (73. ???????:)

?? ???. 176 (???????:) ?? ???. 176 (2) ? ???????:)

????? ??????????, ????????? ????? ?????????????? ????????????, ????? ?? ?????????? ????? ????????????.

???????:

Δ ?A? - ?????????????

? - ???????? ??

N - ???????? AB

??????????????:

MN - ??????? ????? Δ ??? => NM║AC =>          NM AB => MN - ?????????? ????????????? AB

M - ?????, ????????????? ?????????? ??????????????? BC ? AB => ??? ????? ??????????? ?????????? ??????????????? => MA=MB=MC => ??? ????? ????????? ??????????.

????? ????????? ?????????? ??????????? ???????????? ????? ? ????? ??????????? ??? ?????, ?????? ? ??????????.

?????????? ?????????????? ? ?????????? ???????????? ????? ?? ???????, ?. ?. ?????? ? ????? ???????????? ????? ???????, ?? ??????? ??? ??????, ???????, ??? ? ?????????? ????????????? => ????? ??????????? ?????????? ???????????????, ?. ?. ????? ????????? ?????????? ????? ?? ??????????? ?????, ?, ????????? ?????? ????????? ? ????????????? ? ?????????, ?? ? ?? ??????????? ?????????? ? ??????.

???????? ?????????? ????????????????:

?? ???. 176 (? ?????:) ?? ???. 177 (??????:)

???????? ?????????? ????????????????:

?? ???. 182 (729*. ????????:) ?? ???. 183 (730. ?????:)

??????? ????????.

???????????? ?????????? ?????????? ? ?????????? ???????????????? ????? ????? ???????????? ??????????????? ??????.

???????:

ABCD - ????????? ???????????????.

??????????????:

????? AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, BD=n, AC=m.

=>

 
???????    ABM=    BDC.

 

   BAC=   DBC, ?. ?. ????????? ?? ???? ???? ??

Δ ABN ~ Δ DBC =>

   ADB=   ACB, ?. ?. ????????? ?? ???? ???? AB

   ABD=   ABM+   MBD=    DBC+   MBD=   MBC =>

Δ MBC ~ Δ ADB =>

ac+bd = n*MC+n+AM = n(AM+MC)=mn

mn = ac+bd.

√13. ??????????, ????????? ? ??????????? ? ???????????????. ???????????? ??????????.

???? ??? ??????? ?????????????? ???????? ??????????, ?? ?????????? ???????? ????????? ? ???? ?????????????, ? ????????????? - ????????? ????? ???? ??????????.

?? ???. 174 (???????:) ?? ???. 175 (? ?????..)

???????? ?????????? ????????????????:

?? ???. 175 (? ?????:) ?? ???. 175 (75. ?????????:)

???????? ?????????? ????????????????:

???? ? ???????? ???????????????? ????? ??????????????? ?????? ?????, ?? ? ???? ??????????????? ????? ??????? ??????????.

???????:

ABCD - ???????? ???????????????

?????????? (?;r)

????? ??????????????? ?????? ?????.

??????????????:

????? ??? (?) ???????? ???? ?????? ABCD.

???????? ?1D1CD ? ?1D1 - ???????????

? ??? (?).

?????????? ??????????????? AB?1D1:

?. ?. ??? ????????? ???????????????, ??

=>

 
AB+?1D1 = BC1+AD1

 

AB+CD=BC+AD

?1D1-CD = BC1+AD1-BC-AD = BC1+AD1-BC1-CC1-AD1-DD1

CD = C1D1+CC1 +DD1 => C1, D1CD => C=C1, D=D1  => ABCD - ?????????.

?????????? ????????????, ????? ?D - ??????? ??????????.

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OM=OK (?? ???????? ??????????? AY)

 

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OK=ON=OM => ? - ???????????? ?? BC ? ??????????? ?????? AB ? AC =>             ??? (?;??) - ????????????.

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BX - ??????????? ???????? ???? ??? ??????? B.

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Y

 

 
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   OBQ =    ABC /2+    CBK /2 =                = 1800 /2 = 900 =>     OBQ ????????? ?? ??????? OQ.

   OCQ =    ACB /2+    BCJ /2 = 1800 /2 = 900 =>    OCQ ????????? ?? ??????? OQ.

=> B, C, Q, O ??????????? ????? ??????????.

3. ??????, ?????????? ????? ??????? ???????????? ? ?????, ? ??????? ???????????? ?????????? ???????? ?????????????? ???????, ????? ???????? ???????????? ???????.

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X

 

 

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Y

 

 
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AN=AM (??????? ??????????? ? ????? ??????????)

CK=CM (??????? ??????????? ? ????? ??????????)

BN=BK (??????? ??????????? ? ????? ??????????)

AB+BK=AB+BN=AN=AM=AC+CM=AC+CK =>

AB+BK=AC+CK => AB+BK = = p.

√14. ??????? ? ???????????????? ????????. ??????? ??????. ??????? ????? ????????????. ??????? ??????? ?? n ?????? ??????.

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AN║BD =>    COD=   CAN

 

AB║CD =>    OAB=   ACN

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?? ???. 101 (385. ????????:) ?? ???.102 (386. ????????:)

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?? ???. 141 (62. ???????:) ?? ???. 141 (?????????:)

??????? ??????? ?? n ?????? ??????.

?? ???. 104 (396. ?????????:) ?? ???. 104 (397. ?????????:)

√15. ??????????????, ??? ???????? ? ????????.

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???????? ???????????????:

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1. ????? ???????? ????? ? ??????????????? ????? 1800.

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   ABC+   BAD=1800

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ABCD - ??????????????

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Δ ?BD = Δ BCD ?? ???? ????????

(BD - ?????, AB=CD (?? ??-??), BC=AD (?? ??-??))

3. ??????????? ??????? ????? ??????????????? ???????????????, ? ??????????????? ???????????.

1.

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ABCD - ??????????????

BK, DV - ???????????.

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    ABC=    CDA, ?. ?. ??? ??????????????? =>

=>

 
    CBK=    VDA

 

    CVD=    VDA, ?. ?. AD║BC

    CBK=    CVD => BK║VD

2.

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ABCD - ??????????????

BK, AV - ???????????.

??????????????:

=>

 
    ABC+    BAD= 1800, ?. ?. ??? ???????????????

 

    BAO=    BAD /2

    ABO=    ABC /2

=>

 
    BAO+    ABO= 900

 

    BOA= 1800 -    BAO -    ABO

    BOA= 900 => BK AV

4. ????? ????????? ?????????? ????? ????? ????????? ???? ??????.

???????:

ABCD - ??????????????

AK, BH - ??????.

??????????????:

AK=BH, ?. ?. KC║AD ? AK ? BH - ??????

AH=KB, ?. ?. KC║AD ? AK ? BH - ??????

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=>

 
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DH=AD-AH

BD2=(AD-AH)2+HB2 = AD2-2AH*AD+AH2+BH2

?????????? Δ ??H:

?? ??????? ???????? AH2=AB2-BH2

?????????? Δ ?KC:

?? ??????? ???????? AC2=AK2+KC2

=>

 

 

AK=BH

=>

 
AC2=BH2+KC2

 

KC=BC+KB

AC2=BH2+(BC+KB)2

=>

 

 

AH=KB

AC2=BH2+(BC+AH)2 = BH2+BC2+2BC*AH+AH2

=>

 
AC 2+BD2= BC2+AD2+2BC*AH-2AH*AD+AH2+BH2+AH2+BH2

 

AD=BC, ?. ?. ABCD - ??????????????

AB2=AH2+BH2

AC2+BD2=2(AB2+BC2)

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?? ???. 98 (??????????:) ?? ???.98 (44. ????????:)

1. ???? ????? ???????? ????? ? ???????????????? ????? 1800, ???? ??????????????? - ??????????????.

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ABCD - ???????????????

???????? ???? ?????.

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=>

 
?. ?.    ABC+   BAD=1800, ?? BC║AD

 

?. ?.    BAD+   CDA=1800, ?? AB║CD

ABCD - ??????????????.

2. ???? ??????????????? ???? ? ???????????????? ?????, ?? ???? ??????????????? - ??????????????.

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ABCD - ???????????????

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??????????????:

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?? ??????????? ???????? ???? ??????????????? - ??????????????.

√16. ??????? ?????? ???????????????.

?? ???. 105 (45. ?????????????:) ?? ???. 106 (47. ??????:)

√17. ????????, ?? ????. ???????? ? ???????? ?????????????? ????????. ??????? ????? ????????.

?? ???. 98 (44. ????????:) ?? ???. 99 (??????:)

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1. ? ?????????????? ???????? ???? ??? ?????? ????????? ?????.

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ABCD - ?????????????? ????????.

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BH=CK, ?. ?. ?????????? ????? ????????????? ??????? ????? ?????????.

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??? ????? ?? ?????????? (AB=CD) ? ?????? (BH=CK) =>

  BAH=   CDK ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

?. ?. BCCD, ??

  CBA=1800 -   BAH=1800 -   CDK=   DCB, ?. ?. ??? ???? ???????????????

2. ? ?????????????? ???????? ????????? ?????.

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? - ????? ?? ???????????.

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BH=CK, ?. ?. ?????????? ????? ????????????? ??????? ????? ?????????.

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(   BAD=   CDA (?? ??????? ????????)) => AC=BD ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

3. ? ?????????????? ???????? ???????, ?????????? ????????, ?????.

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ABCD - ?????????????? ????????.

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BH=CK, ?. ?. ?????????? ????? ????????????? ??????? ????? ?????????.

?????????? Δ ??H ? Δ ?KD:

??? ????? ?? ?????????? (AB=CD) ? ?????? (BH=CK) =>

AH=DK ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

4. ? ?????????????? ???????? ????? ??????????? ?????????? ????? ?? ?? ??????? ?????? ???????.

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BH=CK, ?. ?. ?????????? ????? ????????????? ??????? ????? ?????????.

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BO=BD-OD=AC-AO=OC, ?. ?. BD=AC ? OD=AO.

5. ?????? ???????? ? ?????????????? ????????.

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ABCD - ?????????????? ????????

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BH=CK, ?. ?. ?????????? ????? ????????????? ??????? ????? ?????????.

Δ ?OA = Δ COD ?? ???? ???????? (AO=OB, BO=OC (?? 4-??? ????????), AB=CD)

Δ ABD = Δ ACD ?? ???? ???????? (AD - ?????, BD=AC (?? 2-??? ????????), AB=CD)

Δ ABC = Δ BCD ?? ???? ???????? (BC - ?????, BD=AC (?? 2-??? ????????), AB=CD)

Δ ?AH = Δ CKD ?? ???? ???????? (BH=CK, KD=AH (?? 3-??? ????????), AB=CD)

Δ ACK = Δ HBD ?? ?????????? (BD=AC (?? 2-??? ????????)) ? ?????? (BH=CK).

???????? ?????????????? ????????:

1. ???? ? ???????????????? ???? ??? ???? ??????????????? ???????? ?????, ?? ???? ??????????????? - ?????????????? ????????.

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ABCD - ???????????????

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???????? ?????? BH ? ?? ? ??????? AD

BH=CK, ?. ?. ?????????? ????? ????????????? ??????? ????? ?????????.

Δ ?HA = Δ CKD ?? ?????? (BH=CK) ? ??????? ???? (   BAH=   CDK) =>

AB=CD ??? ??????????????? ???????? ?????? ????????????? =>

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2. ???? ? ???????????????? ????? ??????????? ?????????? ????? ?? ?? ??????? ?????? ???????, ?? ???? ??????????????? - ?????????????? ????????.

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ABCD - ???????????????

?? ? BD - ?????????

? - ????? ?? ???????????

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Δ ?OA = Δ COD ?? ???? ???????? (B?=?C, ??=?D) ? ??????? ???? (   B??=   C?D) => AB=CD

Δ ABC = Δ BCD ?? ???? ???????? (BC - ?????, AC=BD, AB=CD) =>

=>

 
   ABC=    BCD

 

Δ ACD = Δ ABD ?? ???? ???????? (AD - ?????, AC=BD, AB=CD) =>

   BAD=    CDA

ABCD - ?????????????? ???????? (?? 1-??? ????????)

??????? ????? ????????.

??????? ????? ???????? - ???????, ??????????? ???????? ?? ??????? ??????

??????? ????? ? ???????? ??????????? ?????????? ? ????? ?? ?????????.

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ABCD - ????????

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CN=ND

=>

 
   CNB=   DNK (????????????)

 

   BCN=   NDK (??????? ??????? ??? BCAD)

Δ BCN = Δ DNK => BN=NK, BC=DK ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????

?. ?. AM=MB ? BN=AK => MN - ??????? ????? Δ ABK => MNAKAD ? MN=AK /2

AK=AD+DK=AD+BC =>

MN=(AD+BC) /2

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Δ ANM ~ Δ ABC ?? ???? ????? (   BAC - ?????,

 ACB=   AMN=900) =>  sin BAC = sin NAM.

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Δ AC? - ?????????????.

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?????????? - ?????????, ????? - ?????????????. ?????? ?? ?????????? ??????????? ?????? ??????? ???? => sin A =

 
 

sin A =

 
 

 


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C

 
???????, ??? ?????? k ?????????????. ?????? ????? B ???????????? ?????? k ????? ??? ?? ???????? ?????????? ?????????????? ?? ? ????????? ??. ??? ?????????, ??? ??? ??? ????????, ????? ??????? ??????? ???? ???, ???????? ?????? ???? BAD.

 

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?????? ????????? ????? ??????? ????.

????? ???? BAC - ??????, ????? ??? ?? ?? ?????? ????? ?, ?? ?????????? ?A ?????? ????? ????? ?????? ?C => ????????? =1, ?. ?. ????? ??????? ???? ????? 1.

 


sin 900 = 1

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????? ???? BAC - ???????????, ????? ??? ?? ?? ?????? ????? ?, ?? ????? ?? ?????? ????? ????? 0, ?. ?. ????? ? ????????? ? ?????? ? => ????????? =0, ?. ?. ????? ???????????? ???? ????? 0.

 
 
 

 


sin 1800 = 0

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1. ????? ??????? ???? ?? ?????? ???????.

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2. ??? ??????????? ???? ?? 00 ?? 900 ??? ????? ?????????? ?? 0 ?? 1.

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3. ??? ??????????? ???? ?? 900 ?? 1800 ??? ????? ??????? ?? 1 ?? 0.

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4. ?????? ?????, ??????? ?????? ????????, ?????.

??????? ??? ?????? ????:    ? ?    ?. ?? ????????? ????? ? ?? ??????? ???? ? ??????? ????????????? ?? ?? ?????? ??????? ???? ?. ??????? ????????????? ??????????? ???. ??????? ?? ???????? ???? ? ??????? ??=?? ? MQ=AC. ????? ?? ??????? ???????? ????????? ????????????? Δ ABC = Δ MPQ. ???????    Q=   C=900. ????, PQ - ?????????????, ????????? ?? ????? ? ????? ??????? ???? ? ?? ?????? ??? ???????.

sin M =

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sin A =

 

PQ=BC

PM=BA

sin M = sin A.

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?. ?. ???? ????? ??????? ????, ????? ????? ??? ????. ??? ??????, ??? ??? ?????? ????? ?? ????????? sin α = sin β ???????? ????????? α=β.

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2. α < β, ????? sin α < sin β => ?????? ???????.

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Δ ABC - ?????????.

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???????? BD - ??????? ? ???????? ????? C ? D.

   BCD=900, ?. ?. ????????? ?? ???????

BC=BD*sin BDC

?????? ???????????:

BC=a, ?. ?. ????? ?????? ???? ?

BD=2r

   BDC=   BAC, ?. ?. ????????? ?? ???? ???? (     B?) =>

a=2r*sin a => 2r =.

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cos A =

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?????? ???????, ??, ??? ??? ?? ?? ?? ????? ????? ? ?? ?????????, ????????? ???????? ????????? ? ????????? ????? ??????????, ?. ?. ??????? ????? ?????? ????? ? ??? ??.

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BC - ?????????????.

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Δ ANM ~ Δ ABC ?? ???? ????? (   BAC - ?????,

 ACB=   AMN=900) =>  cos BAC = cos NAM.

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Δ AC? - ?????????????.

??????????????:

?????????? - ?????????, ????? - ???????? ?????????. ?????? ?? ?????????? ??????????? ???????? ??????? ???? => cos A =

cos A =

ccos A =

 
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??????? ????????? ??????? ??? ?????? ????.

?????????? ??? ??????? ???? ? ????? ???????? ? ? ????? ???????? ??. ??????? ????????????? ?? ?? ?????? ??????? ??????? ???? ?. ?????, ?? ???????????, ??????? ??????? ???? ? ????? , ? ??????? ???????? ??? ?????? ???? ????? .

?????? ????????? ??????? ??????? ????.

????? ???? BAC - ??????, ????? ??? ?? ?? ?????? ????? ?, ?? ????? ?? ?????? ????? ????? 0 => ????????? =0, ?. ?. ??????? ??????? ???? ????? 0.

 


cos 900 = 0

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????? ???? BAC - ???????????, ????? ??? ?? ?? ?????? ????? ?, ?? ?????????? ?A ?????? ????? ????? ?????? BC, ?. ?. ????? ? ????????? ? ?????? ? => ????????? =1,  ?. ?. ??????? ???????????? ???? ????? 1.

 
 
 

 


cos 1800 = 1

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1.      ??????? ??????? ???? ?? ?????? ??????? ? ?? ?????? -1.

??? ??????? ?? ????, ??? ???????? ????????? ?????? ?????????.

2.      sin α = cos (900 - α).

?? ?????, ??? cos B= ? sin A= => sin A=cos B. ????? ?????, ??? cos A= ? sin B= => cos A=sin B. ??, ??? ??? ????????,    A+   B=900. ?????? ????, ????? ??????? ????? 900, ?????????? ??????????????? => ??????? ?????? ?? ?????????????? ????? ???????? ??????? ????, ?. ?. sin α = cos (900 - α).

3.      cos (1800 - α) = - cos α.

4.      ??? ??????????? ???? ?? 00 ?? 1800 ??? ??????? ??????? ?? 1 ?? -1.

????????????? ?????????? sin α = cos (900 - α). ???? ???????? ??????, ???????, ??? ??????? ??????? ?? 1 ?? 0, ????? α ?????????? ?? 00 ?? 900. ? ????? ???????? ?????? ????????? cos (1800 - α) = - cos α ? ???????, ??? ??????? ??????? ?? 0 ?? -1, ????? α ?????????? ?? 900 ?? 1800 .

5.      ??????? ?????????? ?????????? ????.

?. ?. ?? ????????? cos α = cos β ???????? ????????? α=β.

 ????? cos α = cos β. ??? ????? α ? β ????????? ???????? ??? ??????:

1. α > β, ????? cos α < cos β => ?????? ???????.

2. α < β, ????? cos α > cos β => ?????? ???????.

???????? ?????? ?????? ?????? α=β.

??????? ?????????.

??????? ??????? ???????????? ????? ????? ????????? ?????? ?????? ????? ????????? ???????????? ???? ?????? ?? ??????? ???? ????? ????.

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Δ ABC.

??????????????:

??? ???? ? ???? ??? ???????????:

1.        ?=900.

????? cos C=0 ? ?????????????? ???????? ? ??????? ????????.

2.        ?<900.

? Δ ABC ???? ??? ???? ?? ???? ?????? ????. ????? ??? ????? ???? B. ?? ??????? ? ???????? ?????? AD. ?. ?. ???? B ? ? ??????, ????? D ????? ?????? BC. ??????? CD=b1 ????? ??????? ? ????????????? ???????????? ACD ? ??????????? AC=b ? ?????????? ?????? ????? C. ??????? b1 = b*cos C.

?? ??????? ???????? ??????? ?2 ?? ??????? ?????????????? ???????????? ABD ? ???????? AD=h ? BD=a - b1 => ?2 = (a - b1)+h2.

?? h2 = b2 -  ?? ???????????? ACD. ????????? ??? ????????? ??? h2 ? ????????? ? ??????? b1 ?? ??????? b1 = b*cos C, ?????? ? ?????????? ?????????:

?2 = a2-2ab1++b2-= a2+b2-2ab*cos C.

3.        ?>900.

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?? ??????????? ???????? ?????? ????           cos C=. ??????? b1 = - b*cos C. ???????, ?? ???????????? ACD ????? ????????, ??? h2 = b2 - . ????????? ????????? ??? h2 ? ??? b1, ?. ?. b1 = b*cos C, ?? ?????? ? ?????????? ?????????:

?2 = b2-+a2+2ab1+= a2+b2-2ab*cos C.

√20. ??????? ? ????????? ??????? ????. ??????? ? ????????? ????????????? ????. ???????? ???????? ? ?????????? ????????????? ????. ????? ???????? ?????????????????? ??????? ??? ????? ? 300, 450 ? 600. ?????, ???????, ??????? ? ????????? ????????? ????? ?? 00 ?? 1800.

??????? ??????? ???? - ????????? ?????? ? ???????? ????? ????.

tg α =

??? α=00 ??????? ?? ?????????, ?. ?. cos 90=0.

??????? ??????? ???? ? ????????????? ???????????? ????? ????????? ??????, ??????????????? ????? ????, ? ??????????? ??????.

?????????? ????????????? ??????????? ??? ? ???????? BC=a ? AC=b ? ??????????? ??=c.

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tg A = .

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1. ???????? ??????? ????? ??????????????.

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2. ??? ??????????? ???? ?? 0 ?? 90 tg α ????????????? ?? 0 ?? ∞.

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BC = AC*tg α = tg α.

????? ????? ?? ?????????? ?? 0 ?? ∞, ?? ???????

??????? ???? ?????????? ?????????? ?? 0 ?? ∞.

3. ??? ??????????? ???? ?? 900 ?? 1800 ??????? ??????????? ?? 0 ?? -∞.

????????? ???? ??????? ? ???? ????? ????? ?????????? ?? 0 ?? ∞ (?? ??????????? ????????), ?? ??? ???? ????? ??????? ?? 0 ?? -∞, ?? ??????? ????????.

4. ???????? ???????? ??????? ???? ?????????? ????.

?. ?. ???? ??????? ??????? ????, ????? ????? ??? ????. ??? ??????, ??? ??? ?????? ????? ?? ????????? tg α = tg β ???????? ????????? α=β.

 ????? tg α = tg β. ??? ????? α ? β ????????? ???????? ??? ??????:

1. α > β, ????? tg α > tg β => ?????? ???????.

2. α < β, ????? tg α < tg β => ?????? ???????.

???????? ?????? ?????? ?????? α=β.

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ctg α =

??? α=00 ? ??? 1800 ??????? ?? ?????????, ?. ?. sin 0=0 ? sin 180=0.

????????? ??????? ???? ? ????????????? ???????????? ????? ????????? ??????, ??????????? ????? ????, ? ??????????????? ??????.

?????????? ????????????? ??????????? ??? ? ???????? BC=a ? AC=b ? ??????????? ??=c.

????????, ??? sin A =  ? cos A = . ?????????:

?tg A = .

????????? ????????????? ???? ?? ????? ?????? ?????, ?????? ??? ?????, ??? ????? ????? ? ??????? ????? ????.

???????? ??????????:

1. ????????? ???? ????????????????????? ???????? ????? ?? ????.

ctg =  ? sin = .

 = 1: => ctg α = .

2. ?????????? ??????? ????? ??????????????.

?tg (1800 - α) = = = - ctg α.

3. ??? ??????????? ???? ?? 00 ?? 1800 ????????? ??????? ?? ∞ ?? -∞.

4. ?. ?. ctg α = , ?? ??? ??????????? ???? ?? 00 ?? 900 tg α ????? ?????????? ?? 0 ?? ∞ => ctg ????? ??????? ?? ∞ ?? 0. ? ??? ??????????? ???? ?? 900 ?? 1800 tg α ????? ??????? ?? 0 ?? -∞ => ctg ????? ??????? ?? 0 ?? -∞. ?? ????? ???????, ??? ??? ??????????? ???? ?? 00 ?? 1800 ????????? ??????? ?? ∞ ?? -∞.

5. ???????? ?????????? ??????? ???? ?????????? ????.

?. ?. ???? ????????? ??????? ????, ????? ????? ??? ????. ??? ??????, ??? ??? ?????? ????? ?? ????????? ?tg α = ?tg β ???????? ????????? α=β.

 ????? ?tg α = ?tg β. ??? ????? α ? β ????????? ???????? ??? ??????:

1. α > β, ????? ?tg α < ctg β => ?????? ???????.

2. α < β, ????? ctg α > ctg β => ?????? ???????.

???????? ?????? ?????? ?????? α=β.

????? ???????? ?????????????????? ??????? ??? ????? ? 300, 450 ? 600.

1.      ??? 300.

?????? ????? ???? ? 300.

???????:

Δ ??? - ?????????????

   ?=300

???????:

? ????????????? ???????????? ?????? ???? ? 300 ?????

????? ?????? ???????? ?????????? =>

=>

 
BC= AB /2

 

sin A =

sin A = = .

?????? ??????? ???? 300.

???????:

Δ ??? - ?????????????

   ?=300

???????:

? ????????????? ???????????? ?????? ???? ? 300 ?????

????? ?????? ???????? ?????????? =>

BC= AB /2

????? BC=1, ????? AB=2BC=2. ?? ??????? ???????? ?????? AC:

AC==

cos A = =.

?????? ??????? ???? 300.

tg A = = .

?????? ????????? ???? 300.

ctg A = .

2.      ??? 450.

?????? ????? ???? 450.

???????:

Δ ??? - ?????????????

   ?=450

??????????????:

?. ?.    BAC=450, ??   ABC=450 => AC=BC.

????? AC=1, ????? ??=1. ?? ??????? ???????? ?????? AB:

AB=

sin A = = .

?????? ??????? ???? 450.

???????:

Δ ??? - ?????????????

   ?=450

??????????????:

=>

 
sin A =

 

cos A =

AC=BC

?

 
sin A = cos A =.

 

?????? ??????? ???? 450.

?. ?. sin A = cos A, ?? tg A=1.

?????? ????????? ???? 450.

?. ?. sin A = cos A, ?? ?tg A=1.

3.      ??? 600.

?????? ????? ???? 600.

???????:

Δ ??? - ?????????????

600

 
   ?=600

 

?

 

?

 
??????????????:

 

?? ?????, ??? sin α = cos (900 - α) => sin 60 = cos 30 = .

?????? ??????? ???? 600.

?? ?????, ??? sin α = cos (900 - α) => cos 60 = sin 30 = .

?????? ??????? ???? 600.

tg A = = .

?????? ????????? ???? 600.

ctg A = .

?????, ???????, ??????? ? ????????? ????????? ????? ?? 00 ?? 1800.

???????

00

300

450

600

900

1200

1350

1500

1800

sin

0

1

0

cos

1

0

-1

tg

0

1

-

-1

0

ctg

-

1

0

-1

-

 
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