Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса

Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса 

1. Векторы, основные понятия (длина вектора, параллельность, перпендикулярность, коллинеарные векторы, сонаправленные противоположно направленные векторы, равенство векторов, свойства равных векторов, нулевой вектор). Сложение и вычитание векторов. Свойства сложения.

Вектор - величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением (обозначается с употреблением стрелок: ). Численное значение вектора называются модулем вектора (обозначается модулем: ||). Также модуль вектора ещё называют длиной вектора.

<Вектор лежит на прямой> - имеется в виду вектор, изображённый направленным отрезком (перемещение из A в B), который лежит на этой прямой.

Два вектора называются коллинеарными, если изображающие их направленные отрезки параллельны или лежат на одной прямой (обозначается: ).

Вектора взаимно перпендикулярны, если их направленные отрезки взаимно перпендикулярны (обозначается: ^).

 

Вектор  перпендикулярен / параллелен прямой а, если изображающий его направленный отрезок перпендикулярен / параллелен прямой a (обозначается: ^a / a).

Одинаково направленными или просто сонаправленными называют вектора, которые коллинеарны и направлены в одну сторону (обозначается: ↑↑).

Условия сонаправленности:

1.) Коллинеарность.

2.) Существует прямая, не параллельная данным  и  такая, что лучи AB и CD лежат по одну сторону от этой прямой.

Признаки сонаправленности:

1.) Если найдётся прямая a, что  и  перпендикулярны этой прямой и лучи AB и CD лежат по одну сторону от неё, то эти векторы сонаправленные.

2.) Два вектора сонаправлены третьему => сонаправлены между собой.

Доказательство:

Пусть  и  сонаправлены с .

Т. к. ↑↑, то найдется прямая a, от которой лучи AB и MN лежат по одну сторону. Так же для векторов  и  найдётся перпендикулярная им прямая b, от которой лучи CD и MN лежат по одну сторону. Если a и b не совпадают, то они параллельны (как перпендикулярные одной и той же прямой MN). Тогда из двух полуплоскостей, которые ограничены прямыми a и b и содержат луч MN, одна содержит другую => одна из полуплоскостей содержит в себе лучи AB, CD и MN. Таким образом, выполнено второе условие первого признака сонаправленности. Также выполнено и первое условие: векторы  и  перпендикулярны прямой a => ↑↑.

Если векторы  и  коллинеарны, но не сонаправлены, то они противоположно направленные.

Два вектора называются равными, если их длины равны и они сонаправлены.

Свойства равенства векторов:

1.) Каждый вектор равен самому себе.

2.) Если , то и .

3.) Два вектора, равные третьему, равны между собой (также является и признаком).

Доказательство:

Очевидно, что доказательства первых двух свойств вытекают прямо из определения равных векторов. Докажем третье свойство:

=>

 
 => || = ||, ↑↑

 

 => || = ||, ↑↑

|| = ||, ↑↑ =>

Признаки равенства векторов:

1.) Два вектора, равные третьему, равны между собой (также является и свойством)

2.) Если четырёхугольник ABDC - параллелограмм, то

3.) Если , то

Доказательства:

2.) Т. к. ABDC - параллелограмм, то ABCD => . Также лучи AB и CD лежат по одну сторону от AC => ↑↑.

Кроме того, AB = CD => || = || => по определению .

3.) Если  и  не лежат на одной прямой, то ABDC - параллелограмм. И по второму признаку равенства векторов .

Пусть AB и CD лежат на одной прямой. Введём на этой прямой координату x, и пусть xa, xb, xc, xd - координаты точек A, B, C, D.

Тогда из условия  следует, что xb - xa = xd - xc => xc - xa = xd - xb =>

Теорема

От каждой точки плоскости можно отложить только один вектор, равный данному.

Пусть дан вектор  и точка C, от которой надо отложить вектор, равный . Возможны два случая:

1.) Точка C не лежит на прямой AB (общий случай)

2.) Точка C лежит на прямой AB (частный случай)

В обоих случаях строится единственная точка D.

В первом случае построим параллелограмм ABCD и получим вектор . А во втором случае на прямой AB от точки C в нужном направлении откладываем направленный отрезок .

Нулевой вектор - вектор, не имеющий направления и модуль которого равен нулю (обозначается: ).

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Нулевой вектор считается противоположным самому себе.

Сложение векторов

Рассмотрим перемещение из точки A в точку B, и затем из B в C. Таким образом, будет совершено перемещение из точки A в точку C, что иначе можно записать как:

В нашем случае конец первого вектора  является началом второго вектора . В общем случае от точки A откладывают вектор , равный , затем от точки B - вектор , равный . Тогда  является суммой векторов  и :

Такое получение суммы векторов называется правилом треугольника.

Итак, суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу треугольника.

Теперь докажем, что сумма векторов не зависит от точки, от которой откладывается первый вектор.

Т. к.  (равные , но отложенные от разных точек), то  (по третьему признаку равенства векторов). Аналогично из (равные ) получаем, что . Отсюда следует, что  => .

Существует ещё одно правило сложения двух векторов - правило параллелограмма: если векторы неколлинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного на них параллелограмма.

Даны два вектора  и

Т. к. ABCD - параллелограмм, то  => . По правилу треугольника , т. е.

Свойства сложения векторов:

1.) Для любых векторов  и  верно + = +

2.) Для любых векторов ,  и  верно (+) +  =  + (+)

3.) Для любого вектора  выполняется + =

Доказательства:

1.) Возможны два случая:

1.) Пусть  и  неколлинеарны. Тогда отложим их точки A: ,  - и построим на них параллелограмм ABCD. Т. к. , , , , то

2.) Пусть и  коллинеарны. И если ↑↑, то + = + следует из сложения отрезков, а если ↑↓, то из вычитания отрезков.

2.) Отложим от точки A вектор , затем от точки B вектор , а потом от точки С вектор . Тогда (+)+ = . А с другой стороны +(+) =

Итак, (+)+ = +(+)

Пользуясь этим законом для трёх векторов, можно как угодно сгруппировать слагаемые при любом их количестве.

Вычитание векторов

Вычитание векторов - действие, обратное сложению. Поэтому разностью двух векторов  и  называется такой вектор , который в сумме с вектором даёт вектор , т. е. += (обозначается:  = -).

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они направлены противоположно (обозначается:  и -).

Если сложить противоположные векторы, то в сумме получится нулевой вектор, т. е. +(-) =

Верно и обратное утверждение: если сумма двух векторов равны нулевому вектору, то они противоположны.

Вычитание векторов можно свести и к сложению. А именно, чтобы из вектора  вычесть вектор , можно к вектору  прибавить вектор, противоположный , т. е. - =  + (-).

2. Векторы, основные понятия (длина вектора, параллельность, перпендикулярность, коллинеарные векторы, сонаправленные противоположно направленные векторы, равенство векторов, свойства равных векторов, нулевой вектор). Умножение вектора на число. Свойства умножения.

Векторы и основные понятия смотри в 1 вопросе.

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого  ≠  вектора на число x ≠ 0 называется такой вектор x, для которого выполняются два условия:

-          его длина равна произведению длины вектора  и модуля числа x, т. е. |x| = |x|*||;

-          он сонаправлен с вектором , если x > 0, и противонаправлен противоположно вектору , если x < 0.

Если же  =  или x = 0, то вектор x - нулевой.

Следствия:

1.) 1* =  для любого вектора

2.) (-1)*  = - для любого вектора

3.) Если x=, то x = 0 или  =

4.) Если x = x и x ≠ 0, то  =

5.) Если x = y и  ≠ , то x = y

Докажем, например, предпоследнее:

x = x

|x|*|| = |x|*|| (/ на |x| ≠ 0)

|| = ||

Т. к.  и имеют один знак, то   =

Свойства умножения:

1.) Вектор  коллинеарен ненулевому вектору  ó когда  = x.

Доказательство:

=>) Если  = x, то (по определению действия умножения на число)

<=) Если , то найдётся такое x, что  = x. Если  = , то x = 0. Если же  ≠ , то возможны два случая:

а.) ↑↑, тогда x > 0 и равен отношению длин векторов  и

б.) ↑↓, тогда x < 0 и его модуль равен отношению длин векторов  и .

Следствие:

Два вектора, отложенные от одной и той же точки, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на число, т. е. точка X лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда .

3. Проекция вектора на ось. Составляющие, угол между векторами, формулы вычисления проекций, свойства проекций.

Проекции вектора на ось

Проекцией вектора  на ось х называется длина его составляющей по этой оси, взятая со знаком <плюс> в том случае, если направление вектора  совпадает с направлением оси х, и со знаком <минус> в противном случае (если , то проекция будет нулевой)

Составляющие вектора

Составляющими данного вектора называются вектора, дающие в сумме данный вектор.

Теорема

Каждый вектор можно разложить на составляющие, лежащие на этих прямых.

Пусть даны две прямые a и b, пересекающиеся в точке О, и вектор . Отложим вектор от точки О. Получим =. В общем случае вектор  не лежит ни на одной прямой. Тогда проведем через точку V параллельные им прямые. Вместе с прямыми a и b они ограничат параллелограмм OAVB с диагональю OV. По правилу параллелограмма =. Векторы  и  и есть составляющие вектора , лежащие на прямых а и b (составляющие по прямым а и b).

Если вектор  лежит на одной из прямых а или b, то его составляющая по одной прямой это он сам, а по другой - его составляющая равна нулевому вектору.

Особенно важный случай представляет разложение на составляющие по взаимно перпендикулярным прямым. Тогда параллелограмм с диагональю OV - это прямоугольник, а его стороны - проекции отрезка OV на прямые a и b.

Угол между ненулевыми векторами

Чтобы определить угол между векторами  и  их нужно отложить от одной точки О так, чтобы , , а затем найти величину угла между лучами ОА и ОВ. Её и называют углом между векторами.

 Углом между двумя не нулевыми векторами называется величина задаваемого ими угла между лучами, когда они отложены от одной точки.

Если векторы сонаправлены, то угол между ними считается равным 0°. Если противоположно направлены, то угол считается равным 180°.

Теорема

Угол между векторами не зависит от выбора точки откладывания векторов. Это необходимо доказать только для неколлинеарных векторов, т. к. для сонаправленных это вытекает из определения.

Пусть  и  неколлинеарны. Отложим их от точки О, тогда  = ,  = и от точки О1 так, чтобы тогда  = ,  = .

Пусть прямые ОА и ОВ пересекаются в некоторой точке О2. Обозначим буквой а тот угол с вершиной в точке О2, который будет соответственным с углом ÐАОВ. По свойствам параллельных прямых Ðа = ÐАОВ. Но тот же угол Ðа будет соответственным углу ÐА1О1В1. По тому же свойству Ðа = ÐА1О1В1 => ÐА1О1В1 = ÐАОВ.

Вычисление проекции вектора на ось

1.) Вычисление проекции с помощью координат.

По определению проекция vx вектора на ось х равна длине его составляющей по этой оси, взятая со знаком <плюс> или <минус>. Но длина ненулевого вектора  - это длина отрезка А1В1, т. е. расстояние между точками А1 и В1. Это расстояние можно найти по формуле: А1В1=|x1-x2|.

Если ↑↑,  то x1 > x2 и x1-x2 > 0. В этом случае |x1-x2| = x1-x2 и vx = || = x1-x2

Если же ↑↓,  то x1 < x2 и x1-x2 < 0. В этом случае        |x1-x2| = x2-x1 и  vx = -|| = x2-x1

Если же =, то vx = 0, т. к. A1=B1, x1=x2 и снова vx=x1-x2

2.) Вычисление проекции с помощью угла между вектором и координатной осью называется угол между вектором этой оси.

Теорема

Проекция ненулевого вектора на ось равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью (vx = ||*cos a)

Если угол не равен 0° или 90° или180°, то доказательство основывается на перемещении системы координат в начало вектора, а затем из конца вектора опускается перпендикуляр на ось ОХ. Проекция вычисляется как катет в прямоугольном треугольнике, а он равен  произведению гипотенузы на косинус угла между ними.

Если угол 0°, то вектор лежит на оси и сонаправлен с нею => его проекция равна длине самого вектора. Так как cos 0° = 1, то выражение vx = ||*cos a верно

Если угол 90°, то вектор перпендикулярен оси => проекция будет нулевая. И т. к. cos90°=0, то равенство vx = ||*cos a снова выполняется.

Если же угол 180°, то вектор снова будет лежать на оси, но будет уже противонаправлен ей => проекция будет отрицательным числом, по модулю равной длине вектора.

Свойства проекции векторов на ось.

1.) Равные векторы имеют равные проекции на заданные оси.

По теореме о проекции вектора  на ось, проекция зависит от угла, который она составляет с осью и от длины вектора. Так как равные векторы имеют равные направления и длины, то их проекции будут равны.

2.) При сложении векторов их проекции на оси складываются.

Сложим любые два вектора =и =. Получим вектор  =  +  =  + =. Пусть точки А1, В1, С1 - проекции точек А, В, С на ось OX, а xa, xb, xс - их координаты и aх, bх, cх - проекции векторов , , на ось OХ.

Т. к. aх = xb-xа, bх = xc-xb, то aх + bх = xb-xа+xс-xb = xс-xа

С другой стороны cх =xс-xа. Поэтому cх = ax-bx.

3.) При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

Пусть X - ось с начальной точкой О и единичным вектором . Возьмём любой вектор  и отложим его от этой точки. Пусть угол Ða между векторами  и . Умножив вектор   на число k, получим вектор  = k. Нужно доказать bх = k*aх. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла, т. к. bх = ||*cos Ða = k*(||*cos Ða) = k*ax.

4. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Теорема о форму-ле скалярного произведения через координаты.

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов - произведение длин этих векторов на косинус угла межу ними.

* = ||*||*cos(^)

1.) ^ó когда скалярное произведение равно нулю

=>) ^ => ^ = 90º => cos(^) = 0 => * = 0

<=) * = 0,  ≠ ,  ≠  => cos(^) = 0 =>^= 90º => ^

2.) * > 0 при ^ - остром

3.) * < 0 при ^ - тупом

4.) Если , то * = ||*||, т. к. cos(^) = 1

5.) = ||2

Теорема

Скалярное произведение векторов (x1;y1) и (x2;y2) выражается формулой * = x1*x2 + y1*y2.

Пусть ,

По теореме косинусов: AB2 = OA2 + OB2 - 2*OA*AB*cos a

OA2 = ||2 =

OB2 =||2 =

*= (x2-x1; y2-y1)

AB2 = ||2 =

OA*OB*cos a = ||*||*cos a = *

* = x1x2 + y1y2

Следствия:

1.) ^ ó когда выполняется x1x2 + y1y2 = 0

2.) cos(^) =  = .

 

Свойства скалярного произведения:

1.) * = *

2.) (x)* = x*()

3.) (+)* = *+*

4.) ³0, причём, при > 0,  ≠

Все свойства следуют из формулы скалярного произведения через координаты.

5. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис. Разложение вектора по базису. Системы координат. Координаты векторов.

Линейная зависимость векторов

Линейной комбинацией n векторов , , :,  называется выражение вида

X1*+ X2*+ : + Xn*, где X - коэффициент.

 Если линейная комбинация векторов равна нулевому вектору при условии, что хотя бы один из её коэффициентов не равен нулю, то эти векторы называются линейно зависимыми.

 Если линейная комбинации векторов равна нулевому вектору только в случае равенства нулю всех коэффициентов, то эти вектора называются линейно независимыми.

Теорема

Если хотя бы один из векторов , , :,  нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

Пусть , тогда x1 ≠ 0, x2 = x3 = := xn = 0

x1* + 0* + : + 0*=  => векторы линейно зависимы.

Если среди n векторов n-1 линейно зависимы, то и все векторы линейно зависимы.

Если , , :,  - линейно зависимы, то тогда существует xi ≠ 0

x1* + x2* + : + xn-1* =

x1* + x2* + : + 0* =  => , , :,  - линейно зависимы.

Теорема

Необходимым и достаточным условием для линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Необходимое:

Если и- линейно зависимы, то существует (α или β) ≠ 0

α + β=

β ≠ 0

= >

Достаточное:

*

*= k*, k ≠ 0

k* - 1**= = > и- линейно зависимы.

 Следствия:

1.) Если ↑↑, то они линейно зависимы.

2.) Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора.

Теорема

Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем, коэффициент разложения определяется единственным образом.

Доказательство:

1.) Если↑↑↑↑

* = х*

 = х + y(y = 0)

2) Если ↑↓↑↓

Отложим  = , = , =

Проведем  ( = B1) => =+

↑↑ =>  = y*

=>

 

 

↑↑ =>  = х*

 = х* + у*

Мы получили разложение вектора  по векторам и . Докажем, что это разложение единственно:

  Пусть  = х* + у* и  = х1* + у1*,

тогда х* + у*= х1* + у1*=> (х-х1) = (у-у1)

Т. к.  неколлинеарен , то х = х1 и у = у1

Разложение вектора по базису

Базис - любая система из наибольшего числа линейно независимых векторов.

Говорят, что два лежащих в плоскости линейно независимых вектора  и  образуют базис в этой плоскости.

Т. к. любой вектор, лежащий в плоскости можно представить в виде некоторой линейной комбинации этих векторов, то, таким образом, любые два неколлинеарных вектора образуют в плоскости базис.

* = 2- 3

(2; -3) - координаты в базисе и

Основное значение базиса

Линейные операции над векторами становятся операциями над числами, координатами этих векторов.

Система координат и координаты вектора

Введём прямоугольную систему координат, где и - координатные векторы. Пусть вектор * - некоторый вектор, координаты которого vx и vy.

↑↑Ox

↑↑Oy

|| = || = 1

* = vx+ vy

* = (vx; vy)

6. Действия над векторами в координатной форме. Теорема о координатах (определение координат вектора, формулы длины вектора, свойства координат).

Свойства координат векторов:

1.      а. Координаты всех равных векторов соответственно равны.

б. Векторы, имеющие соответственно равные координаты равны.

2.      При сложении / вычитании векторов их соответствующие координаты складываются / вычитаются.

3.      При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Теперь докажем их:

1.      а. Так как координаты вектора являются проекциями вектора на координатные оси, то свойства координат повторяют свойства проекций. А из первого свойства проекций (равные векторы имеют равные проекции на заданную ось) следует, что координаты всех равных векторов равны.

2.      б. Из равенства  * = vx+ vy следует то, что векторы, имеющие соответственно равные координаты равны.

2.      Это свойство вытекает из второго свойства проекций (при сложении векторов их проекции на ось складываются)

3.      Это свойство также вытекает из свойства для проекций (при умножении вектора на число его проекция умножается на это число)

Действия над векторами в координатной форм

Свойства координат позволяют свести действия с векторами к арифметическим действиям. Сформулируем эти действия:

1.  α(β) = (α β)

2.  (α+ β)  = α + β

3.  α(+) = α + α

Докажем их:

1.  Пусть  = (x,y), тогда β = (βx + βy); α) = (αβx + αβy). По 3-ему свойству координат (αβ)= (αβx+ αβy ) => α(β) = (αβ)

2.  Пусть  = (x,y), тогда (α + β) = ((α + β)x, (α + β)y) также по 3-ему свойству. Далее по свойствам 2 и 3: α + β = (αx + βx, αy + βy). Отсюда следует соответственные координаты векторов равны => (α + β)  = α + β

3.  Пусть  = (x,y), а  = (p,q). Получаем, что  + = (x+p, y+q). Умножим на α, и по третьему свойству координат получим результат: α ( + )= (α(x + p), α(y + q)).Теперь найдём α + α= (αx, αy) + (αp, αq) = (αx + αp, αy + αq) => α(+) = α + α.

Формула длины вектора

Зная координаты вектора и используя теорему Пифагора, можно найти длину вектора.

Если A не лежит в начале координат,

то треугольник ΔOA1A - прямоугольный => . Т. к. AA1 = OA2, то . Но AO =, OA1 = ,

OA2 = . Это можно записать как: = + .

Итак, квадрат длины вектора равен сумме

квадратов его координат. Из этого

получаем формулу: , т. е.

длина вектора равна корню из суммы квадратов

координат этого вектора.

7. Общее уравнение прямой. Задание прямой линейным уравнением 1 степени и его единст-венность.

Общее уравнение прямой

Рассмотрим прямую m, на которой лежит точка M(x,y). Середина отрезка AB (причём, A(x1,y1), B(x2,y2))) лежит на этой прямой. Также AB^m.

Т. к. AM = MB, то

Ax + By + C = 0

Докажем, что если на плоскости задана система координат, то всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и y определяет относительно этой системы прямую линию.

Ax + By + C = 0 (1)

(A ≠ 0 или B ≠ 0)

Пусть существует точка M(x0;y0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1).

Ax0 + By0 + C = 0 (2)

(1)   - (2) = A(x-x0) + B(y-y0) = 0 (3)

Уравнение (3) равносильно уравнению (1).

Докажем, что уравнение (3) определяет прямую l, проходящую через точку M(x0;y0) и перпендикулярную вектору  = (A,B).

Если A(x,y) лежит на прямой l, то её координаты удовлетворяют уравнению (3). Т. к. вектор  = (A,B),  = (x-x0;y-y0) и ^, то * = 0, т. е.

A(x-x0) + B(y-y0) = 0

Если A не лежит на l, то её координаты не удовлетворяют уравнению (3), т. к.  не перпендикулярен  => * ≠ 0, т. е. A(x-x0) + B(y-y0) ≠ 0

Таким образом, мы доказали, что уравнение (1) определяет прямую, перпендикулярную к вектору (A,B).

Вектор(A,B) называется вектором нормали.

Замечание:

Если есть два общих уравнения, определяющих одну и ту же прямую:

Ax + By + C = 0 (1)

A1x + B1y + C1 = 0 (2), то

существует такое t, что A1 = tA, B1 = tB, C1 = tC, т. е. коэффициенты этих уравнений пропорциональны.

Поскольку эти уравнения определяют одну прямую, то вектор нормали коллиниарны:

*(A,B)(A1,B1) => существует t: =>

A1 = tA

B1 = tB

M(x0;y0) Î (1) и (2) =>

Умножим (3) на t и вычтем из него (4):

(At-A1)x0 + (Bt-B1)y0 + (Ct-C1) = 0

Ct-C1 = 0

C1 = Ct

8. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

На координатной плоскости с центром в точке O проведём прямую l, через центр координат проведём вторую прямую n, перпендикулярную l (n^l = P). Отметим также вектор  такой, что În, || = 1 и . Отметим точку MÎl, M(x,y).

* = (cos α;sin α)

** = x*cos α + y*sin α

** = |*|*||*cosÐ(*;) = OP = p (2)

x*cos α + y*sin α = p - нормальной уравнение прямой.

Таким образом, мы получили уравнение прямой, проходящее через точку M(x,y), причём координаты любой другой точки, не лежащей на этой прямой, не удовлетворяют этому уравнению, т. к. не будет выполняться выражение (2).

Как привести общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 к нормальному виду.

x*At + y*Bt = -Ct (умножим на t общее уравнение прямой)

x*cos α + y*sin α = p

(cos α = At; sin α = Bt)

Т. к. p - расстояние, то p ≥ 0 => Ct ≤ 0 => t и C имеют разные знаки.

t - нормативный множитель

Для приведения Ax + By + C = 0 к нормальному виду следует умножить его на нормирующий множитель t, знак которого противоположен знаку C.

 Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки M(x0;y0) до прямой равно модулю левой части нормального уравнения прямой при x = x0, y = y0.

На координатной плоскости с центром в точке O проведём прямую l, через центр координат проведём вторую прямую p, перпендикулярную l (p^l = P). Отметим также вектор нормали  к прямой l такой, что  Î p, || = 1. Отметим произвольную точку M(x0,y0) и опустим из неё перпендикуляр на прямую p (MQ^p)

Искомое расстояние  = PQ

PQ = |OQ - OP| = |OQ - p|

 = (cos α;sin α)

 = (x0;y0)

OQ = ||*cosÐ(;) = ||*||*cosÐ(;) = * = x0*cos α + y0*sin α

PQ = | x0*cos α + y0*sin α - p|

d =

9. Различные виды уравнений прямой (каноническое, через две точки, параметрическое, в отрезках). Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим различные виды уравнений прямой

1.)    Мы знаем общее уравнение прямой Ax + By + C = 0

Рассмотрим случай, когда A,B ≠ 0

Ax + By = -C

 (поделим на -C)

a = ; b =

 - уравнение прямой в отрезках.

Геометрический смысл значений a и b.

l:

l ∩ Ox: y = 0; x = a

l ∩ Oy: x = 0; x = b

a и b равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ox и Oy.

2.) Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, назовём направляющим вектором этой прямой.

Составим уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1;y1) и имеющей заданный направляющий вектор  = (l,m).

Если M(x,y) принадлежит прямой, тогда , т. е. координаты этих векторов пропорциональны:

= (x-x1;y-y1);

 = (l,m).

 - каноническое уравнение прямой.

Замечания

a.) В каноническом уравнении l или m могут равняться "0":

m = 0, l 0

0(x-x1) = l(y-y1)

y = y1

б.) Пусть прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:

L1^L2 ó ^ => l1l2 + m1m2 = 0

L1L2 ó =>

3.) Пусть есть две точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2), лежащие на прямой l.

 = (x2-x1;y2-y1)

Теперь составим каноническое уравнение прямой (M1 Î l), зная, что  - направляющий вектор:

 - и получаем уравнение прямой через 2 точки.

4.) Пусть дана прямая .

М(x;y) Î L

* = (l,m) - направляющий вектор

 - параметрическое уравнение прямой.

5.) Рассмотрим прямую, не параллельную осям Ox и Oy:

ÐNAM = Ðα - угол наклона данной прямой к оси x.

tg a - назовём угловым коэффициентом этой прямой.

k = tg α

Для α = 90° k не существует.

Теорема

Если прямая не параллельна оси Oy и имеет направляющий вектор * = (l,m), то k равен отношению m к l (k = ).

Возможны 4 случая расположения прямой и направляющего вектора:

Случаи 1 и 3: β = α

l = |*|*cos β = |*|*cos α

m = |*|*sin β = |*|*sin α

 = tg α - угловой коэффициент

Случаи 2 и 4: β = π-α

l = |*|*cos β = -|*|*cos α

m = -|*|*sin β = -|*|*sin α

 = tg α - угловой коэффициент

Таким образом, во всех случаях  = tg α, т. е.  - угловой коэффициент.

Получим уравнение прямой с заданным коэффициентом k и проходящей через точку M1 (x1;y1).

k =

kx - kx1 = y - y1

y = kx + y1 - kx (b = y1 - kx)

y = kx + b

k = tg α

b - отрезок, отсекаемый данной прямой по Oy.

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

α = α2 - α1

tg α = tg(α2 - α1) =

k =

1.) Условие параллельности:

L1: y = k1x + b

L2: y = k2x + b

L1║L2 => α = 0° => tg α = 0 => k2 - k1 = 0

Таким образом, прямые параллельны, если k2 = k1.

Если b2 = b1, то прямые совпадают

Если b2 b1, то прямые параллельны

2.) Условие перпендикулярности:

L1 L2, если k1k2

L1^L2 => α = 90° => tg α - не существует => 1 + k1*k2 = 0

Таким образом, прямые перпендикулярны, если .

10. Преобразование плоскости (определение, отображение <на>, отображение <в>, компози-ция, взаимно однозначное соответствие, обратное, обратимое отображение). Движение и его свойства.

Пусть задана фигура F и каждой точке фигуры F сопоставлена единственная точка плоскости. Множество точек, сопоставленных точкам фигуры F, является некоторой фигурой F1. В таком случае говорят, что фигура F преобразована в F1 и фигура F1 получается преобразованием из фигуры F.

 
 
 

 


Также можно сказать, что:

F1 - образ фигуры F

F - прообраз фигуры F1

Если A1 - точка фигуры F1, соответствующая точке A фигуры F, то:

A1 - образ точки A

A - прообраз точки A1

Записать можно вот таким образом:

f(F) = F1

f(A) = A1

Пусть X, Y - два непустых множества. Если указано правило, по которому каждому элементу из множества X ставится в соответствие ровно один элемент из множества Y, то говорят, что задано отображение X в Y.

Пусть задано отображение X в Y. Если при этом для каждого элемента y из множества Y имеется хотя бы один прообраз, то говорят, что задано отображение X на Y.

 
 
 

 


f(AB) = A1B1 Î a

Рассмотрим  проекцию отрезка AB на прямую a. Это отрезок A1B1. В таком случае получаем отображение отрезка AB на отрезке A1B1, но отображение отрезка AB в прямую a, т. к. точке, не принадлежащей отрезку, но принадлежащей прямой a, нет прообраза.

Если любым двум элементам из множества X соответствует различные элементы из множества Y, то отображение X на Y называют взаимно однозначными.

Рассмотрим преобразование плоскости, при котором AA1 (f(A) = A1).

Взаимно однозначное соответствие, при котором A1A, называется обратным. При этом f  -1(A1) = A.

Преобразование, для которого существует обратное, называется обратимым.

Результат последовательного выполнения нескольких преобразований называется композицией.

 
 
 

 


gf(F) = F2

g(f(F)) = F2

Если при преобразовании F точка A переходит сама в себя, то она называется неподвижной. Если все точки переходят сами в себя, то такое преобразование называется тождественным.

Преобразование плоскости, при котором сохраняется расстояние между точками, называется движением.

Свойства движения:

1.) Три точки, лежащие на одной прямой перейдут в три точки, также лежащие на одной прямой.

A → A1

B → B1

C → C1

AB → A1B1

BC → B1C1

AC → A1C1

A, B, C Î l

AB + BC = AC => A1B1 + B1C1 = A1C1, т. е.  A1, B1, C1 лежат на одной прямой.

2.) Отрезок переводится в отрезок.

Пусть нам дан отрезок AB. Отметим на нём точку X.

AX + XB = AB

A1X1 +X1B1 = A1B1 (т. к. при движении сохраняется взаимное расположение) => X1 Î A1B1

Если взять любую другую точку у AB, то она аналогично перейдёт в точку из A1B1 => ABA1B1

3.) Луч перейдёт в луч, прямая - в прямую.

Сначала заметим, что начало одного луча переходит в начало другого луча (A1B1)

Затем луч мы можем разбить на бесконечное количество отрезков:

A1A2 + A2A3 + : + An-1An = k, где k - луч.

(A1A2 → B1B2 :)

B1B2 + B2B3 + : + Bn-1Bn = k1  => B2, B3, :, Bn лежат вдоль одной прямой, т. е. на луче k1.

4.) Треугольник пари движении переходит в треугольник.

ΔABC заполняется отрезками, соединяющими вершину A с точками X стороны BC. При движении BCB1C1, AA1 и при этом каждому отрезку AX движении сопоставит A1X1, где X1 лежит на BC. Все отрезки A1X1 заполнят треугольник => ΔABC → ΔA1B1C1.

5.) Движение сохраняет величины углов.

Т. е. если, например, точкам A, B, C, не лежащим на одной прямой, движение сопоставляет точки A1, B1, C1, то ÐABC=ÐA1B1C1. Это происходит в силу равенств ΔABC = ΔA1B1C1.

6.) При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

Т. к. любой многоугольник можно разбить на треугольники, то по все треугольники перейдут в треугольники, равные по площади самим себе => сумма площадей всех треугольников, т. е. площадь многоугольника, останется прежней.

7.) Движение обратимо (преобразование обратное движению, является движением).

Это свойство вытекает из определения движения и обратимого преобразования.

11. Параллельный перенос и его свойства. Теорема о параллельном переносе (определение, обозначение, как задается, построение образа точки, неподвижные точки, обратное пре-образование, тождественное преобразование).

Виды движения:

-          параллельный перенос;

-          осевая симметрия;

-          центральная симметрия;

-          поворот;

-          композиция двух преобразований (параллельный перенос и осевая симметрия).

Исследуем параллельный перенос по плану:

1.) Параллельный перенос - преобразование плоскости, при котором все точки перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние

↑↑

|| = ||

2.) Обозначается как , где  ------------ вектор переноса

X1 = (X)

Читается как X1 - образ точки X при параллельном переносе на вектор .

3.) Параллельный перенос задаётся вектором переноса. Зная этот вектор, мы всегда определим точку, в которую перейдёт точка, переносимая фигурой.

4.) Теперь докажем, что параллельный перенос является движением, который сохраняет направление.

A1 = (A)

B1 = (B)

↑↑

|| = ||

AB = A1B1 => параллельный перенос сохраняет расстояния => является движением

↑↑=> параллельный перенос сохраняет направление

5.) Алгоритм построения образа точки:

Пусть дан вектор переноса .

1.)   Построим прямую l такую, что l

2.)   Пусть M Î l

3.)   Построим вектор  такой, что

4.)   M1 = (M) - искомая точка

6.) У параллельного переноса нет неподвижных точек (при условии, что ¹).

7.) Преобразование, обратное параллельному переносу, является переносом на вектор , т. е. обратное  это .

8.) Примером тождественного преобразования при данном виде движения может служить перенос на нулевой вектор ().

Свойства:

1.) Сохраняются все свойства движения, т. к. данное преобразование плоскости является движением

2.) Параллельный перенос сохраняет направление (смотри пункт 4).

Признаки:

1.) Движение, сохраняющее направление, является параллельным переносом.

Т. к. это движение, и оно сохраняет направление, то

AB = A1B1


 
↑↑

 

AB = A1B1

↑↑

такое движение называется параллельным переносом.

12. Поворот и его свойства. Теорема о повороте (определение, обозначение, как задается, построение образа точки, неподвижные точки, обратное преобразование, тождественное преобразование).

Виды движения:

-          параллельный перенос;

-          осевая симметрия;

-          центральная симметрия;

-          поворот;

-          композиция двух преобразований (параллельный перенос и осевая симметрия).

Исследуем поворот по плану:

1.) Поворот относительно точки O на угол Ðα - преобразование плоскости, при котором любая точка плоскости A переходит в такую точку A1, что

OA = OA1

ÐAOA1 = Ðα

O - центр поворота

Ðα - угол поворота

2.) Обозначается поворот следующим образом: (A) = A1.

Направление угла со знаком "+" при повороте против часовой стрелки, со знаком "---" - по часовой, причём обычно угол варьируется от -180º до 180º.

3.) °=

4.) Задаётся поворот точкой O - центром поворота и углом Ðα - углом поворота.

5.) Теперь докажем, что поворот является движением.

(A) = A1

(B) = B1

OA = OA1, ÐAOA1 = Ðα

OB = OB1, ÐBOB1 = Ðα

ÐA1OB1 = Ðα - ÐBOA1 = ÐAOB =>

ΔAOB = ΔA1OB1 (по двум сторонам и углу между ними) => AB = A1B1 => поворот является движением.

6.) Если точки A, B, O Î l, то

AB = AO + OB ("+", если порядок A, O, B; "-", если - O, B, A или O, A, B)

7.) Алгоритм построения образа точки:

Пусть даны точка A, которую нужно перенести, точка O, относительно которой будет осуществляться поворот, и угол Ðα - угол поворота.

1.) Построим окружность с центром в точке O и радиусом OA (Окр(O;OA))

2.) Построим угол ÐMOA1 такой, что ÐMOA1 = Ðα

3.) Окр(O; OA) ∩ OM = A1 - искомая точка

(A) = A1, т. к. ÐAOA1 = Ðα и OA1 = OA = r (всё по построению)

8.) К неподвижным точкам относится точка O - центр поворота.

9.) Преобразование, обратное повороту, - поворот на угол -α.

10.) Тождественное преобразование повороту - поворот на угол в 0º.

13. Осевая симметрия и ее свойства. Теорема об осевой симметрии (определение, обозначе-ние, как задается, построение образа точки, неподвижные точки, обратное преобразова-ние, тождественное преобразование).

Виды движения:

-          параллельный перенос;

-          осевая симметрия;

-          центральная симметрия;

-          поворот;

-          композиция двух преобразований (параллельный перенос и осевая симметрия).

Исследуем осевую симметрию по плану:

1.) Точки X и X1 называются симметричными относительно прямой a, если прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку XX1.

Осевая симметрия - преобразование плоскости, при котором каждая точка плоскости переходит в точку, симметричную относительно прямой a.

2.) Обозначается как: Sa(X) = X1

3.) Осевая симметрия задаётся прямой a, осью симметрии.

4.) Докажем, что осевая симметрия является движением.

Перейдём в систему координат y(x):

Точка A будет иметь координаты (x1;y1), а B - координаты (x2;y2).

Sa(A) = A1

Sa(B) = B1

A(x1;y1) R A1(x1;-y1)

B(x2;y2) R B1(x2;-y2)

|AB| =

|A1B1| = =  =

AB = A1B1

5.) Алгоритм построения образа точки:

1.)   Строим прямую a

2.)   Опустим перпендикуляр (AB) из точки A на прямую a (AB a = O)

3.)   Проведём окружность с центром в точке O и радиусом OA (Окр(O;OA))

4.)   Окр(O;OA) AB = A1

5.)   Sa(A) = A1

6.) К неподвижным точкам осевой симметрии относятся множество точек, лежащих на прямой a.

7.) Обратное преобразование - осевая симметрия.

8.) Тождественное преобразование - поворот вокруг прямой а на 180° в пространстве.

Фигура F имеет симметрию, если любая точка этой фигуры переходит при данной осевой симметрии в точку той же фигуры.

Свойства:

1.) Сохраняются все свойства движения

14. Центральная симметрия и ее свойства. Теорема о центральной симметрии (определение, обозначение, как задается, построение образа точки, неподвижные точки, обратное пре-образование, тождественное преобразование).

Виды движения:

-          параллельный перенос;

-          осевая симметрия;

-          центральная симметрия;

-          поворот;

-          композиция двух преобразований (параллельный перенос и осевая симметрия).

Исследуем центральную симметрию по плану:

1.) Назовём точки A и B симметричными относительно точки O, если точка O является серединой AB

Центральная симметрия относительно точки O - преобразование плоскости, при котором любая точка плоскости переходит в симметричную ей относительно точки O.

2.) Обозначается как (A) = A1, где O - центр симметрии.

3.) Центральная симметрия задаётся точкой O - центром симметрии.

4.) Центральная симметрия является поворотом на 180º (это не тождественное преобразование!!!).

5.) Теперь докажем, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное.

(X) = X1

(Y) = Y1

=>

 

 

 

 => направление изменяется, а расстояние сохраняется => центральная симметрия - движение, изменяющее направление на противоположное.

6.) Алгоритм построения образа точки:

Даны точки O - центр симметрии и точка A

1.)   Построим прямую OA

2.)    Построим окружность с центром в точке O радиусом OA (Окр(O;OA))

3.)    Окр(O;OA) ∩ OA = {A;B}

4.)    B =(A) - искомая точка

7.) Неподвижная точка - центр симметрии.

8.) Обратное преобразование - это та же самая симметрия.

9.) Тождественного преобразования не существует.

Свойства:

1.) Сохраняются все свойства движения, т. к. данное преобразование плоскости является движением

2.) Центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное (смотри пункт 5).

3.) Прямая при центральной симметрии переходит в параллельную себе прямую.

Т. к. прямая определяется вектором, то если вектор поменяет своё направление, то  прямая, также поменяв направление, останется такой же, т. е. параллельной самой себе.

Признаки:

1.) Движение, изменяющее направление на противоположное, является центральной симметрией.

Т. к. это движение меняет направление на противоположное, то . Пусть это движение переводит точку X в точку X1 и точка O - середина отрезка XX1 => . Учитывая всё это, получаем, что

=> O - середина отрезка YY1 и т. к. Y - любая точка, то такое движение называется симметрией с центром в точке O.

15. Гомотетия и ее свойства. Теорема о гомотетии (определение, обозначение, как задается, построение образа точки, неподвижные точки, обратное преобразование, тождественное преобразование).

Исследуем гомотетию по плану:

1.) Гомотетия с центром в точке O и коэффициентом k - преобразование плоскости, при котором точка A переходит в такую точку A1, что .

2.) Обозначается: (A) = A1

3.) Задаётся гомотетия её центром (точка) и коэффициентом k.

4.) Алгоритм построения образа точки:

Рассмотрим два случая:

а.) k > 0

1.)    Строим луч OAa

2.)    На этом луче строим такую точку A1, что OA1 = k*OA

б.) k < 0

1.)    Также строим луч OAa

2.)    Затем дополнительный луч Ob

3.)    На луче Ob строим A1 такую, что OA1 = k*OA

5.) Неподвижная точка при гомотетии - её центр.

5.) Тождественное преобразование - при гомотетии с коэффициентом k = 1, а при коэффициенте k = ----1 гомотетия равносильна центральной симметрии с центром в точке O, центре этой гомотетии. Также при коэффициенте k = 1 все точки будут неподвижными.

Только в этих случаях гомотетия является движением, т. к. только при коэффициенте, не равном "-1" или "1" расстояния между точками не будет меняться.

6.) Обратным преобразованием будет гомотетия с тем же центром и коэффициентом, равным .

Свойства:

1.) При гомотетии с коэффициентом k любой вектор переходит в вектор, умноженный на k.

(A) = A1

(B) = B1

==

 => гомотетия является подобием.

2.) При гомотетии отрезок переходит в отрезок (необязательно равный по длине).

(A) = A1

(B) = B1

XÎAB ó, где  => если число t возрастает, то X пробегает по отрезку AB от A к B.

По 1-ому свойству гомотетии  и  => => и =>

=>  =>

=>  =>

=> если t будет возрастать от 0 до 1, точка X1 пробегает отрезок A1B1 => при гомотетии отрезок переходит в отрезок.

3.) При гомотетии угол переходит в равный угол.

Пусть =, =, =, = =>


 

 

ÐBAC = Ð(^) и ÐB1A1C1 = Ð(^).

По 1-ому свойству гомотетии  = k* и = k*=>

|| = |k| * || и || = |k| * ||

* = (k)*(k) = k2(*)

Тогда cos Ð(^) =  =  =  = cos Ð(^)

Из равенства косинусов следует равенство углов.

4.) При гомотетии треугольник переходит в треугольник (равны соответственные углы, а стороны пропорциональны).

Треугольник ΔABC заполняют отрезки AX, где X Î BC. Все эти отрезки переходят в отрезки A1X1 и заполняют треугольник A1B1C1. Пропорциональность сторон вытекает из 1-ого свойства, а равенство углов следует из свойства 3.

5.) Композиция двух гомотетий с коэффициентами k1 и k2 будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом k1k2.

(A) = A1

(A1) = A2

=>  => А2 получена переходом при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом k1k2 => º=

6.) В случаях, когда k = 1 или k = -1 гомотетия сохраняет все свойства движения.

16. Подобие. Теорема о задании подобия. Свойства.

Подобие - преобразование плоскости, при котором расстояние между точками изменяется в одном и том же отношении (т. е. умножается на одно и то же положительное число).

X1Y1 = k*XY

F и F1 подобны с коэффициентом k (k называют коэффициентом подобия).

Теорема

Подобие с коэффициентом k является композицией гомотетии с коэффициентом k с любым центром и движения.

Пусть фигура FF1 при подобии с коэффициентом k.

Проведём гомотетию с произвольным центром с коэффициентом k. При этой гомотетии

X,Y → X1, Y1

X1Y1 = k*XY

(X,Y Î F; X1,Y1 Î F1; F → F1)

Для точек X1, Y1 Î F1:

X1Y1 = k*XY (по определению подобия)

X1Y1 = X1Y1 => F1 и F1 равны => значит, их можно перевести движением из одной в другую.

Свойства:

1.) Сохраняются все свойства гомотетии.

2.) При подобии с коэффициентом k площадь многоугольника умножается на k2.

Площадь треугольника равны половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними. В результате подобия с коэффициентом k каждая сторона умножается на k, а углы сохраняются => площадь умножается на k2.

Многоугольные фигуры состоят из треугольников и т. к. площадь каждого умножается на k2, то и вся сумма умножается на k2 => поэтому площадь многоугольной фигуры умножится k2.

3.) Композиция подобий с коэффициентами k1 и k2 есть подобие с коэффициентом k1k2.

Доказательство аналогично доказательству для гомотетий.

4.) Подобие обратимо

Обратное преобразование для подобия с коэффициентом k - подобие с коэффициентом

Тождественное преобразование - подобие с коэффициентом 1.

Подобие в треугольниках

Пусть у двух треугольников ΔABC и ΔA1B1C1 углы соответственно равны: ÐA = ÐA1, ÐB = ÐB1, ÐC = ÐC1. В таком случае стороны AB и A1B1, BC и B1C1, AC и A1C1 называются сходственными.

Два треугольника называется подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого или если их обозначить как ΔABC и ΔA1B1C1, то

ÐA = ÐA1, ÐB = ÐB1, ÐC = ÐC1

, где k - коэффициент подобия, равны отношению сходственных сторон.

Теорема

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть треугольники ΔABC и ΔA1B1C1 подобны с коэффициентом k. Т. к. ÐA = ÐA1, то, где S и S1 - площади треугольников.

А т. к.  и , то

Признаки подобия треугольников:

1.) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

Пусть у двух треугольников ΔABC и ΔA1B1C1  ÐA = ÐA1, ÐB = ÐB1. Т. к. сумма углов в треугольнике равна 180°, то ÐС = ÐС1 = 180° - ÐA - ÐB. Таким образом, углы треугольника ΔABC соответственно равны углам треугольника ΔA1B1C1.

Пусть S - площадь DABC, S1 - площадь DA1B1C1 и т. к. ÐA = ÐA1, ÐC = ÐC1, то

 и  => . Аналогично, используя равенства ÐA = ÐA1, ÐB = ÐB1, мы получаем, что  => сходственные стороны треугольников пропорциональны.

2.) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то эти треугольники называются подобными.

3.) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

17. Геометрическое соотношение между элементами прямоугольного треугольника. Средние геометрические, свойство медианы. Теорема Пифагора.

Теорема о среднем пропорциональном (геометрическом)

1.) Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Доказательство:

ΔADC ~ ΔCBD (по двум углам (ÐCDB = ÐCDA = 90°, ÐACD = 90° - ÐCAD = 90° - ÐCAB = ÐCBD)) =>

=> => CD2 = AD*DB =>

2.) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Доказательство:

ΔABC ~ ΔACD (по двум углам (ÐACB = ÐADC = 90°, ÐA - общий)) =>

=>  => AC2 = AB*AD =>

Геометрическое соотношение между элементами прямоугольного треугольника.

Формулы медианы, биссектрисы, высоты, радиусов описанной и вписанной окружности для прямоугольного треугольника.

Формула медианы (свойство медианы)

Медиана, проведённая к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

Условие:

ΔABC: ÐA = 90°

AO - медиана

Доказательство:

Проведём прямую CDAB

Продолжим AO за точку O

AOCD = D

Рассмотрим треугольники ΔABO и ΔCOD:

ÐABO = ÐDCO, т. к. AB║CD

ÐBOA = ÐDOC (вертикальные)

BO = OC, т. к. AO - медиана

эти треугольники равны (по второму признаку) => AB = CD

как соответствующие элементы равных треугольников.

ÐDCA = 90°, т. к. AB║CD и AB^AC

Рассмотрим треугольники ΔСAB и ΔCAD:

Они равны по двум катетам (AB = CD, AC - общий) =>

ÐOAC = ÐOCA как соответствующие элементы равных треугольников => в треугольнике ΔAOC AO = OC => медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

Формула биссектрисы

Биссектриса в прямоугольном треугольнике равна отношению произведения катетов на корень из двух к их сумме.

Доказательство:

Мы знаем формулу биссектрисы треугольника для произвольного угла:

k = , где k - биссектриса; b, c - стороны, на который биссектрисы не падает, ÐA - угол, из которого выходит биссектриса

В нашем случае b и с - катеты, а угол ÐA = 90°.

В итоге, k =

Формула высоты

1.) Высота в прямоугольном треугольнике равна корню из произведения отрезков гипотенузы, поделённых этой высотой.

Доказательство:

В нашем случае высота является средним пропорциональным => равна корню из произведения отрезков, поделённых этой высотой.

2.) Высота в прямоугольном треугольнике равна отношению произведения катетов к гипотенузе.

Доказательство:

Площадь прямоугольного треугольника равна , где a и b - катеты, но, с другой стороны, , где h - высота, c - гипотенуза =>  => , т. е. высота в прямоугольном треугольнике равна отношению произведения катетов к гипотенузе.

Формула радиуса описанной около прямоугольного треугольника окружности

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Мы знаем, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе этого треугольника => эта гипотенуза является диаметром, а диаметр равен двум радиусам => радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы.

Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен отношению произведения катетов к периметру этого треугольника.

Доказательство:

По следствию из первой формулы площади треугольника S = , где a, b - катеты. С другой стороны, по формуле площади треугольника через радиус вписанной окружности S = , где P - периметр, а r - радиус вписанной окружности.

  = 

 =

r = .

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Достроим этот треугольник до квадрата со стороной a+b. Площадь получившегося квадрата (S) равна (a+b)2. С другой стороны этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна , и квадрата со стороной c => S=4* + c2. Таким образом, (a + b)2 = 2ab + c2 => c2 = a2 + b2.

Теорема обратная к теореме Пифагора

Если квадрат одной сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ΔABC AB2 = AC2 + BC2. Рассмотрим прямоугольный треугольник A1B1C1 с прямым углом C1, у которого A1C1 = AC, B1C1 = BC. По теореме Пифагора:  =>

По условию  =>  => A1B1 = AB => треугольники ΔABC и ΔA1B1C1 равны по трём сторонам => ÐC = ÐC1 => ΔABC - прямоугольный.

18. Геометрическое соотношение между элементами прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников.

Геометрическое соотношение между элементами прямоугольного треугольника.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета и гипотенузы.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего этому углу катета и гипотенузы.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению катета, противолежащему этому углу, к прилежащему катету.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению катета, прилежащему этому углу, к противолежащему катету.

Решение прямоугольных треугольников

Решение треугольника - нахождение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.

Решение прямоугольного треугольника - нахождение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь двум данным элементам (один из которых линейный), определяющим треугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABC: ÐB = 90°.

Пусть сторона, лежащая против угла ÐC, будет равна b, против ÐB - c, ÐA - a.

Выражение гипотенузы через катеты и углы

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике равна отношению катета и синуса противолежащего угла:

с = , с =

или отношению катета и косинуса прилежащего угла:

с = , с =

Выражение катетов через гипотенузу и углы

Катет в прямоугольном треугольнике равен произведению гипотенузы и синуса противолежащего угла:

a = c*sin A

b = c*sin C

или произведению гипотенузы и косинуса прилежащего угла:

a = c*cos C

b = c*cos A

Выражение катета через другой катет и углы

Катет в прямоугольном треугольнике равен произведению другого катета и тангенса противолежащего угла:

a = b*tg A

b = a*tg C

или произведению того же катета и котангенса прилежащего угла:

a = b*ctg C

b = a*ctg A

Приведём несколько примеров решения прямоугольного треугольника в общем случае:

1.) Пусть дан угол и сторона.

По сумме углов треугольника мы находим третий угол. Далее, если нам дана гипотенуза, то найдём через косинус прилежащего угла один катет, а по теореме Пифагора - другой; а если дан катет, то через котангенс прилежащего угла найдём второй катет, а гипотенузу - по теореме Пифагора.

2.) Пусть даны две стороны.

По теореме Пифагора найдём третью сторону. Далее легко вычислить синусы двух острых углов (из отношения противолежащих этим углам катетов и гипотенузы), а из синусов выразим сами углы.

19. Теорема косинусов. Виды треугольника (остроугольность, тупоугольность). Применение теоремы косинусов для решения треугольников.

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Условие:

ΔABC

Доказательство:

Есть три варианта значения ÐС:

1) ÐС = 90°

Тогда cos ÐC = 0 и доказательство сводится к теореме Пифагора.

2) ÐС < 90°

В ΔABC есть ещё хотя бы один острый угол. Пусть это будет угол ÐB. Из вершины ÐА проведём высоту AD. Т. к. углы ÐB и ÐС острые, точка D лежит внутри BC. Отрезок CD = b1 будет катетом в прямоугольном треугольнике ΔACD с гипотенузой AC = b и прилежащим острым углом ÐC. Поэтому b1 = b*cos C.

По теореме Пифагора находим с2 из другого прямоугольного треугольника ΔABD с катетами AD = h и BD = a - b1 => с2 = (a - b1)+h2.

Но h2 = b2 -  из треугольника ΔACD. Подставив это выражение для h2 в равенство и заменив b1 по формуле b1 = b*cos C, придём к следующему равенству:

с2 = a2 - 2ab1 +  + b2 - = a2 + b2 - 2ab*cos ÐC.

3) ÐС > 90°

Снова проведём высоту AD = h из вершины ÐА. Теперь её основание - точка D - лежит на продолжении ВС за точкой С. Снова обозначим отрезок СD через b1. В этом случае BD = a+b1 и из прямоугольного треугольника ΔABD по теореме Пифагора с2 = (a+b1) + h2.

По определению косинуса тупого угла: cos ÐC = . Поэтому b1 = - b*cos C. Наконец, из треугольника ΔACD снова получаем, что h2 = b2 - . Подставив выражение для h2 и для b1, т. е. b1 = b*cos C, мы придём к следующему равенству:

с2 = b2 -  + a2 + 2ab1 + = a2 + b2 - 2ab*cos ÐC.

Виды треугольника

Если в треугольнике все три угла острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то этот треугольник называется тупоугольным. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Существует ещё два вида треугольника: равнобедренный, у которого две какие-то стороны равны между собой (может быть остроугольным, тупоугольным, прямоугольным), и равносторонний, у которого все стороны равны (только остроугольный).

Косинус тупого угла отрицателен, косинус острого угла - положителен, косинус прямого угла равен нулю => по теореме косинусов:

- в тупоугольном треугольнике c2 > a2 + b2, где c - сторона, лежащая против тупого угла;

- в остроугольном треугольнике c2 < a2 + b2;

- в прямоугольном треугольнике c2 = a2 + b2 , где c - гипотенуза (теорема Пифагора).

Применение теоремы косинусов для решения треугольников

Решение треугольника - нахождение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.

1) Приведём пример решения треугольника с помощью теоремы косинусов (решение треугольника по двум сторонам и углы между ними).

Дано:

a, b, ÐC

Найти: c, ÐA, ÐB

Решение:

По теореме косинусов найдём сторону с, противолежащую углу ÐС:

с = 

Снова, пользуясь теоремой косинусов, получаем:

cos A =  =  =  =

ÐA = arcos

По теореме о сумме углов в треугольнике, находим последний угол ÐB:

ÐB = 180° - ÐA - ÐC

2) Приведём ещё один пример решения треугольника с помощью теоремы косинусов (решение треугольника по трём сторонам).

Дано:

a, b, c

Найти: ÐA, ÐB, ÐC

Решение:

Пользуясь теоремой косинусов, получаем:

cos ÐA =

ÐA = arcos

Аналогично найдём угол ÐB.

По теореме о сумме углов в треугольнике, находим последний угол ÐB:

ÐC = 180° - ÐA - ÐB

20. Теорема синусов и неравенства в треугольнике (углов и сторон, сторон). Применение теоремы синусов для решения треугольников.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Условие:

ΔABC

AB = c, BC = b, AC = c

Доказательство:

По теореме о площади треугольника:

SABC =  (1), SABC =  (2), SABC =  (3)

Из (1) и (2) следует, что  =  => a*sin C = c*sin C =>  =

Из (2) и (3) следует, что   =  => b*sin A = a*sin B =>  =

Итак,  =  =

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол (1) и обратно, против большего угла лежит большая сторона (2).

1) Условие:

ΔABC: AB > AC

Доказательство:

Отложим на стороне AB отрезок AD, равный стороне AC. Т. к. AD < AB, то точка D лежит между точками A и B => Ð1 является частью угла ÐC => ÐC > Ð1. Ð2 - внешний угол ΔBDC => Ð2 > ÐB. Углы Ð1 и Ð2 равны, как углы при основании равнобедренного треугольника ΔADC => ÐC>Ð1, Ð1 = Ð2, Ð2 > ÐB => ÐC > ÐB

2) Условие:

ΔABC: ÐC > ÐB

Доказательство:

Предположим, что AB = AC => ΔABC - равнобедренный => ÐC = ÐB (неверно)

Теперь пусть AB < AC => ÐB > ÐC (против большей стороны лежит больший угол) (неверно). Итак, остается один вариант: AB < AC.

Доказательство через теорему синусов:

По теореме синусов  =  или . Отсюда следует, что если в треугольнике ÐA > ÐB, то sin A > sin B => a > b и наоборот, т. е. если ÐA - больший, то против него лежит большая сторона и наоборот.

Следствия:

1.) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Гипотенуза лежит против прямого угла, катет - против острого. Т. к. прямой угол больше острого => гипотенуза больше катета.

2.) Если два угла в треугольнике равны, то этот треугольник равнобедренный.

Допустим, что не так и треугольник не равнобедренный => какая-то из сторон, лежащих против равных углов будет больше => какой-то из углов больше (против большей стороны лежит больший угол). Получаем противоречие => треугольник равнобедренный.

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Рассмотрим произвольный треугольник ΔABC. Отложим на продолжении стороны AC отрезок CD, равный стороне CB. В равнобедренном треугольнике ΔBCD Ð1 = Ð2, а в ΔABD

ÐABD > Ð1 = > ÐABD > Ð2. А т. к. в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то AB < AD. Но AD = AC + CD = AC + CB => AB < AC + BC.

Следствие:

Для любых трёх точек A, B и C, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: AB < AC + BC, AC < AB + BC, BC < AB + AC. Каждое из них называется неравенством треугольника.

Применение теоремы синусов для решения треугольников

Решение треугольника - нахождение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.

Приведём пример решения треугольника с помощью теоремы синусов (решение треугольника по стороне и двум углам).

Дано:

a, ÐB, ÐC

Найти: b, c, ÐA

Решение:

По теореме о сумме углов в треугольнике, находим последний угол ÐB:

ÐA = 180° - ÐB - ÐC

По теореме синусов найдём стороны b и с:

b = , c =

21. Медиана треугольника и ее свойства (равновеликие треугольники, формула вычисления, медиана в прямоугольном и равнобедренном треугольнике).

Медиана треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Формула длины медианы

Длина медианы равна удвоенной сумме квадратов сторон, с которыми медиана не имеет общих точек, минус квадрат третьей стороны, делённой на четыре.

Условие:

ΔАВС

AM - медиана

Y

 

 
Доказательство:

 

Пусть AB = c, BM = MC = , AC = b, AM = ma.

По теореме косинусов

cos ÐAMB =

cos ÐAMC =

cos ÐAMB = -Ðcos AMC (т. к. смежные) =>

Медина в прямоугольном треугольнике

Медиана, проведённая к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

Условие:

ΔABC: ÐA = 90°

AO - медиана

Доказательство:

Проведём прямую CDAB

Продолжим AO за точку O

AOCD = D

Рассмотрим треугольники ΔABO и ΔCOD:

ÐABO = ÐDCO, т. к. AB║CD

ÐBOA = ÐDOC (вертикальные)

BO = OC, т. к. AO - медиана

эти треугольники равны (по второму признаку) => AB = CD

как соответствующие элементы равных треугольников.

ÐDCA = 90°, т. к. AB║CD и AB^AC

Рассмотрим треугольники ΔСAB и ΔCAD:

Они равны по двум катетам (AB = CD, AC - общий) =>

ÐOAC = ÐOCA как соответствующие элементы равных треугольников => в треугольнике ΔAOC AO = OC => медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

Медиана в равнобедренном треугольнике

Т. к. в равнобедренном треугольнике медиана совпадает с высотой, то найдём её по по теореме Пифагора. Медиана равна корню квадратному из суммы квадратов половины основания и боковой стороны:

m = , где m - длина медианы, b - боковая сторона, a - основание.

Свойства:

1-2.) Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая делит их в отношение 2:1.

Рассмотрим произвольный треугольник ΔABC.

Пусть точка O = AA1BB1. Проведём среднюю линию A1B1. A1B1AB => Ð1 = Ð2 и Ð3 = Ð4 => ΔAOB ~ ΔA1OB1 по двум углам => их стороны пропорциональны:

А т. к. AB = 2A1B1, то AO = 2A1O и BO = 2B1O => точка O пересечения медиан AA и BB делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Аналогично мы можем доказать, что точка пересечения медиан BB1 и CC1 делит каждую из них в отношении 2:1 => совпадает с точкой O.

3.) Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Доказательство:

Площади этих треугольников будут равны, т. к. основания равны, а высота общая.

4.) Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.

Мы знаем, что медианы пересекаясь в одной точке, делятся в отношение 2 к 1.

Поскольку SΔB1CO относится к SΔBCO как 2 к 1   

SΔCA1O = SΔA1BO                    

SΔB1CO относится к SΔCOA1 как 1 к 1 => равные.

Аналогично можно доказать, что площади остальных треугольников равны.

22. Биссектриса внутреннего угла треугольника и ее свойства (точка пересечения биссектрис, формулы вычисления, биссектриса внешнего угла).

Биссектриса угла - луч, делящий угол на две равные части.

Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с противоположной стороной.

Теорема о пропорциональных отрезках

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Условие:

ΔАВС

ВК - биссектриса

Доказательство:

, т. к. высота к АС общая

 =>

Формулы биссектрисы:

Длина биссектрисы угла треугольника равна отношению удвоенного произведения сторон, образующих этот угол, помноженного на косинус половины угла, из которого она выходит, к их сумме.

Условие:

ΔАВС

AK - биссектриса

Y

 

 
Доказательство:

 

Пусть AB = c, BC = a, AC = b, AK = k

SΔАВС = SΔАВK + SΔAKС

*sin A = *sin  + *sin

sin A = 2sin *cos

cb*sin *cos = * sin + *sin

2bc*cos = k(c+b)

k =

Квадрат длины биссектрисы угла треугольника равна разности произведений сторон, образующих этот угол, и отрезков, которые она образует при делении третьей сторону.

Условие:

ΔАВС

AK - биссектриса

Y

 

 
Доказательство:

 

Пусть AB = c, BK = x, KC = y, AC = b, AK = k

По теореме косинусов

cos ÐAKB =

cos ÐAKC =

cos ÐAMB = -cos ÐAMC (т. к. смежные) =>

=

k2y + x2y - c2y = -k2x - y2x + b2x

k2y + k2x = b2x + c2y - x2y - y2x

 (по теореме о пропорциональных отрезках)

Свойства:

1-2.) Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон и обратно, каждая точка, лежащая  внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Доказательство:

1.) Возьмём произвольную точку M на биссектрисе ÐBAC, проведём перпендикуляры MK и ML прямым к прямым AB и AC. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔAMK и ΔAML. Они равны по гипотенузе (AM - общая гипотенуза) и острому углу (Ð1 = Ð2 (по условию)) => MK = ML.

2.) Пусть точка M лежит внутри ÐBAC и равноудалена от его сторон AB и AC. Проведём перпендикуляры MK и ML прямым к прямым AB и AC. Прямоугольные треугольники ΔAKM и ΔALM равны по гипотенузе (AM - общая гипотенуза) и катету (MK=KL (по условию)).

3.) Биссектрисы треугольника пресекаются в одной точке (следствие из 1-2).

Пусть точка O - пересечение биссектрис AA1 и BB1 треугольника ΔABC. Проведём перпендикуляры OK, OL и OM соответственно к прямым AB, BC и AC. По 1 свойству биссектрисы OK = OM, OK = OL => точка O равноудалена от сторон ÐACB => по 2-ому свойству биссектрис точка O лежит на биссектрисе CC1 этого угла.

4.) Биссектриса внешнего угла перпендикулярна биссектрисе угла, смежному к этому углу.

Условие:

ΔABC

CM, CL - биссектрисы

Доказательство:

ÐACB + ÐBCK = 180°, т. к. они смежные

ÐBCM =  (по условию)

ÐBCL =  (по условию)

ÐBCM + ÐBCL =  = 90° = ÐMCL = > MC^CL

23. Окружность. Вывод уравнения окружности. Окружность. Длина окружности. Длина дуги окружности. Круг. Площадь круга. Площадь кругового сектора и сегмента.

Окружность - множество точек на плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

Вывод уравнения окружности

Пусть на плоскости введены прямоугольные координаты. Рассмотрим окружность радиусом r и с центром в точке C(a,b). Если точка M(x,y) принадлежит окружности, то её расстояние от центра равно r, т. е. MC = r.

Выразим MC через координаты точек M и C:

MC =

Но MC = r => (x-a)2 + (y-b)2 = r2

Если же точка M(x,y) не принадлежит этой окружности, то MCr => её координаты не удовлетворяют полученному уравнению => это уравнение окружности.

Длина окружности

Пусть C и C1 - длины окружностей радиусов R и R1. Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим их периметры P и P1, а стороны a и a1. Мы знаем, что a = 2R*, где a - сторона n-угольника, R - радиус описанной окружности =>

P = n*a = n*2R*

P1 = n*a1 = n*2R1*

Отсюда получаем, что .

Это неравенство справедливо при любом значении n. Будем неограниченно увеличивать n. Т. к . PC, P1 C1 при n → ∞, то предел отношения  равен . С другой стороны этот предел равен  => .

Итак, отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать как π (3,1415926535897932384626433832795).

Из равенства  следует, что длина окружности равна: С = 2πR

Длина дуги окружности

Т. к. мы знаем длину окружности и что вся окружность представляет собой дугу в 360°, то найдём длину дуги в 1°: . Поэтому длина дуги l с градусной мерой α выражается как:

l =

Круг - часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь круга

Рассмотрим правильный n-угольник A1A2:An, вписанный в окружность, ограничивающую круг. Очевидно, что площадь S данного круга больше площади Sn многоугольника A1A2:An, т. к. это многоугольник целиком содержится в данном круге. С другой стороны, площадь круга , вписанного в многоугольник, меньше Sn, т. к. это круг целиком содержится в многоугольнике:

< Sn <S

Будем неограниченно увеличивать число сторон многоугольника. По формуле

r = R*, где r - радиус вписанной окружности. При n → ∞  → 1 => rR, т. е. при увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность стремится к описанной окружности =>  → S при n → ∞ => SnS.

Зная, что S =  для правильного многоугольника, получаем: Sn = , где P - периметр многоугольника A1A2:An.

Учитывая, что rR, P → 2πR, SnS при n → ∞, получаем: S =  = πR2.

Итого, площадь круга S равна:

S = πR2

Круговой сектор - часть круга, ограниченная дугой т двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Площадь кругового сектора

Т. к. мы знаем площадь окружности и что вся окружность представляет собой дугу в 360°, то площадь сектора, ограниченного дугой в 1°: . Поэтому площадь сектора S с градусной мерой α выражается как:

S =

Сегмент - часть круга, ограниченная хордой и дугой, отсекаемой этой хордой.

Площадь сегмента

Площадь сегмента, ограниченного дугой легко найти, отняв от площади сектора, ограниченного той же дугой, площадь треугольника, стороны которого -  два радиуса и хорда (ΔOAB):

S =  -

S =

24. Окружность. Углы в окружности. Теорема о вписанных и центральных углах (вписанные, центральные углы, следствия теоремы о вписанных и центральных углах, угол между хордами, угол между секущей и касательной, угол между хор-дой и касательной, угол между секущими).

Окружность - множество точек на плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

Касательная - прямая, имеющая с окружностью одну общую точку (точка касания).

Хорда - отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Секущая - прямая, пересекающаяся с окружностью в двух точках.

Центральный угол - угол с вершиной в центре окружности, а стороны пересекают окружность.

Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Пусть ÐABC - вписанный угол окружности с центром в точке O, опирающийся на дугу AC. Рассмотрим три возможных случая расположения луча BO относительно угла ÐABC:

1) Луч BC совпадает с одной из сторон угла ÐABC, например, со стороной BC.

В этом случае дуга ÈAC меньше полуокружности => ÐAOC = ÈAC. Т. к. ÐAOC - внешний угол равнобедренного треугольника ΔABO, а углы Ð1 и Ð2 при основании равнобедренного треугольника равны, то ÐAOC = Ð1 + Ð2 = 2Ð1 => 2*Ð1 = ÈAC или ÐABC = Ð1 =

2) Луч BO делит ÐABC на два угла.

В этом случае BO пересекает ÈAC в некоторой точке D. Точка D разделяет ÈAC на две дуги: ÈAD и ÈDC. По уже доказанному ÐABD =  и ÐDBC = . Сложив оба равенства, получаем: ÐABD + ÐDBC =  или ÐABC = .

3) Луч BO не делит ÐABC на два угла и не совпадает со сторонами этого угла.

А в этом случае BO пересекает окружность в точке D. По уже доказанному ÐABD =  и ÐCBD = . Вычтем из первого равенства второе: ÐABD - ÐCBD = , т. е. ÐABC = .

Следствия:

1.) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

2.) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине величины дуги, расположенной внутри этого угла.

Условие:

О - центр окружности

АС - хорда

AL - касательная

Доказательство:

Проведём отрезки ОА и ОС.

ОА = ОС, т. к. ОА и ОС - радиусы.

Рассмотрим ΔАOС:

ÐОАС = ÐОСА, т. к. ОА = ОС

=>

 

 

ÐLAC = ÐLAO - ÐOAC

ÐLAC = 90° -  =  

=>

 

 

ÐAОC = ÈAC, т. к. ÐАОС - центральный

ÐLAC =

Угол между двумя хордами

Если две хорды пересекаются, то угол между ними равен полусумме дуг, образованных этими хордами.

Условие:

О - центр окружности

АВ и СD - хорды

Е - точка их пересечения.

Доказательство:

ÐАDВ = , т. к.  ÐАDB - вписанный

ÐСВD = , т. к. ÐCBD - вписанный

ÐAEB = ÐАDB + ÐCBD, т. к. ÐAED - внешний угол ΔBED=>

ÐAEB =  +  =

Угол между двумя секущими

Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, расположенных между секущими.

Условие:

АС и АМ - секущие

Доказательство:

Построим ВК║NM

=>

 
ÐСВК =  =

 

ÈКМ = ÈBN, т. к. ВК║NM

ÐСВК =     

=>

 

 

ÐСВК = ÐСАМ, т. к. ВК║NM

ÐCАМ =

Угол между касательной и секущей

Угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, расположенных между ними.

А

 

 

Условие:

АС - секущая

АВ - касательная.

Доказательство:

Построим DК║AB

=>

 
ÐKDC = =

 

 ÈКB = ÈBD (смотри решение 1)

=>

 
ÐKDC =

 

ÐBAС = ÐKDC, т. к. ВК║NM

ÐBАC =

Решение 1

Условие:

О - центр окружности

КD - хорда

АВ - касательная

BB1 - диаметр

Доказательство:

ВТ^ТК, т. к. АВ║ТК и АВ^ВТ

КD^BB1 => KT = TD

Рассмотрим ΔКOТ и ΔТOD:

Они равны по гипотенузе (КО = ОD) и катету (ОТ - общий) =>

ÐВОК = ÐВОD как соответственные элементы равных треугольников. Также эти углы центральные => они опираются на равные дуги => ÈКB = ÈBD

25. Касательная. Построение касательной к окружности. Теоремы об отрезках касательных, критерий касательной.

Окружность - множество точек на плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

Касательная - прямая, имеющая с окружностью одну общую точку (точка касания).

Отрезки касательных - отрезки, ограниченные точками касания и точкой пересечения касательных.

Свойство:

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Пусть q - касательная к окружности с центром O, A - тока касания.

Допустим, что q не перпендикулярна радиусу, тогда OA - наклонная к прямой q. Т. к. перпендикуляр, проведённый из точки O к прямой q, меньше наклонной OA, то расстояние от центра окружности до прямой q меньше радиуса => прямая q и окружность имеют две токи пересечения => q - не касательная, что противоречит условию => предположение не верно => q^OA.

Признак (критерий касательной):

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Т. к данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра окружности к данной прямой, то расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу => прямая и окружность имеют одну точку пересечения => эта прямая - касательная.

Построение касательной к окружности

Построим окружность с центром O и точку A вне этой окружности. Допустим, что AB - касательная. Т. к прямая AB^OB, где OB - радиус, то задача сводится к построению точки B на окружности, для которой ÐABO прямой.

Проводим отрезок OA и строим его середину Q. Затем проводим окружность с центром в точке Q радиуса AQ. Это окружность пересекает данную в двух точках: B и C. Прямые AB и AC - искомые касательные, т. к. AB^OB и AC^OC.

ÐABO и ÐACO, вписанные в окружность с центром Q, - прямые, потому что опираются на диаметр.

Задача имеет два решения.

Теорема об отрезках касательных

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку.

По свойству касательной ÐOBA = ÐOCA = 90° => ΔOBA = ΔOCA(по гипотенузе (OA - общая) и катету (OB = OC (радиусы))) => AB = AC и ÐBAO = ÐCAO как соответственные элементы равных треугольников.

26. Окружность. Хорды и дуги. Теорема о хорде и диаметре (свойства равных и неравных хорд, параллельные хорды, угол между хордами, теорема об отрезках хорд, средние геометрические).

Окружность - множество точек на плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

Хорда - отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Свойства хорд:

1.) Хорды одной окружности равны ó когда они равноудалены от центра.

(=>)

Условие:

O - центр окружности

АВ и СD - хорды

OH и OH1 - высоты

СD = AB

Доказательство:

По свойству диаметра

=>

 
HD = , т. к. OH^CD,

 

BH1 = , т. к. OH1^AB

HD = BH1

OD = OB, т. к. OB и OD - радиусы.

Рассмотрим  ΔODH и ΔBOH1:

Они равны по гипотенузе (OD = OB) и катету (HD = BH1)

OH = OH1 как соответствующие элементы равных треугольников.

(<=)

Условие:

O - центр окружности

АВ и СD - хорды

OH и OH1 - высоты

OH = OH1

Доказательство:

OD = OB, т. к. OB и OD - радиусы.

Рассмотрим  ΔODH и ΔBOH1:

Они равны по гипотенузе (OD = OB) и катету (OH = OH1)

HD = BH1 как соответствующие элементы равных треугольников.

По свойству диаметра

HD = , т. к. OH^CD,

=>

 

 

BH1 = , т. к. OH1^AB

HD = BH1 =>  =   => CD = AB

2.) Хорды одной окружности равны ó когда они стягивают равные центральные углы или дуги.

(=>)

Условие:

O - центр окружности

АВ и СD - хорды

ÐCOD = ÐAOB

Доказательство:

AO = OB = OD = OC, т. к. AO, OD, OC, OB - радиусы.

Рассмотрим ΔCOD и ΔABO:

Они равны по двум сторонам (СO = OD, OA = OB) и углу между ними (ÐCOD = ÐAOB) => СD = AB как соответствующие элементы равных треугольников.

(<=)

Условие:

O - центр окружности

АВ и СD - хорды

AB = CD

Доказательство:

AO = OB = OD = OC, т. к. AO, OD, OC, OB - радиусы.

Рассмотрим ΔCOD и ΔABO:

Они равны по трём сторонам (СO = OD, OA = OB, CD = AB (по условию)) =>

ÐCOD = ÐAOB как соответствующие элементы равных треугольников.

3.) Хорды одной окружности параллельны ó когда равны дуги, заключённые между ними.

(=>)

Условие:

СD и AB - хорды

ABCD

Доказательство:

Т. к. ABCD (по условию), то

ÐABC = ÐBCD (накрест лежащие)

Также эти углы вписанные =>

ÐABC = 2ÈAC

=>

 

 

ÐBCD = 2ÈBD

ÈAC = ÈBD

(<=)

Условие:

СD и AB - хорды

ÈAC = ÈBD

 Доказательство:

=>

 
ÐABC = 2ÈAC

 

ÐBCD = 2ÈBD

ÈAC = ÈBD

ÐABC = ÐBCD

Т. к. ÐABC = ÐBCD, то AB║CD

Свойство диаметра:

Диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром ó когда он проходит через её середину.

(=>)

Условие:

О - центр окружности

АВ - диаметр

МК - хорда

MK^AB

Н - середина МК

Доказательство:

MO = OK, т. к. MO и ОК - радиусы.

Рассмотрим ΔMOH и ΔHOK:

Они равны по гипотенузе (МО = ОК) и катету (ОН - общий) => MH = HK как соответственные элементы равных треугольников.

(<=)

Условие:

О - центр окружности

АВ - диаметр

МК - хорда

H - середина МК

МН = НК

Доказательство:

MO = OK, т. к. MO и ОК - радиусы.

Рассмотрим ΔMOH и ΔHOK:

Они равны по трём сторонам

(МО = ОК, МН = НК, ОН - общая) =>

ÐОНМ = ÐОНК

=>

 

 

ÐОНМ + ÐОНК = 180°

ÐОНМ = ÐОНК = 90°  => MK^AB

Угол между двумя хордами

Если две хорды пересекаются, то угол между ними равен полусумме дуг, образованных этими хордами.

Условие:

О - центр окружности

АВ и СD - хорды

Е - точка их пересечения.

Доказательство:

ÐАDВ = , т. к.  ÐАDB - вписанный

ÐСВD = , т. к. ÐCBD - вписанный

ÐAEB = ÐАDB + ÐCBD, т. к. ÐAED - внешний угол ΔBED =>

ÐAEB =  +  =

Теорема об отрезках хорд

Если две хорды одной окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Условие:

AB и CD - хорды

E - точка их пересечения

Доказательство:

Проведём CB и AD.

=>

 
ÐBAD = ÐDEB, т. к. опираются на одну дугу BD

 

ÐCEB = ÐAED (вертикальные)

ΔАВС ~ ΔADB => => AE*BE = DE*EC.

27. Теорема о пропорциональности отрезков хорд. Среднее геометрическое в окружности. Теорема о пропорциональности отрезков секущих. Свойства касательной.

Теорема о пропорциональности отрезков хорд (теорема о квадрате касательной)

Если касательная и секущая одной окружности пересекаются, то квадрат отрезка касательной от общей точки с секущей до точки касания равен произведению отрезков секущей от общей точки с касательной до точек касания с окружностью.

Условие:

AB - касательная

AD - секущая

Доказательство:

Рассмотрим ΔАВС и ΔADB:

=>

 
ÐBDC =

 

ÐABC =  (по углу между

хордой и касательной)

=>

 
ÐBDC = ÐABC

 

ÐBAD - общий

ΔАВС ~ ΔADB =>  => AB2 = AC*AD

Теорема о пропорциональности отрезков секущих

Если две секущие пересекаются, то произведение отрезков одной секущей от общей точки до точек пересечения с окружностью равно произведению соответствующих отрезков другой секущей.

Условие:

AC, AN - секущие

Доказательство:

Проведём касательную AK.

=>

 
AK2 = AB*AC

 

AK2 = AM*MN

AB*AC = AM*MN

Свойство касательной:

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Пусть q - касательная к окружности с центром O, A - тока касания.

Допустим, что q не перпендикулярна радиусу, тогда OA - наклонная к прямой q. Т. к. перпендикуляр, проведённый из точки O к прямой q, меньше наклонной OA, то расстояние от центра окружности до прямой q меньше радиуса => прямая q и окружность имеют две токи пересечения => q - не касательная, что противоречит условию => предположение не верно => q^OA.

Теорема об отрезках касательных

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку.

По свойству касательной ÐOBA = ÐOCA = 90° => ΔOBA = ΔOCA(по гипотенузе (OA - общая) и катету (OB = OC (радиусы))) => AB = AC и ÐBAO = ÐCAO как соответственные элементы равных треугольников.

Среднее геометрическое в окружности:

Отрезок, соединяющий точки на окружности и диаметре и перпендикулярный диаметру, равен корню из произведения полученных отрезков диаметра.

Продолжим отрезок AO за точку O до пересечения с окружностью (до точки B). По теореме об отрезках хорд: СO*OD = AO*OB. А т. к. AO = OB (по свойству диаметра), то AO2 = CO*OD или AO =

28. Окружность, вписанная в треугольник (определение, существование и единственность, расположение центра). Описанные четырехугольники (прямая и обратная теоремы, различные виды четырехугольников).

Окружность, вписанная в треугольник

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность является вписанной в этот многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

Рассмотрим произвольный треугольник ΔABC и обозначим буквой O точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки O перпендикуляры OK, OL и OM соответственно к сторонам AB, BC и AC. Т. к. точка O равноудалена от сторон ΔABC, то OK = OL = OM => окружность с центром O радиуса OK проходит через точки K, L и M. Стороны ΔABC касаются этой окружности в точках K, L, M, т. к. они перпендикулярны к радиусам OK, OL и OM => окружность с центром O радиуса OK является вписанной в ΔABC.

Замечание:

В треугольник можно вписать только одну окружность.

Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой будет равноудалён от сторон треугольника => совпадет с точкой O пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки O до сторон треугольника => эти окружности совпадут.

Следствие (расположение центра):

В произвольном треугольнике центр вписанной в него окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Описанные четырехугольники

Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность, например, прямоугольник, не являющийся квадратом.

Свойства описанного четырехугольника:

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

По теореме об отрезках касательной отрезки, соединяющие вершины и точки касания равны => AB + CD = a + b + c + d, BC + AD = a + b + c + d => AB + CD = BC + AD.

Признаки описанного четырехугольника:

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Условие:

ABCD - выпуклый четырёхугольник

Окружность (О;r)

Суммы противоположных сторон равны.

Доказательство:

Пусть Окр(О;r) касается трёх сторон ABCD.

Проведём С1D1CD и С1D1 - касательная к Окр(О;r).

Рассмотрим четырёхугольник ABС1D1:

Т. к. это описанный четырёхугольник, то

AB + С1D1 = BC1 + AD1

Из (1) вычтем (2) и получим:

 

 

AB + CD = BC + AD

С1D1 - CD = BC1 + AD1 - BC - AD = BC1 + AD1 - BC1 - C1C - AD1 - D1D = -C1C - D1D

CD = C1D1 + CC1 + DD1 => C1, D1CD => C = C1, D = D1  => ABCD - описанный четырёхугольник.

Аналогично доказывается, когда СD - секущая окружности.

Различные виды четырёхугольников:

1.) В квадрат, ромб всегда можно вписать окружность, т. к. суммы противоположных сторон всегда равны.

2.) В прямоугольник (не являющийся квадратом) и параллелограмм (не являющийся ромбом) никогда нельзя вписать окружность, т. к. сумма одной пары противоположных сторон всегда больше другой.

3.) В трапецию не всегда можно вписать окружность.

29. Окружность, описанная около треугольника (определение, существование и единственность, расположение центра). Вписанные четырехугольники (прямая и обратная теоремы, различные виды четырехугольников).

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.

Теорема

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров m и n к сторонам AB и BC треугольника ΔABC. Т. к. каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка, то OB = OA и OB = OC => OA = OC => точка O равноудалена от концов отрезка AC => лежит на серединном перпендикуляре => все три серединных перпендикуляра m, n и p к сторонам ΔABC пересекаются в одной точке.

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность

Рассмотрим произвольный треугольник ΔABC. Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки OA, OB и OC. Т. к. точка O равноудалена от вершин ΔABC, то OA = OB = OC => окружность с центром в точке O радиуса OA проходит через все три вершины треугольника => является описанной около ΔABC.

Замечание:

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Допусти, что около треугольника можно описать две окружности, тогда центр каждой из них равноудалён от его вершин => совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки O до вершин треугольника => окружности совпадают.

Следствие (расположение центра):

В произвольном треугольнике центр описанной окружности лежит на пересечении его серединных перпендикуляров.

Расположение центра окружности, описанной около различных видов треугольников:

1.) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе этого треугольника.

Условие:

ΔВAС: ÐA = 90°

М - середина ВС

N - середина AB

Доказательство:

MN - средняя линия ΔАВС => NMAC => NM^AB => MN - серединный перпендикуляр AB.

M - точка, принадлежащая серединным перпендикулярам BC и AB => это точка пересечения серединных перпендикуляров => MA = MB = MC => это центр описанной окружности.

2.) Центр описанной окружности правильного треугольника лежит в точке пересечения его высот, медиан и биссектрис.

Серединные перпендикуляры в правильном треугольнике лежат на высотах, т. к. высота в таком треугольнике делит сторону, на которую она падает, пополам, как и серединный перпендикуляр => точка пересечения серединных перпендикуляров, т. е. центр описанной окружности лежит на пересечении высот, и, поскольку высоты совпадают с биссектрисами и медианами, то и на пересечении биссектрис и медиан.

Вписанные четырёхугольники

Не около всякого четырёхугольника можно описать окружность, например, прямоугольник, не являющийся квадратом.

Свойства вписанного четырёхугольника:

В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Воспользуемся теоремой о вписанной угле: ÐA = , ÐC =  => ÐA + ÐC =  = *360° = 180° => сумма другой пары противоположных углов также равна 180°.

Признак вписанного четырёхугольника:

Пусть в четырёхугольнике ABCD ÐA + ÐC = 180°. Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: A, B и D. В таком случае, вершина C может оказаться как внутри окружности, так и снаружи.

Рассмотрим второй случай.

По теореме об угле между двумя секущими: ÐC= => ÐC < . Т. к. по теореме о вписанном угле ÐA = , то ÐA+ÐC< = *360° = 180°. Т. е. ÐA + ÐC < 180°, что противоречит условию. Аналогично можно доказать и первый случай, где в отличие от второго ÐC = => ÐC >  => ÐA + ÐC > 180° => точка C не лежит ни внутри, ни снаружи круга => точка C лежит на окружности => ABCD - вписанный четырёхугольник.

Различные виды четырёхугольников:

1.) Около квадрата и прямоугольника всегда можно описать окружность, т. к. сумма противоположных углов равна 180°.

2.) Около параллелограмма (не являющимся квадратом и прямоугольником) и ромба (не являющимся  квадратом) никогда нельзя описать окружность, т. к. сумма противоположных сторон не равна 180°.

3.) Около трапеции можно описать окружность только в том случае, если эта трапеция равнобедренная.

30. Площадь многоугольной фигуры. Формулы плошали треугольника.

Площадь - неотрицательная величина, обладающая следующими свойствами:

- если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур;

- равные фигуры имеют равные площади.

Фигуры, имеющие равные площади называются равновеликими.

Площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников, составляющих его.

Формулы площадей треугольника:

1.) Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Условие:

ΔABC

Доказательство:

Пусть S - площадь треугольника ΔABC. Примем AC за основание треугольника и проведём высоту BH.

Достроим треугольник ΔABC до параллелограмма ABDC. ΔABC = ΔBDC (по трём сторонам (AB = CD, BD = AC, BC - общая)) => SΔABC = SΔBCD => S = SABCD, т. е. S = AC*BH.

Следствия:

1.) Площадь прямоугольного треугольного треугольника равна произведению его катетов.

2.) Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

2.) Формула Герона: площадь треугольника равна, где p - полупериметр и a, b, c - стороны  этого треугольника.

Условие:

ΔABC

AD - высота

Доказательство:

Пусть BC = a, AC = b, AB = c, AD = h, BD = x, тогда CD = a - x.

  По теореме Пифагора AD2 =AB2 - CD2 и AD2 =AC2 - CD2 => AB2 - BD2 = AC2 - CD2, т. е. с2 - x2=b2 - (a - x)2 => 2ax = a2 + c2 - b2.

По теореме Пифагора AD2 =AB2 - BD2 => h2 = c2 - x2

Последовательно разложив на множители как разности квадратов в числителе, получаем, что

Пусть периметр (a + b + c) треугольника АВС будет равен 2р =>

a + b - c = 2p - 2c

=>

 

 

a + c - b = 2p - 2b

b + c - a = 2p - 2a

По первой формуле площади треугольников S ==> S = .

3.) Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Условие:

ΔABC

AD - высота

Доказательство:

Пусть BC = a, AC = b, AB = c, AD = h.

Воспользуемся первой формулой площади треугольников S = .

Теперь выразим высоту h через синус угла ÐB:

h = c*sin B => S =

Формула радиуса описанной окружности

Удвоенный радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла этой стороны.

Условие:

ΔABC - вписанный

BD - диаметр

Доказательство:

BCD = 90°, т. к. опирается на диаметр

BC = BD*sin ÐBDC

Введём обозначения:

BC = a, т. к. лежит против угла А

BD = 2r

ÐBDC = ÐBAC, т. к. опираются на одну дугу ÈBС =>

a = 2r*sin ÐA => 2r =.

4.) Площадь треугольника равна отношению произведения всех его сторон на четыре радиуса описанной окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Условие:

ΔABC

Окружность(O;r) - описанная около ΔABC

Доказательство:

По формуле радиуса описанной окружности мы знаем, что 2r = => sin A =.

Воспользуемся третьей формулой площади треугольников S = .

Теперь подставим:

S = .

5.) Площадь правильного треугольника равна квадрату стороны на корень из трёх, делённое на четыре.

Условие:

ΔABC - правильный

BH - высота

Доказательство:

Пусть AB = BC = AC = a.

Площадь равна SΔABC = .

Выразим BH  в ΔABH:

BH = AB*sin A

sin ÐA = sin 60° =

Теперь подставим:

S=.

6.) Площадь треугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.

Условие:

ΔABC

Окружность (O;r) - вписанная

OK^AB, ON^BC, OM^AC

Доказательство:

OK = ON = OM = r, т. к. являются радиусами, проведёнными в точки касания.

SΔABC = SΔABO + SΔBOC + SΔCOA

SΔAOB =

=>

 
SΔBOC =

 

SΔAOB =

SΔABC =

SΔABC =

Пусть периметр (AB + BC + AC) = 2p => S = pr.

7.) Площадь треугольника равна произведению радиуса вневписанной окружности касающейся стороны a на разность полупериметра и стороны a.

Условие:

Окружность (O;r) - вневписанная

OK^AB, ON^BC, OM^AC

Доказательство:

OK = ON = OM = r, т. к. являются радиусами, проведёнными в точки касания.

SΔABC = SΔAOB + SΔACO - SΔBOC

SΔAOB=

=>

 
SΔACO=

 

SΔBOC=

SΔABC =

SΔABC =

Пусть периметр (AB + BC + AC) = 2p, BC = a => S = r(p-a).

31. Площадь многоугольной фигуры. Формулы площади произвольного четырехугольника, площади параллелограмма, трапеции, ромба, прямоугольника, квадрата.

Площадь - положительная величина, обладающая следующими свойствами:

- если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур;

- равные фигуры имеют равные площади.

Фигуры, имеющие равные площади называются равновеликими.

Площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников, составляющих его.

Формулы площадей четырёхугольников:

Площадь произвольного четырёхугольника

Площадь произвольного четырёхугольника равна произведению диагоналей на синус угла между ними пополам.

Условие:

ABCD - произвольный четырёхугольник

AC, BD - диагонали

Доказательство:

Пусть AC = d1, BD = d2, ÐAOB = α

SABCD = SΔAOB + SΔBOC + SΔCOD + SΔOAD

SΔAOB =

=>

 
SΔBOC =

 

SΔCOD =  

SΔAOD =

SABCD =  = .

Площадь квадрата

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b. Достроим его до квадрата со стороной a + b, площадь которого будет равна (a + b)2. С другой стороны этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями a2 и b2, т. е.

(a + b)2 = 2S + a2 + b2

a2 + 2ab + b2 = 2S + a2 + b2

S = ab

Площадь параллелограмма (ромба)

Площадь параллелограмма (ромба) равна произведению основания и высоты, проведенной к этому основанию.

Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведём высоты BH и CK. Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S. Трапеция составлена из параллелограмма ABCD и треугольника ΔDCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника HBCK и треугольника ΔABH. Но прямоугольные треугольники ΔABH и ΔDCK равны по гипотенузе (AB = CD как противоположные стороны параллелограмма) и острому углу (Ð1 = Ð2 как соответственные углы) => SABCD = SHBCK. По площади прямоугольника SHBCK = BC*BH, а т. к. BC = AD, то S = AD*BH.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S. Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ΔABD и ΔBCD => S = SΔABD + SΔBCD. Но SΔABD = AD*BH, SΔBCD = BC*DH1. Т. к. DH1 = BH, то SΔBCD = BC*BH. Таким образом, S = BC*BH + AD*BH = .

Площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Мы знаем, что площадь произвольного четырёхугольника равна произведению диагоналей на синус угла между ними пополам. Если угол между ними 90°, то его синус равен единице => площадь равна произведению диагоналей пополам. В случае с ромбом диагонали перпендикулярны => площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

32. Правильные многоугольники. Теорема о центре правильного многоугольника. Выражение сторон правильного многоугольника через R и r. Площадь правильного треугольника.

Правильный многоугольник - такой многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Центр правильного многоугольника - точка, равноудалённая от всех его вершин и от всех его сторон. Докажем его существование.

Теорема о центре правильного многоугольника

В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудалённая от всех его вершин и от всех его сторон.

Пусть A1A2:An - правильный n-угольник. Проведём биссектрисы p и q углов  ÐA1 и ÐA2. Лучи p и q пересекутся в точке O.

Сначала докажем, что точка O равноудалена от всех его вершин, т. е. OA1 = OA2 = : = OAn. Т. к. Ð1 = Ð2 (как половины равных углов), то треугольник ΔOA1A2 равнобедренный => OA1 = OA2. Далее ΔOA1A2 = ΔOA2A3 по двум сторонам (A1A2 = A2A3 (по условию), OA2 - общая) и углу между ними (Ð2 = Ð3 (OA2 - биссектриса ÐA2)) => OA1 = OA3 => OA2 = OA3 и Ð3 = Ð4.

Далее, Ð3 = ÐA2, ÐA2 = ÐA3 => Ð3 = ÐA3. Но Ð3 = Ð4 => Ð4 = ÐA3, т. е. Ð4 = Ð5 => OA3 - биссектриса ÐA3. Проделая аналогичные рассуждения и дальше, получаем:

OA1 = OA2 = OA3 = : =OAn-1 = OAn, т. е. точка O равноудалена от всех вершин n-угольника.

Теперь докажем, что точка O равноудалена от всех сторон n-угольника. Из предыдущего доказательства следует, что ΔOA1A2, ΔOA2A3, ΔOA3A4, :, ΔOAn-1An , ΔOAnA1 - равнобедренные и равны между собой => их высоты, проведённые на основания (стороны n-угольника), равны между собой => точка O равноудалена от всех сторон многоугольника A1A2:An.

Следствия:

1.) Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

2.) В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Выражение сторон правильного многоугольника через R и r

Сторона правильного n-угольника равна 2R*, где R - радиус описанной окружности или 2r*, где r - радиус вписанной окружности.

Условие:

AB - сторона правильного n-угольника

OA = OB = R

OK^OB, OK = r

Доказательство:

ÐAOB =

AB = 2AK = an

Рассмотрим ΔAOK:

1.) AK = AO*sin ÐAOK

AK = R*

an = 2R*

2.) AK = OK*tg ÐAOK

AK = r*

an = 2r*

3.) OK = OA*cos ÐAOK

r = R*

Примеры:

Тип правильного n-угольника

Для радиуса описанной окружности

Для радиуса вписанной окружности

Треугольник

R

2r

Квадрат

R

2r

Шестиугольник

R

r

Площадь правильного треугольника

S = n*SΔAOB

SΔAOB = an*r

S = n*an*r =  = pr, где p - полупериметр, а r - радиус вписанной окружности.

Дополнительные вопросы

1) Эллипс и его свойства.

 - уравнение эллипса, где a и b - полуоси эллипса (a > b).

Эллипс имеет два фокуса F(c;0) и F1(-c;0), причём c2 = a2 - b2.

Эксцентриситет эллипса равен E = .

Уравнение директрисы x = .

2) Гипербола и ее свойства.

 - уравнение гиперболы, где 2a - действительная ось, 2b - мнимая ось.

Гипербола имеет два фокуса F(c;0) и F1(-c;0).

Эксцентриситет эллипса равен E = , причём c2 = a2 + b2.

Уравнение директрис x = +.

Уравнение асимптот y = +.

3) Парабола и ее свойства.

 - уравнение параболы.

Парабола имеет фокус F(0;).

Директриса параболы y = .

MF (фокальный радиус) = y + .

4) Теорема Чевы, прямая и обратная. Обобщенная теорема Чевы, следствия.

Теорема Чевы

Пусть на сторонах ΔABC выбраны точки A1 Î BC, B1 Î AC, C1 Î AB. Тогда отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке ó когда выполняется равенство:

.

Следствия:

1.) Теорема о точке пересечения медиан

2.) Теорема о точке пересечения биссектрис.

Обобщенная теорема Чевы

Пусть прямые a, b, и c проходят через вершины A, B и C треугольника ΔABC и пересекают прямые BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Тогда прямые a, b, c пересекаются в одной точке или параллельны ó когда верно равенство:

5) Теорема Менелая, прямая и обратная, следствие теоремы Менелая.

Пусть дан треугольник ΔABC и точки C1, B1, A1 принадлежат соответственно прямым AB, AC, BC. Точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой ó когда выполняется равенство:

6) Параллелограмм и его виды (параллелограмм, его свойства и признаки, ромб, его свойства и признаки, прямоугольник, его свойство и признак, квадрат).

Свойства параллелограмма:

1.) В параллелограмме противоположенные стороны равны

2.) В параллелограмме противоположные углы равны.

3.) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

4.) Сумма соседних углов в параллелограмме равна 180°.

5.) При делении параллелограмма диагональю, получившиеся треугольники равны.

6.) Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны, а противоположных - параллельны.

7.) Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

Признаки параллелограмма:

1.) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

2.) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

3.) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

4.) Если сумма соседних углов в четырёхугольнике равна 180°, этот четырехугольник - параллелограмм.

5.) Если противоположные углы в четырёхугольнике равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Свойства ромба:

1.) Все свойства параллелограмма.

2.) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

Признак ромба:

1.) Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам, то этот параллелограмм - ромб.

Свойства прямоугольника:

1.) Все свойства параллелограмма.

2.) Диагонали прямоугольника равны

Признак прямоугольника:

1.) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

Свойства квадрата:

1.) Все свойства ромба, параллелограмма, прямоугольника.

2.) Все углы квадрата прямые.

Признак квадрата:

Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб - квадрат.

7) Трапеция, ее виды. Свойства и признаки равнобедренной трапеции. Средняя ли-ния трапеции.

Свойства равнобедренной трапеции:

1.) В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

2.) В равнобедренной трапеции диагонали равны.

3.) В равнобедренной трапеции отрезки, отсечённые высотами, равны.

4.) В равнобедренной трапеции точка пересечения диагоналей делит их на попарно равные отрезки.

5.) Равные элементы в равнобедренной трапеции.

ΔВOA = ΔCOD

ΔABD = ΔACD

ΔABC = ΔBCD

ΔВAH = ΔCKD

ΔACK = ΔHBD

Признаки равнобедренной трапеции:

1.) Если в четырёхугольнике углы при двух противоположных сторонах равны, то этот четырехугольник - равнобедренная трапеция.

2.) Если в четырёхугольнике точка пересечения диагоналей делит их на попарно равные отрезки, то этот четырёхугольник - равнобедренная трапеция.

Средняя линия трапеции

Средняя линия в трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

 
Адрес страницы на сайте :
http://redpencil.ru/obschie-voprosi-po-geometrii/ekzamenatsionnie-voprosi-po-geometrii-za-kurs-9-klassa.html

© RedPencil, 2018