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↑↑Ox

↑↑Oy

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* = vx+ vy

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1.  α(β) = (α β)

2.  (α+ β)  = α + β

3.  α(+) = α + α

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1.  ?????  = (x,y), ????? β = (βx + βy); α) = (αβx + αβy). ?? 3-??? ???????? ????????? (αβ)= (αβx+ αβy ) => α(β) = (αβ)

2.  ?????  = (x,y), ????? (α + β) = ((α + β)x, (α + β)y) ????? ?? 3-??? ????????. ????? ?? ????????? 2 ? 3: α + β = (αx + βx, αy + βy). ?????? ??????? ??????????????? ?????????? ???????? ????? => (α + β)  = α + β

3.  ?????  = (x,y), ?  = (p,q). ????????, ???  + = (x+p, y+q). ??????? ?? α, ? ?? ???????? ???????? ????????? ??????? ?????????: α ( + )= (α(x + p), α(y + q)).?????? ?????? α + α= (αx, αy) + (αp, αq) = (αx + αp, αy + αq) => α(+) = α + α.

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7. ????? ????????? ??????. ??????? ?????? ???????? ?????????? 1 ??????? ? ??? ??????-????????.

????? ????????? ??????

?????????? ?????? m, ?? ??????? ????? ????? M(x,y). ???????? ??????? AB (??????, A(x1,y1), B(x2,y2))) ????? ?? ???? ??????. ????? AB^m.

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Ax + By + C = 0

???????, ??? ???? ?? ????????? ?????? ??????? ?????????, ?? ?????? ????????? ?????? ??????? ? ????? ??????????? x ? y ?????????? ???????????? ???? ??????? ?????? ?????.

Ax + By + C = 0 (1)

(A ≠ 0 ??? B ≠ 0)

????? ?????????? ????? M(x0;y0), ?????????? ??????? ????????????? ????????? (1).

Ax0 + By0 + C = 0 (2)

(1)   - (2) = A(x-x0) + B(y-y0) = 0 (3)

????????? (3) ??????????? ????????? (1).

???????, ??? ????????? (3) ?????????? ?????? l, ?????????? ????? ????? M(x0;y0) ? ???????????????? ???????  = (A,B).

???? A(x,y) ????? ?? ?????? l, ?? ?? ?????????? ????????????? ????????? (3). ?. ?. ??????  = (A,B),  = (x-x0;y-y0) ? ^, ?? * = 0, ?. ?.

A(x-x0) + B(y-y0) = 0

???? A ?? ????? ?? l, ?? ?? ?????????? ?? ????????????? ????????? (3), ?. ?.  ?? ???????????????  => * ≠ 0, ?. ?. A(x-x0) + B(y-y0) ≠ 0

????? ???????, ?? ????????, ??? ????????? (1) ?????????? ??????, ???????????????? ? ??????? (A,B).

??????(A,B) ?????????? ???????? ???????.

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Ax + By + C = 0 (1)

A1x + B1y + C1 = 0 (2), ??

?????????? ????? t, ??? A1 = tA, B1 = tB, C1 = tC, ?. ?. ???????????? ???? ????????? ???????????????.

????????? ??? ????????? ?????????? ???? ??????, ?? ?????? ??????? ???????????:

*(A,B)(A1,B1) => ?????????? t: =>

A1 = tA

B1 = tB

M(x0;y0) Î (1) ? (2) =>

??????? (3) ?? t ? ?????? ?? ???? (4):

(At-A1)x0 + (Bt-B1)y0 + (Ct-C1) = 0

Ct-C1 = 0

C1 = Ct

8. ?????????? ????????? ??????. ?????????? ?? ????? ?? ??????.

?? ???????????? ????????? ? ??????? ? ????? O ???????? ?????? l, ????? ????? ????????? ???????? ?????? ?????? n, ???????????????? l (n^l = P). ??????? ????? ??????  ?????, ??? În, || = 1 ? . ??????? ????? MÎl, M(x,y).

* = (cos α;sin α)

** = x*cos α + y*sin α

** = |*|*||*cosÐ(*;) = OP = p (2)

x*cos α + y*sin α = p - ?????????? ????????? ??????.

????? ???????, ?? ???????? ????????? ??????, ?????????? ????? ????? M(x,y), ?????? ?????????? ????? ?????? ?????, ?? ??????? ?? ???? ??????, ?? ????????????? ????? ?????????, ?. ?. ?? ????? ??????????? ????????? (2).

??? ???????? ????? ????????? ?????? Ax + By + C = 0 ? ??????????? ????.

x*At + y*Bt = -Ct (??????? ?? t ????? ????????? ??????)

x*cos α + y*sin α = p

(cos α = At; sin α = Bt)

?. ?. p - ??????????, ?? p ≥ 0 => Ct ≤ 0 => t ? C ????? ?????? ?????.

t - ??????????? ?????????

??? ?????????? Ax + By + C = 0 ? ??????????? ???? ??????? ???????? ??? ?? ??????????? ????????? t, ???? ???????? ?????????????? ????? C.

 ?????????? ?? ????? ?? ??????

?????????? ?? ????? M(x0;y0) ?? ?????? ????? ?????? ????? ????? ??????????? ????????? ?????? ??? x = x0, y = y0.

?? ???????????? ????????? ? ??????? ? ????? O ???????? ?????? l, ????? ????? ????????? ???????? ?????? ?????? p, ???????????????? l (p^l = P). ??????? ????? ?????? ???????  ? ?????? l ?????, ???  Î p, || = 1. ??????? ???????????? ????? M(x0,y0) ? ??????? ?? ??? ????????????? ?? ?????? p (MQ^p)

??????? ??????????  = PQ

PQ = |OQ - OP| = |OQ - p|

 = (cos α;sin α)

 = (x0;y0)

OQ = ||*cosÐ(;) = ||*||*cosÐ(;) = * = x0*cos α + y0*sin α

PQ = | x0*cos α + y0*sin α - p|

d =

9. ????????? ???? ????????? ?????? (????????????, ????? ??? ?????, ???????????????, ? ????????). ????????? ?????? ? ??????? ?????????????.

?????????? ????????? ???? ????????? ??????

1.)    ?? ????? ????? ????????? ?????? Ax + By + C = 0

?????????? ??????, ????? A,B ≠ 0

Ax + By = -C

 (??????? ?? -C)

a = ; b =

 - ????????? ?????? ? ????????.

?????????????? ????? ???????? a ? b.

l:

l ∩ Ox: y = 0; x = a

l ∩ Oy: x = 0; x = b

a ? b ????? ????????? ????????, ??????? ???????? ?????? ?? ???? Ox ? Oy.

2.) ????? ????????? ??????, ???????????? ?????? ??????, ??????? ???????????? ???????? ???? ??????.

???????? ????????? ??????, ?????????? ????? ????? M1(x1;y1) ? ??????? ???????? ???????????? ??????  = (l,m).

???? M(x,y) ??????????? ??????, ????? , ?. ?. ?????????? ???? ???????? ???????????????:

= (x-x1;y-y1);

 = (l,m).

 - ???????????? ????????? ??????.

?????????

a.) ? ???????????? ????????? l ??? m ????? ????????? "0":

m = 0, l 0

0(x-x1) = l(y-y1)

y = y1

?.) ????? ?????? L1 ? L2 ?????? ????????????? ???????????:

L1^L2 ó ^ => l1l2 + m1m2 = 0

L1L2 ó =>

3.) ????? ???? ??? ????? M1(x1;y1) ? M2(x2;y2), ??????? ?? ?????? l.

 = (x2-x1;y2-y1)

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 - ? ???????? ????????? ?????? ????? 2 ?????.

4.) ????? ???? ?????? .

?(x;y) Î L

* = (l,m) - ???????????? ??????

 - ??????????????? ????????? ??????.

5.) ?????????? ??????, ?? ???????????? ???? Ox ? Oy:

ÐNAM = Ðα - ???? ??????? ?????? ?????? ? ??? x.

tg a - ??????? ??????? ????????????? ???? ??????.

k = tg α

??? α = 90° k ?? ??????????.

???????

???? ?????? ?? ??????????? ??? Oy ? ????? ???????????? ?????? * = (l,m), ?? k ????? ????????? m ? l (k = ).

???????? 4 ?????? ???????????? ?????? ? ????????????? ???????:

?????? 1 ? 3: β = α

l = |*|*cos β = |*|*cos α

m = |*|*sin β = |*|*sin α

 = tg α - ??????? ???????????

?????? 2 ? 4: β = π-α

l = |*|*cos β = -|*|*cos α

m = -|*|*sin β = -|*|*sin α

 = tg α - ??????? ???????????

????? ???????, ?? ???? ???????  = tg α, ?. ?.  - ??????? ???????????.

??????? ????????? ?????? ? ???????? ????????????? k ? ?????????? ????? ????? M1 (x1;y1).

k =

kx - kx1 = y - y1

y = kx + y1 - kx (b = y1 - kx)

y = kx + b

k = tg α

b - ???????, ?????????? ?????? ?????? ?? Oy.

??????? ?????????????? ? ?????????????????? ???? ??????.

α = α2 - α1

tg α = tg(α2 - α1) =

k =

1.) ??????? ??????????????:

L1: y = k1x + b

L2: y = k2x + b

L1║L2 => α = 0° => tg α = 0 => k2 - k1 = 0

????? ???????, ?????? ???????????, ???? k2 = k1.

???? b2 = b1, ?? ?????? ?????????

???? b2 b1, ?? ?????? ???????????

2.) ??????? ??????????????????:

L1 L2, ???? k1k2

L1^L2 => α = 90° => tg α - ?? ?????????? => 1 + k1*k2 = 0

????? ???????, ?????? ???????????????, ???? .

10. ?????????????? ????????? (???????????, ??????????? <??>, ??????????? <?>, ???????-???, ??????? ??????????? ????????????, ????????, ????????? ???????????). ???????? ? ??? ????????.

????? ?????? ?????? F ? ?????? ????? ?????? F ???????????? ???????????? ????? ?????????. ????????? ?????, ?????????????? ?????? ?????? F, ???????? ????????? ??????? F1. ? ????? ?????? ???????, ??? ?????? F ????????????? ? F1 ? ?????? F1 ?????????? ??????????????? ?? ?????? F.

 
 
 

 


????? ????? ???????, ???:

F1 - ????? ?????? F

F - ???????? ?????? F1

???? A1 - ????? ?????? F1, ??????????????? ????? A ?????? F, ??:

A1 - ????? ????? A

A - ???????? ????? A1

???????? ????? ??? ????? ???????:

f(F) = F1

f(A) = A1

????? X, Y - ??? ???????? ?????????. ???? ??????? ???????, ?? ???????? ??????? ???????? ?? ????????? X ???????? ? ???????????? ????? ???? ??????? ?? ????????? Y, ?? ???????, ??? ?????? ??????????? X ? Y.

????? ?????? ??????????? X ? Y. ???? ??? ???? ??? ??????? ???????? y ?? ????????? Y ??????? ???? ?? ???? ????????, ?? ???????, ??? ?????? ??????????? X ?? Y.

 
 
 

 


f(AB) = A1B1 Î a

??????????  ???????? ??????? AB ?? ?????? a. ??? ??????? A1B1. ? ????? ?????? ???????? ??????????? ??????? AB ?? ??????? A1B1, ?? ??????????? ??????? AB ? ?????? a, ?. ?. ?????, ?? ????????????? ???????, ?? ????????????? ?????? a, ??? ?????????.

???? ????? ???? ????????? ?? ????????? X ????????????? ????????? ???????? ?? ????????? Y, ?? ??????????? X ?? Y ???????? ??????? ????????????.

?????????? ?????????????? ?????????, ??? ??????? AA1 (f(A) = A1).

??????? ??????????? ????????????, ??? ??????? A1A, ?????????? ????????. ??? ???? f  -1(A1) = A.

??????????????, ??? ???????? ?????????? ????????, ?????????? ?????????.

????????? ????????????????? ?????????? ?????????? ?????????????? ?????????? ???????????.

 
 
 

 


gf(F) = F2

g(f(F)) = F2

???? ??? ?????????????? F ????? A ????????? ???? ? ????, ?? ??? ?????????? ???????????. ???? ??? ????? ????????? ???? ? ????, ?? ????? ?????????????? ?????????? ?????????????.

?????????????? ?????????, ??? ??????? ??????????? ?????????? ????? ???????, ?????????? ?????????.

???????? ????????:

1.) ??? ?????, ??????? ?? ????? ?????? ???????? ? ??? ?????, ????? ??????? ?? ????? ??????.

A → A1

B → B1

C → C1

AB → A1B1

BC → B1C1

AC → A1C1

A, B, C Î l

AB + BC = AC => A1B1 + B1C1 = A1C1, ?. ?.  A1, B1, C1 ????? ?? ????? ??????.

2.) ??????? ??????????? ? ???????.

????? ??? ??? ??????? AB. ??????? ?? ??? ????? X.

AX + XB = AB

A1X1 +X1B1 = A1B1 (?. ?. ??? ???????? ??????????? ???????? ????????????) => X1 Î A1B1

???? ????? ????? ?????? ????? ? AB, ?? ??? ?????????? ???????? ? ????? ?? A1B1 => ABA1B1

3.) ??? ???????? ? ???, ?????? - ? ??????.

??????? ???????, ??? ?????? ?????? ???? ????????? ? ?????? ??????? ???? (A1B1)

????? ??? ?? ????? ??????? ?? ??????????? ?????????? ????????:

A1A2 + A2A3 + : + An-1An = k, ??? k - ???.

(A1A2 → B1B2 :)

B1B2 + B2B3 + : + Bn-1Bn = k1  => B2, B3, :, Bn ????? ????? ????? ??????, ?. ?. ?? ???? k1.

4.) ??????????? ???? ???????? ????????? ? ???????????.

ΔABC ??????????? ?????????, ???????????? ??????? A ? ??????? X ??????? BC. ??? ???????? BCB1C1, AA1 ? ??? ???? ??????? ??????? AX ???????? ?????????? A1X1, ??? X1 ????? ?? BC. ??? ??????? A1X1 ???????? ??????????? => ΔABC → ΔA1B1C1.

5.) ???????? ????????? ???????? ?????.

?. ?. ????, ????????, ?????? A, B, C, ?? ??????? ?? ????? ??????, ???????? ???????????? ????? A1, B1, C1, ?? ÐABC=ÐA1B1C1. ??? ?????????? ? ???? ???????? ΔABC = ΔA1B1C1.

6.) ??? ???????? ??????????? ??????? ????????????? ?????.

?. ?. ????? ????????????? ????? ??????? ?? ????????????, ?? ?? ??? ???????????? ???????? ? ????????????, ?????? ?? ??????? ????? ???? => ????? ???????? ???? ?????????????, ?. ?. ??????? ??????????????, ????????? ???????.

7.) ???????? ???????? (?????????????? ???????? ????????, ???????? ?????????).

??? ???????? ???????? ?? ??????????? ???????? ? ?????????? ??????????????.

11. ???????????? ??????? ? ??? ????????. ??????? ? ???????????? ???????? (???????????, ???????????, ??? ????????, ?????????? ?????? ?????, ??????????? ?????, ???????? ???-???????????, ????????????? ??????????????).

???? ????????:

-          ???????????? ???????;

-          ?????? ?????????;

-          ??????????? ?????????;

-          ???????;

-          ?????????? ???? ?????????????? (???????????? ??????? ? ?????? ?????????).

????????? ???????????? ??????? ?? ?????:

1.) ???????????? ??????? - ?????????????? ?????????, ??? ??????? ??? ????? ???????????? ? ????? ? ??? ?? ??????????? ?? ???? ? ?? ?? ??????????

↑↑

|| = ||

2.) ???????????? ??? , ???  ------------ ?????? ????????

X1 = (X)

???????? ??? X1 - ????? ????? X ??? ???????????? ???????? ?? ?????? .

3.) ???????????? ??????? ???????? ???????? ????????. ???? ???? ??????, ?? ?????? ????????? ?????, ? ??????? ???????? ?????, ??????????? ???????.

4.) ?????? ???????, ??? ???????????? ??????? ???????? ?????????, ??????? ????????? ???????????.

A1 = (A)

B1 = (B)

↑↑

|| = ||

AB = A1B1 => ???????????? ??????? ????????? ?????????? => ???????? ?????????

↑↑=> ???????????? ??????? ????????? ???????????

5.) ???????? ?????????? ?????? ?????:

????? ??? ?????? ???????? .

1.)   ???????? ?????? l ?????, ??? l

2.)   ????? M Î l

3.)   ???????? ??????  ?????, ???

4.)   M1 = (M) - ??????? ?????

6.) ? ????????????? ???????? ??? ??????????? ????? (??? ???????, ??? ¹).

7.) ??????????????, ???????? ????????????? ????????, ???????? ????????? ?? ?????? , ?. ?. ????????  ??? .

8.) ???????? ?????????????? ?????????????? ??? ?????? ???? ???????? ????? ??????? ??????? ?? ??????? ?????? ().

????????:

1.) ??????????? ??? ???????? ????????, ?. ?. ?????? ?????????????? ????????? ???????? ?????????

2.) ???????????? ??????? ????????? ??????????? (?????? ????? 4).

????????:

1.) ????????, ??????????? ???????????, ???????? ???????????? ?????????.

?. ?. ??? ????????, ? ??? ????????? ???????????, ??

AB = A1B1


 
↑↑

 

AB = A1B1

↑↑

????? ???????? ?????????? ???????????? ?????????.

12. ??????? ? ??? ????????. ??????? ? ???????? (???????????, ???????????, ??? ????????, ?????????? ?????? ?????, ??????????? ?????, ???????? ??????????????, ????????????? ??????????????).

???? ????????:

-          ???????????? ???????;

-          ?????? ?????????;

-          ??????????? ?????????;

-          ???????;

-          ?????????? ???? ?????????????? (???????????? ??????? ? ?????? ?????????).

????????? ??????? ?? ?????:

1.) ??????? ???????????? ????? O ?? ???? Ðα - ?????????????? ?????????, ??? ??????? ????? ????? ????????? A ????????? ? ????? ????? A1, ???

OA = OA1

ÐAOA1 = Ðα

O - ????? ????????

Ðα - ???? ????????

2.) ???????????? ??????? ????????? ???????: (A) = A1.

??????????? ???? ?? ?????? "+" ??? ???????? ?????? ??????? ???????, ?? ?????? "---" - ?? ???????, ?????? ?????? ???? ??????????? ?? -180º ?? 180º.

3.) °=

4.) ???????? ??????? ?????? O - ??????? ???????? ? ????? Ðα - ????? ????????.

5.) ?????? ???????, ??? ??????? ???????? ?????????.

(A) = A1

(B) = B1

OA = OA1, ÐAOA1 = Ðα

OB = OB1, ÐBOB1 = Ðα

ÐA1OB1 = Ðα - ÐBOA1 = ÐAOB =>

ΔAOB = ΔA1OB1 (?? ???? ???????? ? ???? ????? ????) => AB = A1B1 => ??????? ???????? ?????????.

6.) ???? ????? A, B, O Î l, ??

AB = AO + OB ("+", ???? ??????? A, O, B; "-", ???? - O, B, A ??? O, A, B)

7.) ???????? ?????????? ?????? ?????:

????? ???? ????? A, ??????? ????? ?????????, ????? O, ???????????? ??????? ????? ?????????????? ???????, ? ???? Ðα - ???? ????????.

1.) ???????? ?????????? ? ??????? ? ????? O ? ???????? OA (???(O;OA))

2.) ???????? ???? ÐMOA1 ?????, ??? ÐMOA1 = Ðα

3.) ???(O; OA) ∩ OM = A1 - ??????? ?????

(A) = A1, ?. ?. ÐAOA1 = Ðα ? OA1 = OA = r (??? ?? ??????????)

8.) ? ??????????? ?????? ????????? ????? O - ????? ????????.

9.) ??????????????, ???????? ????????, - ??????? ?? ???? -α.

10.) ????????????? ?????????????? ???????? - ??????? ?? ???? ? 0º.

13. ?????? ????????? ? ?? ????????. ??????? ?? ?????? ????????? (???????????, ????????-???, ??? ????????, ?????????? ?????? ?????, ??????????? ?????, ???????? ???????????-???, ????????????? ??????????????).

???? ????????:

-          ???????????? ???????;

-          ?????? ?????????;

-          ??????????? ?????????;

-          ???????;

-          ?????????? ???? ?????????????? (???????????? ??????? ? ?????? ?????????).

????????? ?????? ????????? ?? ?????:

1.) ????? X ? X1 ?????????? ????????????? ???????????? ?????? a, ???? ?????? a ???????? ?????????? ??????????????? ? ??????? XX1.

?????? ????????? - ?????????????? ?????????, ??? ??????? ?????? ????? ????????? ????????? ? ?????, ???????????? ???????????? ?????? a.

2.) ???????????? ???: Sa(X) = X1

3.) ?????? ????????? ???????? ?????? a, ???? ?????????.

4.) ???????, ??? ?????? ????????? ???????? ?????????.

???????? ? ??????? ????????? y(x):

????? A ????? ????? ?????????? (x1;y1), ? B - ?????????? (x2;y2).

Sa(A) = A1

Sa(B) = B1

A(x1;y1) R A1(x1;-y1)

B(x2;y2) R B1(x2;-y2)

|AB| =

|A1B1| = =  =

AB = A1B1

5.) ???????? ?????????? ?????? ?????:

1.)   ?????? ?????? a

2.)   ??????? ????????????? (AB) ?? ????? A ?? ?????? a (AB a = O)

3.)   ???????? ?????????? ? ??????? ? ????? O ? ???????? OA (???(O;OA))

4.)   ???(O;OA) AB = A1

5.)   Sa(A) = A1

6.) ? ??????????? ?????? ?????? ????????? ????????? ????????? ?????, ??????? ?? ?????? a.

7.) ???????? ?????????????? - ?????? ?????????.

8.) ????????????? ?????????????? - ??????? ?????? ?????? ? ?? 180° ? ????????????.

?????? F ????? ?????????, ???? ????? ????? ???? ?????? ????????? ??? ?????? ?????? ????????? ? ????? ??? ?? ??????.

????????:

1.) ??????????? ??? ???????? ????????

14. ??????????? ????????? ? ?? ????????. ??????? ? ??????????? ????????? (???????????, ???????????, ??? ????????, ?????????? ?????? ?????, ??????????? ?????, ???????? ???-???????????, ????????????? ??????????????).

???? ????????:

-          ???????????? ???????;

-          ?????? ?????????;

-          ??????????? ?????????;

-          ???????;

-          ?????????? ???? ?????????????? (???????????? ??????? ? ?????? ?????????).

????????? ??????????? ????????? ?? ?????:

1.) ??????? ????? A ? B ????????????? ???????????? ????? O, ???? ????? O ???????? ????????? AB

??????????? ????????? ???????????? ????? O - ?????????????? ?????????, ??? ??????? ????? ????? ????????? ????????? ? ???????????? ?? ???????????? ????? O.

2.) ???????????? ??? (A) = A1, ??? O - ????? ?????????.

3.) ??????????? ????????? ???????? ?????? O - ??????? ?????????.

4.) ??????????? ????????? ???????? ????????? ?? 180º (??? ?? ????????????? ??????????????!!!).

5.) ?????? ???????, ??? ??????????? ????????? ???????? ?????????, ?????????? ??????????? ?? ???????????????.

(X) = X1

(Y) = Y1

=>

 

 

 

 => ??????????? ??????????, ? ?????????? ??????????? => ??????????? ????????? - ????????, ?????????? ??????????? ?? ???????????????.

6.) ???????? ?????????? ?????? ?????:

???? ????? O - ????? ????????? ? ????? A

1.)   ???????? ?????? OA

2.)    ???????? ?????????? ? ??????? ? ????? O ???????? OA (???(O;OA))

3.)    ???(O;OA) ∩ OA = {A;B}

4.)    B =(A) - ??????? ?????

7.) ??????????? ????? - ????? ?????????.

8.) ???????? ?????????????? - ??? ?? ?? ????? ?????????.

9.) ?????????????? ?????????????? ?? ??????????.

????????:

1.) ??????????? ??? ???????? ????????, ?. ?. ?????? ?????????????? ????????? ???????? ?????????

2.) ??????????? ????????? ???????? ?????????, ?????????? ??????????? ?? ??????????????? (?????? ????? 5).

3.) ?????? ??? ??????????? ????????? ????????? ? ???????????? ???? ??????.

?. ?. ?????? ???????????? ????????, ?? ???? ?????? ???????? ???? ???????????, ??  ??????, ????? ??????? ???????????, ????????? ????? ??, ?. ?. ???????????? ????? ????.

????????:

1.) ????????, ?????????? ??????????? ?? ???????????????, ???????? ??????????? ??????????.

?. ?. ??? ???????? ?????? ??????????? ?? ???????????????, ?? . ????? ??? ???????? ????????? ????? X ? ????? X1 ? ????? O - ???????? ??????? XX1 => . ???????? ??? ???, ????????, ???

=> O - ???????? ??????? YY1 ? ?. ?. Y - ????? ?????, ?? ????? ???????? ?????????? ?????????? ? ??????? ? ????? O.

15. ????????? ? ?? ????????. ??????? ? ????????? (???????????, ???????????, ??? ????????, ?????????? ?????? ?????, ??????????? ?????, ???????? ??????????????, ????????????? ??????????????).

????????? ????????? ?? ?????:

1.) ????????? ? ??????? ? ????? O ? ????????????? k - ?????????????? ?????????, ??? ??????? ????? A ????????? ? ????? ????? A1, ??? .

2.) ????????????: (A) = A1

3.) ???????? ????????? ?? ??????? (?????) ? ????????????? k.

4.) ???????? ?????????? ?????? ?????:

?????????? ??? ??????:

?.) k > 0

1.)    ?????? ??? OAa

2.)    ?? ???? ???? ?????? ????? ????? A1, ??? OA1 = k*OA

?.) k < 0

1.)    ????? ?????? ??? OAa

2.)    ????? ?????????????? ??? Ob

3.)    ?? ???? Ob ?????? A1 ?????, ??? OA1 = k*OA

5.) ??????????? ????? ??? ????????? - ?? ?????.

5.) ????????????? ?????????????? - ??? ????????? ? ????????????? k = 1, ? ??? ???????????? k = ----1 ????????? ??????????? ??????????? ????????? ? ??????? ? ????? O, ?????? ???? ?????????. ????? ??? ???????????? k = 1 ??? ????? ????? ????????????.

?????? ? ???? ??????? ????????? ???????? ?????????, ?. ?. ?????? ??? ????????????, ?? ?????? "-1" ??? "1" ?????????? ????? ??????? ?? ????? ????????.

6.) ???????? ??????????????? ????? ????????? ? ??? ?? ??????? ? ?????????????, ?????? .

????????:

1.) ??? ????????? ? ????????????? k ????? ?????? ????????? ? ??????, ?????????? ?? k.

(A) = A1

(B) = B1

==

 => ????????? ???????? ????????.

2.) ??? ????????? ??????? ????????? ? ??????? (????????????? ?????? ?? ?????).

(A) = A1

(B) = B1

XÎAB ó, ???  => ???? ????? t ??????????, ?? X ????????? ?? ??????? AB ?? A ? B.

?? 1-??? ???????? ?????????  ?  => => ? =>

=>  =>

=>  =>

=> ???? t ????? ?????????? ?? 0 ?? 1, ????? X1 ????????? ??????? A1B1 => ??? ????????? ??????? ????????? ? ???????.

3.) ??? ????????? ???? ????????? ? ?????? ????.

????? =, =, =, = =>


 

 

ÐBAC = Ð(^) ? ÐB1A1C1 = Ð(^).

?? 1-??? ???????? ?????????  = k* ? = k*=>

|| = |k| * || ? || = |k| * ||

* = (k)*(k) = k2(*)

????? cos Ð(^) =  =  =  = cos Ð(^)

?? ????????? ????????? ??????? ????????? ?????.

4.) ??? ????????? ??????????? ????????? ? ??????????? (????? ??????????????? ????, ? ??????? ???????????????).

??????????? ΔABC ????????? ??????? AX, ??? X Î BC. ??? ??? ??????? ????????? ? ??????? A1X1 ? ????????? ??????????? A1B1C1. ?????????????????? ?????? ???????? ?? 1-??? ????????, ? ????????? ????? ??????? ?? ???????? 3.

5.) ?????????? ???? ????????? ? ?????????????? k1 ? k2 ????? ?????????? ? ??? ?? ??????? ? ????????????? k1k2.

(A) = A1

(A1) = A2

=>  => ?2 ???????? ????????? ??? ????????? ? ??????? ? ????? O ? ????????????? k1k2 => º=

6.) ? ???????, ????? k = 1 ??? k = -1 ????????? ????????? ??? ???????? ????????.

16. ???????. ??????? ? ??????? ???????. ????????.

??????? - ?????????????? ?????????, ??? ??????? ?????????? ????? ??????? ?????????? ? ????? ? ??? ?? ????????? (?. ?. ?????????? ?? ???? ? ?? ?? ????????????? ?????).

X1Y1 = k*XY

F ? F1 ??????? ? ????????????? k (k ???????? ????????????? ???????).

???????

??????? ? ????????????? k ???????? ??????????? ????????? ? ????????????? k ? ????? ??????? ? ????????.

????? ?????? FF1 ??? ??????? ? ????????????? k.

???????? ????????? ? ???????????? ??????? ? ????????????? k. ??? ???? ?????????

X,Y → X1, Y1

X1Y1 = k*XY

(X,Y Î F; X1,Y1 Î F1; F → F1)

??? ????? X1, Y1 Î F1:

X1Y1 = k*XY (?? ??????????? ???????)

X1Y1 = X1Y1 => F1 ? F1 ????? => ??????, ?? ????? ????????? ????????? ?? ????? ? ??????.

????????:

1.) ??????????? ??? ???????? ?????????.

2.) ??? ??????? ? ????????????? k ??????? ?????????????? ?????????? ?? k2.

??????? ???????????? ????? ???????? ???????????? ???? ??? ?????? ? ?????? ???? ????? ????. ? ?????????? ??????? ? ????????????? k ?????? ??????? ?????????? ?? k, ? ???? ??????????? => ??????? ?????????? ?? k2.

????????????? ?????? ??????? ?? ????????????? ? ?. ?. ??????? ??????? ?????????? ?? k2, ?? ? ??? ????? ?????????? ?? k2 => ??????? ??????? ????????????? ?????? ????????? k2.

3.) ?????????? ??????? ? ?????????????? k1 ? k2 ???? ??????? ? ????????????? k1k2.

?????????????? ?????????? ?????????????? ??? ?????????.

4.) ??????? ????????

???????? ?????????????? ??? ??????? ? ????????????? k - ??????? ? ?????????????

????????????? ?????????????? - ??????? ? ????????????? 1.

??????? ? ?????????????

????? ? ???? ????????????? ΔABC ? ΔA1B1C1 ???? ?????????????? ?????: ÐA = ÐA1, ÐB = ÐB1, ÐC = ÐC1. ? ????? ?????? ??????? AB ? A1B1, BC ? B1C1, AC ? A1C1 ?????????? ?????????????.

??? ???????????? ?????????? ?????????, ???? ?? ???? ?????????????? ????? ? ??????? ?????? ???????????? ??????????????? ???????????? ???????? ??????? ??? ???? ?? ?????????? ??? ΔABC ? ΔA1B1C1, ??

ÐA = ÐA1, ÐB = ÐB1, ÐC = ÐC1

, ??? k - ??????????? ???????, ????? ????????? ???????????? ??????.

???????

????????? ???????? ???? ???????? ????????????? ????? ???????? ???????????? ???????.

????? ???????????? ΔABC ? ΔA1B1C1 ??????? ? ????????????? k. ?. ?. ÐA = ÐA1, ??, ??? S ? S1 - ??????? ?????????????.

? ?. ?.  ? , ??

???????? ??????? ?????????????:

1.) ???? ??? ???? ?????? ???????????? ?????????????? ????? ???? ????? ???????, ?? ??? ???????????? ???????.

????? ? ???? ????????????? ΔABC ? ΔA1B1C1  ÐA = ÐA1, ÐB = ÐB1. ?. ?. ????? ????? ? ???????????? ????? 180°, ?? Ð? = Ð?1 = 180° - ÐA - ÐB. ????? ???????, ???? ???????????? ΔABC ?????????????? ????? ????? ???????????? ΔA1B1C1.

????? S - ??????? DABC, S1 - ??????? DA1B1C1 ? ?. ?. ÐA = ÐA1, ÐC = ÐC1, ??

 ?  => . ??????????, ????????? ????????? ÐA = ÐA1, ÐB = ÐB1, ?? ????????, ???  => ???????????? ??????? ????????????? ???????????????.

2.) ???? ??? ??????? ?????? ???????????? ??????????????? ???? ???????? ??????? ???????????? ? ????, ??????????? ????? ????? ?????????, ?????, ?? ??? ???????????? ?????????? ?????????.

3.) ???? ??? ??????? ?????? ???????????? ??????????????? ???? ???????? ???????, ?? ????? ???????????? ???????.

17. ?????????????? ??????????? ????? ?????????? ?????????????? ????????????. ??????? ??????????????, ???????? ???????. ??????? ????????.

??????? ? ??????? ???????????????? (??????????????)

1.) ?????? ?????????????? ????????????, ??????????? ?? ??????? ??????? ????, ???? ??????? ???????????????? ????? ?????????, ?? ??????? ??????? ?????????? ???? ???????.

??????????????:

ΔADC ~ ΔCBD (?? ???? ????? (ÐCDB = ÐCDA = 90°, ÐACD = 90° - ÐCAD = 90° - ÐCAB = ÐCBD)) =>

=> => CD2 = AD*DB =>

2.) ????? ?????????????? ???????????? ???? ??????? ???????????????? ????? ??????????? ? ???????? ??????????, ??????????? ????? ??????? ? ???????, ??????????? ?? ??????? ??????? ????.

??????????????:

ΔABC ~ ΔACD (?? ???? ????? (ÐACB = ÐADC = 90°, ÐA - ?????)) =>

=>  => AC2 = AB*AD =>

?????????????? ??????????? ????? ?????????? ?????????????? ????????????.

??????? ???????, ???????????, ??????, ???????? ????????? ? ????????? ?????????? ??? ?????????????? ????????????.

??????? ??????? (???????? ???????)

???????, ??????????? ? ??????????, ? ????????????? ???????????? ????? ???????? ??????????.

???????:

ΔABC: ÐA = 90°

AO - ???????

??????????????:

???????? ?????? CDAB

????????? AO ?? ????? O

AOCD = D

?????????? ???????????? ΔABO ? ΔCOD:

ÐABO = ÐDCO, ?. ?. AB║CD

ÐBOA = ÐDOC (????????????)

BO = OC, ?. ?. AO - ???????

??? ???????????? ????? (?? ??????? ????????) => AB = CD

??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

ÐDCA = 90°, ?. ?. AB║CD ? AB^AC

?????????? ???????????? Δ?AB ? ΔCAD:

??? ????? ?? ???? ??????? (AB = CD, AC - ?????) =>

ÐOAC = ÐOCA ??? ??????????????? ???????? ?????? ????????????? => ? ???????????? ΔAOC AO = OC => ??????? ? ????????????? ???????????? ????? ???????? ??????????.

??????? ???????????

??????????? ? ????????????? ???????????? ????? ????????? ???????????? ??????? ?? ?????? ?? ???? ? ?? ?????.

??????????????:

?? ????? ??????? ??????????? ???????????? ??? ????????????? ????:

k = , ??? k - ???????????; b, c - ???????, ?? ??????? ??????????? ?? ??????, ÐA - ????, ?? ???????? ??????? ???????????

? ????? ?????? b ? ? - ??????, ? ???? ÐA = 90°.

? ?????, k =

??????? ??????

1.) ?????? ? ????????????? ???????????? ????? ????? ?? ???????????? ???????? ??????????, ?????????? ???? ???????.

??????????????:

? ????? ?????? ?????? ???????? ??????? ???????????????? => ????? ????? ?? ???????????? ????????, ?????????? ???? ???????.

2.) ?????? ? ????????????? ???????????? ????? ????????? ???????????? ??????? ? ??????????.

??????????????:

??????? ?????????????? ???????????? ????? , ??? a ? b - ??????, ??, ? ?????? ???????, , ??? h - ??????, c - ?????????? =>  => , ?. ?. ?????? ? ????????????? ???????????? ????? ????????? ???????????? ??????? ? ??????????.

??????? ??????? ????????? ????? ?????????????? ???????????? ??????????

?????? ????????? ????? ?????????????? ???????????? ?????????? ????? ???????? ??????????.

??????????????:

?? ?????, ??? ????? ??????????, ????????? ????? ?????????????? ????????????, ????? ?? ?????????? ????? ???????????? => ??? ?????????? ???????? ?????????, ? ??????? ????? ???? ???????? => ?????? ????????? ????? ?????????????? ???????????? ?????????? ????? ???????? ??????????.

??????? ??????? ????????? ? ????????????? ??????????? ??????????

?????? ????????? ? ????????????? ??????????? ?????????? ????? ????????? ???????????? ??????? ? ????????? ????? ????????????.

??????????????:

?? ????????? ?? ?????? ??????? ??????? ???????????? S = , ??? a, b - ??????. ? ?????? ???????, ?? ??????? ??????? ???????????? ????? ?????? ????????? ?????????? S = , ??? P - ????????, ? r - ?????? ????????? ??????????.

  = 

 =

r = .

??????? ????????

? ????????????? ???????????? ??????? ?????????? ????? ????? ????????? ???????.

??????????????:

?????????? ????????????? ??????????? ? ???????? a, b ? ??????????? c. ???????? ???? ??????????? ?? ???????? ?? ???????? a+b. ??????? ????????????? ???????? (S) ????? (a+b)2. ? ?????? ??????? ???? ??????? ????????? ?? ??????? ?????? ????????????? ?????????????, ??????? ??????? ?? ??????? ????? , ? ???????? ?? ???????? c => S=4* + c2. ????? ???????, (a + b)2 = 2ab + c2 => c2 = a2 + b2.

??????? ???????? ? ??????? ????????

???? ??????? ????? ?????? ???????????? ????? ????? ????????? ???? ?????? ??????, ?? ??????????? ?????????????.

??????????????:

????? ? ???????????? ΔABC AB2 = AC2 + BC2. ?????????? ????????????? ??????????? A1B1C1 ? ?????? ????? C1, ? ???????? A1C1 = AC, B1C1 = BC. ?? ??????? ????????:  =>

?? ???????  =>  => A1B1 = AB => ???????????? ΔABC ? ΔA1B1C1 ????? ?? ???? ???????? => ÐC = ÐC1 => ΔABC - ?????????????.

18. ?????????????? ??????????? ????? ?????????? ?????????????? ????????????. ??????? ????????????? ?????????????.

?????????????? ??????????? ????? ?????????? ?????????????? ????????????.

????? ??????? ???? ? ????????????? ???????????? ????? ????????? ??????????????? ????? ???? ?????? ? ??????????.

??????? ??????? ???? ? ????????????? ???????????? ????? ????????? ??????????? ????? ???? ?????? ? ??????????.

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?????????? ????????????? ??????????? ΔABC: ÐB = 90°.

????? ???????, ??????? ?????? ???? ÐC, ????? ????? b, ?????? ÐB - c, ÐA - a.

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a = c*sin A

b = c*sin C

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a = c*cos C

b = c*cos A

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a = b*tg A

b = a*tg C

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a = b*ctg C

b = a*ctg A

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2.) ????? ???? ??? ???????.

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ΔABC

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1) Ð? = 90°

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2) Ð? < 90°

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?? h2 = b2 -  ?? ???????????? ΔACD. ????????? ??? ????????? ??? h2 ? ????????? ? ??????? b1 ?? ??????? b1 = b*cos C, ?????? ? ?????????? ?????????:

?2 = a2 - 2ab1 +  + b2 - = a2 + b2 - 2ab*cos ÐC.

3) Ð? > 90°

????? ???????? ?????? AD = h ?? ??????? Ð?. ?????? ?? ????????? - ????? D - ????? ?? ??????????? ?? ?? ?????? ?. ????? ????????? ??????? ?D ????? b1. ? ???? ?????? BD = a+b1 ? ?? ?????????????? ???????????? ΔABD ?? ??????? ???????? ?2 = (a+b1) + h2.

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?2 = b2 -  + a2 + 2ab1 + = a2 + b2 - 2ab*cos ÐC.

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??????? ???????????? - ?????????? ???? ??? ????? ????????? (?. ?. ???? ?????? ? ???? ?????) ?? ?????-?????? ???? ?????? ?????????, ???????????? ???????????.

1) ???????? ?????? ??????? ???????????? ? ??????? ??????? ????????? (??????? ???????????? ?? ???? ???????? ? ???? ????? ????).

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a, b, ÐC

?????: c, ÐA, ÐB

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? = 

?????, ????????? ???????? ?????????, ????????:

cos A =  =  =  =

ÐA = arcos

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ÐB = 180° - ÐA - ÐC

2) ???????? ??? ???? ?????? ??????? ???????????? ? ??????? ??????? ????????? (??????? ???????????? ?? ???? ????????).

????:

a, b, c

?????: ÐA, ÐB, ÐC

???????:

????????? ???????? ?????????, ????????:

cos ÐA =

ÐA = arcos

?????????? ?????? ???? ÐB.

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ÐC = 180° - ÐA - ÐB

20. ??????? ??????? ? ??????????? ? ???????????? (????? ? ??????, ??????). ?????????? ??????? ??????? ??? ??????? ?????????????.

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??????? ???????????? ??????????????? ??????? ?????????????? ?????.

???????:

ΔABC

AB = c, BC = b, AC = c

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SABC =  (1), SABC =  (2), SABC =  (3)

?? (1) ? (2) ???????, ???  =  => a*sin C = c*sin C =>  =

?? (2) ? (3) ???????, ???   =  => b*sin A = a*sin B =>  =

????,  =  =

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? ???????????? ?????? ??????? ??????? ????? ??????? ???? (1) ? ???????, ?????? ???????? ???? ????? ??????? ??????? (2).

1) ???????:

ΔABC: AB > AC

??????????????:

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2) ???????:

ΔABC: ÐC > ÐB

??????????????:

???????????, ??? AB = AC => ΔABC - ?????????????? => ÐC = ÐB (???????)

?????? ????? AB < AC => ÐB > ÐC (?????? ??????? ??????? ????? ??????? ????) (???????). ????, ???????? ???? ???????: AB < AC.

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1.) ? ????????????? ???????????? ?????????? ?????? ??????.

?????????? ????? ?????? ??????? ????, ????? - ?????? ???????. ?. ?. ?????? ???? ?????? ??????? => ?????????? ?????? ??????.

2.) ???? ??? ???? ? ???????????? ?????, ?? ???? ??????????? ??????????????.

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?????? ??????? ???????????? ?????? ????? ???? ?????? ??????.

?????????? ???????????? ??????????? ΔABC. ??????? ?? ??????????? ??????? AC ??????? CD, ?????? ??????? CB. ? ?????????????? ???????????? ΔBCD Ð1 = Ð2, ? ? ΔABD

ÐABD > Ð1 = > ÐABD > Ð2. ? ?. ?. ? ???????????? ?????? ???????? ???? ????? ??????? ???????, ?? AB < AD. ?? AD = AC + CD = AC + CB => AB < AC + BC.

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??? ????? ???? ????? A, B ? C, ?? ??????? ?? ????? ??????, ??????????? ???????????: AB < AC + BC, AC < AB + BC, BC < AB + AC. ?????? ?? ??? ?????????? ???????????? ????????????.

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a, ÐB, ÐC

?????: b, c, ÐA

???????:

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ÐA = 180° - ÐB - ÐC

?? ??????? ??????? ?????? ??????? b ? ?:

b = , c =

21. ??????? ???????????? ? ?? ???????? (???????????? ????????????, ??????? ??????????, ??????? ? ????????????? ? ?????????????? ????????????).

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Δ???

AM - ???????

Y

 

 
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cos ÐAMB =

cos ÐAMC =

cos ÐAMB = -Ðcos AMC (?. ?. ???????) =>

?????? ? ????????????? ????????????

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ΔABC: ÐA = 90°

AO - ???????

??????????????:

???????? ?????? CDAB

????????? AO ?? ????? O

AOCD = D

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ÐABO = ÐDCO, ?. ?. AB║CD

ÐBOA = ÐDOC (????????????)

BO = OC, ?. ?. AO - ???????

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??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

ÐDCA = 90°, ?. ?. AB║CD ? AB^AC

?????????? ???????????? Δ?AB ? ΔCAD:

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ÐOAC = ÐOCA ??? ??????????????? ???????? ?????? ????????????? => ? ???????????? ΔAOC AO = OC => ??????? ? ????????????? ???????????? ????? ???????? ??????????.

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?. ?. ? ?????????????? ???????????? ??????? ????????? ? ???????, ?? ?????? ?? ?? ?? ??????? ????????. ??????? ????? ????? ??????????? ?? ????? ????????? ???????? ????????? ? ??????? ???????:

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1-2.) ??????? ? ???????????? ???????????? ? ????? ?????, ??????? ????? ?? ? ????????? 2:1.

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? ?. ?. AB = 2A1B1, ?? AO = 2A1O ? BO = 2B1O => ????? O ??????????? ?????? AA ? BB ????? ?????? ?? ??? ? ????????? 2:1, ?????? ?? ???????.

?????????? ?? ????? ????????, ??? ????? ??????????? ?????? BB1 ? CC1 ????? ?????? ?? ??? ? ????????? 2:1 => ????????? ? ?????? O.

3.) ??????? ????? ??????????? ?? ??? ???????????? ????????????.

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4.) ??????? ???????????? ????? ??? ?? 6 ???????????? ?????????????.

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SΔCA1O = SΔA1BO                    

SΔB1CO ????????? ? SΔCOA1 ??? 1 ? 1 => ??????.

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22. ??????????? ??????????? ???? ???????????? ? ?? ???????? (????? ??????????? ??????????, ??????? ??????????, ??????????? ???????? ????).

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Δ???

AK - ???????????

Y

 

 
??????????????:

 

????? AB = c, BC = a, AC = b, AK = k

SΔ??? = SΔ??K + SΔAK?

*sin A = *sin  + *sin

sin A = 2sin *cos

cb*sin *cos = * sin + *sin

2bc*cos = k(c+b)

k =

??????? ????? ??????????? ???? ???????????? ????? ???????? ???????????? ??????, ?????????? ???? ????, ? ????????, ??????? ??? ???????? ??? ??????? ??????? ???????.

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Δ???

AK - ???????????

Y

 

 
??????????????:

 

????? AB = c, BK = x, KC = y, AC = b, AK = k

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cos ÐAKB =

cos ÐAKC =

cos ÐAMB = -cos ÐAMC (?. ?. ???????) =>

=

k2y + x2y - c2y = -k2x - y2x + b2x

k2y + k2x = b2x + c2y - x2y - y2x

 (?? ??????? ? ???????????????? ????????)

????????:

1-2.) ?????? ????? ??????????? ?????????????? ???? ???????????? ?? ??? ?????? ? ???????, ?????? ?????, ???????  ?????? ???? ? ?????????????? ?? ?????? ????, ????? ?? ??? ???????????.

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2.) ????? ????? M ????? ?????? ÐBAC ? ???????????? ?? ??? ?????? AB ? AC. ???????? ?????????????? MK ? ML ?????? ? ?????? AB ? AC. ????????????? ???????????? ΔAKM ? ΔALM ????? ?? ?????????? (AM - ????? ??????????) ? ?????? (MK=KL (?? ???????)).

3.) ??????????? ???????????? ??????????? ? ????? ????? (????????? ?? 1-2).

????? ????? O - ??????????? ?????????? AA1 ? BB1 ???????????? ΔABC. ???????? ?????????????? OK, OL ? OM ?????????????? ? ?????? AB, BC ? AC. ?? 1 ???????? ??????????? OK = OM, OK = OL => ????? O ???????????? ?? ?????? ÐACB => ?? 2-??? ???????? ?????????? ????? O ????? ?? ??????????? CC1 ????? ????.

4.) ??????????? ???????? ???? ??????????????? ??????????? ????, ???????? ? ????? ????.

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ΔABC

CM, CL - ???????????

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ÐACB + ÐBCK = 180°, ?. ?. ??? ???????

ÐBCM =  (?? ???????)

ÐBCL =  (?? ???????)

ÐBCM + ÐBCL =  = 90° = ÐMCL = > MC^CL

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MC =

?? MC = r => (x-a)2 + (y-b)2 = r2

???? ?? ????? M(x,y) ?? ??????????? ???? ??????????, ?? MCr => ?? ?????????? ?? ????????????? ??????????? ????????? => ??? ????????? ??????????.

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????? C ? C1 - ????? ??????????? ???????? R ? R1. ?????? ? ?????? ?? ??? ?????????? n-???????? ? ????????? ?? ????????? P ? P1, ? ??????? a ? a1. ?? ?????, ??? a = 2R*, ??? a - ??????? n-?????????, R - ?????? ????????? ?????????? =>

P = n*a = n*2R*

P1 = n*a1 = n*2R1*

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??? ??????????? ??????????? ??? ????? ???????? n. ????? ????????????? ??????????? n. ?. ? . PC, P1 C1 ??? n → ∞, ?? ?????? ?????????  ????? . ? ?????? ??????? ???? ?????? ?????  => .

????, ????????? ????? ?????????? ? ?? ???????? ???? ???? ? ?? ?? ????? ??? ???? ???????????. ??? ????? ??????? ?????????? ??? π (3,1415926535897932384626433832795).

?? ?????????  ???????, ??? ????? ?????????? ?????: ? = 2πR

????? ???? ??????????

?. ?. ?? ????? ????? ?????????? ? ??? ??? ?????????? ???????????? ????? ???? ? 360°, ?? ?????? ????? ???? ? 1°: . ??????? ????? ???? l ? ????????? ????? α ?????????? ???:

l =

???? - ????? ?????????, ???????????? ???????????.

??????? ?????

?????????? ?????????? n-???????? A1A2:An, ????????? ? ??????????, ?????????????? ????. ????????, ??? ??????? S ??????? ????? ?????? ??????? Sn ?????????????? A1A2:An, ?. ?. ??? ????????????? ??????? ?????????? ? ?????? ?????. ? ?????? ???????, ??????? ????? , ?????????? ? ?????????????, ?????? Sn, ?. ?. ??? ???? ??????? ?????????? ? ??????????????:

< Sn <S

????? ????????????? ??????????? ????? ?????? ??????????????. ?? ???????

r = R*, ??? r - ?????? ????????? ??????????. ??? n → ∞  → 1 => rR, ?. ?. ??? ?????????? ????? ?????? ?????????????? ????????? ? ???? ?????????? ????????? ? ????????? ?????????? =>  → S ??? n → ∞ => SnS.

????, ??? S =  ??? ??????????? ??????????????, ????????: Sn = , ??? P - ???????? ?????????????? A1A2:An.

????????, ??? rR, P → 2πR, SnS ??? n → ∞, ????????: S =  = πR2.

?????, ??????? ????? S ?????:

S = πR2

???????? ?????? - ????? ?????, ???????????? ????? ? ????? ?????????, ???????????? ????? ???? ? ??????? ?????.

??????? ????????? ???????

?. ?. ?? ????? ??????? ?????????? ? ??? ??? ?????????? ???????????? ????? ???? ? 360°, ?? ??????? ???????, ????????????? ????? ? 1°: . ??????? ??????? ??????? S ? ????????? ????? α ?????????? ???:

S =

??????? - ????? ?????, ???????????? ?????? ? ?????, ?????????? ???? ??????.

??????? ????????

??????? ????????, ????????????? ????? ????? ?????, ????? ?? ??????? ???????, ????????????? ??? ?? ?????, ??????? ????????????, ??????? ???????? -  ??? ??????? ? ????? (ΔOAB):

S =  -

S =

24. ??????????. ???? ? ??????????. ??????? ? ????????? ? ??????????? ????? (?????????, ??????????? ????, ????????? ??????? ? ????????? ? ??????????? ?????, ???? ????? ???????, ???? ????? ??????? ? ???????????, ???? ????? ???-??? ? ???????????, ???? ????? ????????).

?????????? - ????????? ????? ?? ?????????, ?????????????? ?? ?????? ?????, ?????????? ??????? ??????????.

??????????? - ??????, ??????? ? ??????????? ???? ????? ????? (????? ???????).

????? - ???????, ??????????? ??? ?????, ??????? ?? ??????????.

??????? - ??????, ?????????????? ? ??????????? ? ???? ??????.

??????????? ???? - ???? ? ???????? ? ?????? ??????????, ? ??????? ?????????? ??????????.

????????? ???? - ????, ??????? ???????? ????? ?? ??????????, ? ??????? ?????????? ??????????.

??????? ? ????????? ????

????????? ???? ?????????? ????????? ????, ?? ??????? ?? ?????????.

????? ÐABC - ????????? ???? ?????????? ? ??????? ? ????? O, ??????????? ?? ???? AC. ?????????? ??? ????????? ?????? ???????????? ???? BO ???????????? ???? ÐABC:

1) ??? BC ????????? ? ????? ?? ?????? ???? ÐABC, ????????, ?? ???????? BC.

? ???? ?????? ???? ÈAC ?????? ?????????????? => ÐAOC = ÈAC. ?. ?. ÐAOC - ??????? ???? ??????????????? ???????????? ΔABO, ? ???? Ð1 ? Ð2 ??? ????????? ??????????????? ???????????? ?????, ?? ÐAOC = Ð1 + Ð2 = 2Ð1 => 2*Ð1 = ÈAC ??? ÐABC = Ð1 =

2) ??? BO ????? ÐABC ?? ??? ????.

? ???? ?????? BO ?????????? ÈAC ? ????????? ????? D. ????? D ????????? ÈAC ?? ??? ????: ÈAD ? ÈDC. ?? ??? ??????????? ÐABD =  ? ÐDBC = . ?????? ??? ?????????, ????????: ÐABD + ÐDBC =  ??? ÐABC = .

3) ??? BO ?? ????? ÐABC ?? ??? ???? ? ?? ????????? ?? ????????? ????? ????.

? ? ???? ?????? BO ?????????? ?????????? ? ????? D. ?? ??? ??????????? ÐABD =  ? ÐCBD = . ?????? ?? ??????? ????????? ??????: ÐABD - ÐCBD = , ?. ?. ÐABC = .

?????????:

1.) ????????? ????, ??????????? ?? ???? ? ?? ?? ????, ?????

2.) ????????? ????, ??????????? ?? ??????????????, - ??????.

???? ????? ??????????? ? ??????

???? ????? ??????????? ? ?????? ????? ???????? ???????? ????, ????????????? ?????? ????? ????.

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? - ????? ??????????

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AL - ???????????

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???????? ??????? ?? ? ??.

?? = ??, ?. ?. ?? ? ?? - ???????.

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Ð??? = Ð???, ?. ?. ?? = ??

=>

 

 

ÐLAC = ÐLAO - ÐOAC

ÐLAC = 90° -  =  

=>

 

 

ÐA?C = ÈAC, ?. ?. Ð??? - ???????????

ÐLAC =

???? ????? ????? ???????

???? ??? ????? ????????????, ?? ???? ????? ???? ????? ????????? ???, ???????????? ????? ???????.

???????:

? - ????? ??????????

?? ? ?D - ?????

? - ????? ?? ???????????.

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Ð?D? = , ?. ?.  Ð?DB - ?????????

Ð??D = , ?. ?. ÐCBD - ?????????

ÐAEB = Ð?DB + ÐCBD, ?. ?. ÐAED - ??????? ???? ΔBED=>

ÐAEB =  +  =

???? ????? ????? ????????

???? ????? ????? ???????? ????? ???????????? ???, ????????????? ????? ????????.

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?? ? ?? - ???????

??????????????:

???????? ??║NM

=>

 
Ð??? =  =

 

È?? = ÈBN, ?. ?. ??║NM

Ð??? =     

=>

 

 

Ð??? = Ð???, ?. ?. ??║NM

ÐC?? =

???? ????? ??????????? ? ???????

???? ????? ??????????? ? ??????? ????? ???????????? ???, ????????????? ????? ????.

?

 

 

???????:

?? - ???????

?? - ???????????.

??????????????:

???????? D?║AB

=>

 
ÐKDC = =

 

 È?B = ÈBD (?????? ??????? 1)

=>

 
ÐKDC =

 

ÐBA? = ÐKDC, ?. ?. ??║NM

ÐB?C =

??????? 1

???????:

? - ????? ??????????

?D - ?????

?? - ???????????

BB1 - ???????

??????????????:

??^??, ?. ?. ??║?? ? ??^??

?D^BB1 => KT = TD

?????????? Δ?O? ? Δ?OD:

??? ????? ?? ?????????? (?? = ?D) ? ?????? (?? - ?????) =>

Ð??? = Ð??D ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????. ????? ??? ???? ??????????? => ??? ????????? ?? ?????? ???? => È?B = ÈBD

25. ???????????. ?????????? ??????????? ? ??????????. ??????? ?? ???????? ???????????, ???????? ???????????.

?????????? - ????????? ????? ?? ?????????, ?????????????? ?? ?????? ?????, ?????????? ??????? ??????????.

??????????? - ??????, ??????? ? ??????????? ???? ????? ????? (????? ???????).

??????? ??????????? - ???????, ???????????? ??????? ??????? ? ?????? ??????????? ???????????.

????????:

??????????? ? ?????????? ??????????????? ? ???????, ???????????? ? ????? ???????.

????? q - ??????????? ? ?????????? ? ??????? O, A - ???? ???????.

????????, ??? q ?? ??????????????? ???????, ????? OA - ????????? ? ?????? q. ?. ?. ?????????????, ??????????? ?? ????? O ? ?????? q, ?????? ????????? OA, ?? ?????????? ?? ?????? ?????????? ?? ?????? q ?????? ??????? => ?????? q ? ?????????? ????? ??? ???? ??????????? => q - ?? ???????????, ??? ???????????? ??????? => ????????????? ?? ????? => q^OA.

??????? (???????? ???????????):

???? ?????? ???????? ????? ????? ???????, ??????? ?? ??????????, ? ??????????????? ? ????? ???????, ?? ??? ???????? ???????????.

?. ? ?????? ?????? ???????? ???????????????, ??????????? ?? ?????? ?????????? ? ?????? ??????, ?? ?????????? ?? ?????? ?????????? ?? ?????? ????? ??????? => ?????? ? ?????????? ????? ???? ????? ??????????? => ??? ?????? - ???????????.

?????????? ??????????? ? ??????????

???????? ?????????? ? ??????? O ? ????? A ??? ???? ??????????. ????????, ??? AB - ???????????. ?. ? ?????? AB^OB, ??? OB - ??????, ?? ?????? ???????? ? ?????????? ????? B ?? ??????????, ??? ??????? ÐABO ??????.

???????? ??????? OA ? ?????? ??? ???????? Q. ????? ???????? ?????????? ? ??????? ? ????? Q ??????? AQ. ??? ?????????? ?????????? ?????? ? ???? ??????: B ? C. ?????? AB ? AC - ??????? ???????????, ?. ?. AB^OB ? AC^OC.

ÐABO ? ÐACO, ????????? ? ?????????? ? ??????? Q, - ??????, ?????? ??? ????????? ?? ???????.

?????? ????? ??? ???????.

??????? ?? ???????? ???????????

??????? ??????????? ? ??????????, ??????????? ?? ????? ?????, ????? ? ?????????? ?????? ???? ? ??????, ?????????? ????? ??? ?????.

?? ???????? ??????????? ÐOBA = ÐOCA = 90° => ΔOBA = ΔOCA(?? ?????????? (OA - ?????) ? ?????? (OB = OC (???????))) => AB = AC ? ÐBAO = ÐCAO ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

26. ??????????. ????? ? ????. ??????? ? ????? ? ???????? (???????? ?????? ? ???????? ????, ???????????? ?????, ???? ????? ???????, ??????? ?? ???????? ????, ??????? ??????????????).

?????????? - ????????? ????? ?? ?????????, ?????????????? ?? ?????? ?????, ?????????? ??????? ??????????.

????? - ???????, ??????????? ??? ?????, ??????? ?? ??????????.

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1.) ????? ????? ?????????? ????? ó ????? ??? ???????????? ?? ??????.

(=>)

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O - ????? ??????????

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OH ? OH1 - ??????

?D = AB

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HD = , ?. ?. OH^CD,

 

BH1 = , ?. ?. OH1^AB

HD = BH1

OD = OB, ?. ?. OB ? OD - ???????.

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??? ????? ?? ?????????? (OD = OB) ? ?????? (HD = BH1)

OH = OH1 ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

(<=)

???????:

O - ????? ??????????

?? ? ?D - ?????

OH ? OH1 - ??????

OH = OH1

??????????????:

OD = OB, ?. ?. OB ? OD - ???????.

??????????  ΔODH ? ΔBOH1:

??? ????? ?? ?????????? (OD = OB) ? ?????? (OH = OH1)

HD = BH1 ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

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HD = , ?. ?. OH^CD,

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BH1 = , ?. ?. OH1^AB

HD = BH1 =>  =   => CD = AB

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ÐCOD = ÐAOB

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AO = OB = OD = OC, ?. ?. AO, OD, OC, OB - ???????.

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AB = CD

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AO = OB = OD = OC, ?. ?. AO, OD, OC, OB - ???????.

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ÐCOD = ÐAOB ??? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????.

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ABCD

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?. ?. ABCD (?? ???????), ??

ÐABC = ÐBCD (??????? ???????)

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ÐABC = 2ÈAC

=>

 

 

ÐBCD = 2ÈBD

ÈAC = ÈBD

(<=)

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?D ? AB - ?????

ÈAC = ÈBD

 ??????????????:

=>

 
ÐABC = 2ÈAC

 

ÐBCD = 2ÈBD

ÈAC = ÈBD

ÐABC = ÐBCD

?. ?. ÐABC = ÐBCD, ?? AB║CD

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MK^AB

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MO = OK, ?. ?. MO ? ?? - ???????.

?????????? ΔMOH ? ΔHOK:

??? ????? ?? ???? ????????

(?? = ??, ?? = ??, ?? - ?????) =>

Ð??? = Ð???

=>

 

 

Ð??? + Ð??? = 180°

Ð??? = Ð??? = 90°  => MK^AB

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Ð??D = , ?. ?. ÐCBD - ?????????

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ÐAEB =  +  =

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AB ? CD - ?????

E - ????? ?? ???????????

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???????? CB ? AD.

=>

 
ÐBAD = ÐDEB, ?. ?. ????????? ?? ???? ???? BD

 

ÐCEB = ÐAED (????????????)

Δ??? ~ ΔADB => => AE*BE = DE*EC.

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?????????? Δ??? ? ΔADB:

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ÐBDC =

 

ÐABC =  (?? ???? ?????

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ÐBDC = ÐABC

 

ÐBAD - ?????

Δ??? ~ ΔADB =>  => AB2 = AC*AD

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AC, AN - ???????

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???????? ??????????? AK.

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AK2 = AB*AC

 

AK2 = AM*MN

AB*AC = AM*MN

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? ????? ????????? ???????????????? ????? ??????????????? ?????? ?????.

?? ??????? ?? ???????? ??????????? ???????, ??????????? ??????? ? ????? ??????? ????? => AB + CD = a + b + c + d, BC + AD = a + b + c + d => AB + CD = BC + AD.

???????? ?????????? ????????????????:

???? ? ???????? ???????????????? ????? ??????????????? ?????? ?????, ?? ? ???? ??????????????? ????? ??????? ??????????.

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?????????? (?;r)

????? ??????????????? ?????? ?????.

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????? ???(?;r) ???????? ???? ?????? ABCD.

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?. ?. ??? ????????? ???????????????, ??

AB + ?1D1 = BC1 + AD1

?? (1) ?????? (2) ? ???????:

 

 

AB + CD = BC + AD

?1D1 - CD = BC1 + AD1 - BC - AD = BC1 + AD1 - BC1 - C1C - AD1 - D1D = -C1C - D1D

CD = C1D1 + CC1 + DD1 => C1, D1CD => C = C1, D = D1  => ABCD - ????????? ???????????????.

?????????? ????????????, ????? ?D - ??????? ??????????.

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2.) ? ????????????? (?? ?????????? ?????????) ? ?????????????? (?? ?????????? ??????) ??????? ?????? ??????? ??????????, ?. ?. ????? ????? ???? ??????????????? ?????? ?????? ?????? ??????.

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?????????? ???????????? ??????????? ΔABC. ????????? ?????? O ????? ??????????? ?????????? ??????????????? ? ??? ???????? ? ???????? ??????? OA, OB ? OC. ?. ?. ????? O ???????????? ?? ?????? ΔABC, ?? OA = OB = OC => ?????????? ? ??????? ? ????? O ??????? OA ???????? ????? ??? ??? ??????? ???????????? => ???????? ????????? ????? ΔABC.

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N - ???????? AB

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M - ?????, ????????????? ?????????? ??????????????? BC ? AB => ??? ????? ??????????? ?????????? ??????????????? => MA = MB = MC => ??? ????? ????????? ??????????.

2.) ????? ????????? ?????????? ??????????? ???????????? ????? ? ????? ??????????? ??? ?????, ?????? ? ??????????.

?????????? ?????????????? ? ?????????? ???????????? ????? ?? ???????, ?. ?. ?????? ? ????? ???????????? ????? ???????, ?? ??????? ??? ??????, ???????, ??? ? ?????????? ????????????? => ????? ??????????? ?????????? ???????????????, ?. ?. ????? ????????? ?????????? ????? ?? ??????????? ?????, ?, ????????? ?????? ????????? ? ????????????? ? ?????????, ?? ? ?? ??????????? ?????????? ? ??????.

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? ????? ????????? ???????????????? ????? ??????????????? ????? ????? 180°.

????????????? ???????? ? ????????? ????: ÐA = , ÐC =  => ÐA + ÐC =  = *360° = 180° => ????? ?????? ???? ??????????????? ????? ????? ????? 180°.

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????? ? ???????????????? ABCD ÐA + ÐC = 180°. ???????? ?????????? ????? ??? ??????? ????????????????: A, B ? D. ? ????? ??????, ??????? C ????? ????????? ??? ?????? ??????????, ??? ? ???????.

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2.) ????? ??????????????? (?? ?????????? ????????? ? ???????????????) ? ????? (?? ??????????  ?????????) ??????? ?????? ??????? ??????????, ?. ?. ????? ??????????????? ?????? ?? ????? 180°.

3.) ????? ???????? ????? ??????? ?????????? ?????? ? ??? ??????, ???? ??? ???????? ??????????????.

30. ??????? ????????????? ??????. ??????? ??????? ????????????.

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1.) ??????? ???????????? ????? ???????? ???????????? ??? ????????? ?? ??????, ??????????? ? ????? ?????????.

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ΔABC

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????? S - ??????? ???????????? ΔABC. ?????? AC ?? ????????? ???????????? ? ???????? ?????? BH.

???????? ??????????? ΔABC ?? ??????????????? ABDC. ΔABC = ΔBDC (?? ???? ???????? (AB = CD, BD = AC, BC - ?????)) => SΔABC = SΔBCD => S = SABCD, ?. ?. S = AC*BH.

?????????:

1.) ??????? ?????????????? ???????????? ???????????? ????? ???????????? ??? ???????.

2.) ???? ?????? ???? ????????????? ?????, ?? ?? ??????? ????????? ??? ?????????.

2.) ??????? ??????: ??????? ???????????? ?????, ??? p - ???????????? ? a, b, c - ???????  ????? ????????????.

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ΔABC

AD - ??????

??????????????:

????? BC = a, AC = b, AB = c, AD = h, BD = x, ????? CD = a - x.

  ?? ??????? ???????? AD2 =AB2 - CD2 ? AD2 =AC2 - CD2 => AB2 - BD2 = AC2 - CD2, ?. ?. ?2 - x2=b2 - (a - x)2 => 2ax = a2 + c2 - b2.

?? ??????? ???????? AD2 =AB2 - BD2 => h2 = c2 - x2

??????????????? ???????? ?? ????????? ??? ???????? ????????? ? ?????????, ????????, ???

????? ???????? (a + b + c) ???????????? ??? ????? ????? 2? =>

a + b - c = 2p - 2c

=>

 

 

a + c - b = 2p - 2b

b + c - a = 2p - 2a

?? ?????? ??????? ??????? ????????????? S ==> S = .

3.) ??????? ???????????? ????? ???????? ???????????? ???? ??? ?????? ?? ????? ???? ????? ????.

???????:

ΔABC

AD - ??????

??????????????:

????? BC = a, AC = b, AB = c, AD = h.

????????????? ?????? ???????? ??????? ????????????? S = .

?????? ??????? ?????? h ????? ????? ???? ÐB:

h = c*sin B => S =

??????? ??????? ????????? ??????????

????????? ?????? ??????????, ????????? ????? ????????????, ????? ????????? ????? ??????? ???????????? ? ?????? ??????????????? ???? ???? ???????.

???????:

ΔABC - ?????????

BD - ???????

??????????????:

BCD = 90°, ?. ?. ????????? ?? ???????

BC = BD*sin ÐBDC

?????? ???????????:

BC = a, ?. ?. ????? ?????? ???? ?

BD = 2r

ÐBDC = ÐBAC, ?. ?. ????????? ?? ???? ???? ÈB? =>

a = 2r*sin ÐA => 2r =.

4.) ??????? ???????????? ????? ????????? ???????????? ???? ??? ?????? ?? ?????? ??????? ????????? ??????????, ????????? ?????? ????? ????????????.

???????:

ΔABC

??????????(O;r) - ????????? ????? ΔABC

??????????????:

?? ??????? ??????? ????????? ?????????? ?? ?????, ??? 2r = => sin A =.

????????????? ??????? ???????? ??????? ????????????? S = .

?????? ?????????:

S = .

5.) ??????? ??????????? ???????????? ????? ???????? ??????? ?? ?????? ?? ????, ???????? ?? ??????.

???????:

ΔABC - ??????????

BH - ??????

??????????????:

????? AB = BC = AC = a.

??????? ????? SΔABC = .

??????? BH  ? ΔABH:

BH = AB*sin A

sin ÐA = sin 60° =

?????? ?????????:

S=.

6.) ??????? ???????????? ????? ??? ?????????????, ??????????? ?? ?????? ????????? ??????????.

???????:

ΔABC

?????????? (O;r) - ?????????

OK^AB, ON^BC, OM^AC

??????????????:

OK = ON = OM = r, ?. ?. ???????? ?????????, ???????????? ? ????? ???????.

SΔABC = SΔABO + SΔBOC + SΔCOA

SΔAOB =

=>

 
SΔBOC =

 

SΔAOB =

SΔABC =

SΔABC =

????? ???????? (AB + BC + AC) = 2p => S = pr.

7.) ??????? ???????????? ????? ???????????? ??????? ???????????? ?????????? ?????????? ??????? a ?? ???????? ????????????? ? ??????? a.

???????:

?????????? (O;r) - ????????????

OK^AB, ON^BC, OM^AC

??????????????:

OK = ON = OM = r, ?. ?. ???????? ?????????, ???????????? ? ????? ???????.

SΔABC = SΔAOB + SΔACO - SΔBOC

SΔAOB=

=>

 
SΔACO=

 

SΔBOC=

SΔABC =

SΔABC =

????? ???????? (AB + BC + AC) = 2p, BC = a => S = r(p-a).

31. ??????? ????????????? ??????. ??????? ??????? ????????????? ????????????????, ??????? ???????????????, ????????, ?????, ??????????????, ????????.

??????? - ????????????? ????????, ?????????? ?????????? ??????????:

- ???? ?????? ?????????? ?? ?????????? ????????????? ?????, ?? ?? ??????? ????? ????? ???????? ???? ?????;

- ?????? ?????? ????? ?????? ???????.

??????, ??????? ?????? ??????? ?????????? ?????????????.

??????? ?????????????? ????? ????? ???????? ?????????????, ???????????? ???.

??????? ???????? ?????????????????:

??????? ????????????? ????????????????

??????? ????????????? ???????????????? ????? ???????????? ?????????? ?? ????? ???? ????? ???? ???????.

???????:

ABCD - ???????????? ???????????????

AC, BD - ?????????

??????????????:

????? AC = d1, BD = d2, ÐAOB = α

SABCD = SΔAOB + SΔBOC + SΔCOD + SΔOAD

SΔAOB =

=>

 
SΔBOC =

 

SΔCOD =  

SΔAOD =

SABCD =  = .

??????? ????????

??????? ???????? ????? ???????? ????? ??? ???????.

??????? ??????????????

??????? ?????????????? ????? ???????????? ??? ??????.

?????????? ????????????? ?? ????????? a, b. ???????? ??? ?? ???????? ?? ???????? a + b, ??????? ???????? ????? ????? (a + b)2. ? ?????? ??????? ???? ??????? ????????? ?? ??????? ?????????????? ? ???????? S, ??????? ??? ?????????????? ? ???????? S ? ???? ????????? ? ????????? a2 ? b2, ?. ?.

(a + b)2 = 2S + a2 + b2

a2 + 2ab + b2 = 2S + a2 + b2

S = ab

??????? ??????????????? (?????)

??????? ??????????????? (?????) ????? ???????????? ????????? ? ??????, ??????????? ? ????? ?????????.

?????????? ?????????????? ABCD ? ???????? S. ?????? ??????? AD ?? ????????? ? ???????? ?????? BH ? CK. ??????? ???????, ??? ??????? ?????????????? HBCK ????? ????? S. ???????? ?????????? ?? ??????????????? ABCD ? ???????????? ΔDCK. ? ?????? ???????, ??? ?????????? ?? ?????????????? HBCK ? ???????????? ΔABH. ?? ????????????? ???????????? ΔABH ? ΔDCK ????? ?? ?????????? (AB = CD ??? ??????????????? ??????? ???????????????) ? ??????? ???? (Ð1 = Ð2 ??? ??????????????? ????) => SABCD = SHBCK. ?? ??????? ?????????????? SHBCK = BC*BH, ? ?. ?. BC = AD, ?? S = AD*BH.

??????? ????????

??????? ???????? ????? ???????????? ????????? ?? ????????? ?? ??????.

?????????? ???????? ABCD ? ??????????? AD ? BC, ??????? BH ? ???????? S. ????????? BD ????????? ???????? ?? ??? ???????????? ΔABD ? ΔBCD => S = SΔABD + SΔBCD. ?? SΔABD = AD*BH, SΔBCD = BC*DH1. ?. ?. DH1 = BH, ?? SΔBCD = BC*BH. ????? ???????, S = BC*BH + AD*BH = .

??????? ?????

??????? ????? ????? ???????? ???????????? ??????????.

?? ?????, ??? ??????? ????????????? ???????????????? ????? ???????????? ?????????? ?? ????? ???? ????? ???? ???????. ???? ???? ????? ???? 90°, ?? ??? ????? ????? ??????? => ??????? ????? ???????????? ?????????? ???????. ? ?????? ? ?????? ????????? ??????????????? => ??????? ????? ????? ???????? ???????????? ??????????.

32. ?????????? ??????????????. ??????? ? ?????? ??????????? ??????????????. ????????? ?????? ??????????? ?????????????? ????? R ? r. ??????? ??????????? ????????????.

?????????? ????????????? - ????? ?????????????, ? ???????? ??? ??????? ? ???? ?????.

????? ??????????? ?????????????? - ?????, ?????????????? ?? ???? ??? ?????? ? ?? ???? ??? ??????. ??????? ??? ?????????????.

??????? ? ?????? ??????????? ??????????????

? ?????? ?????????? ?????????????? ???? ?????, ?????????????? ?? ???? ??? ?????? ? ?? ???? ??? ??????.

????? A1A2:An - ?????????? n-????????. ???????? ??????????? p ? q ?????  ÐA1 ? ÐA2. ???? p ? q ??????????? ? ????? O.

??????? ???????, ??? ????? O ???????????? ?? ???? ??? ??????, ?. ?. OA1 = OA2 = : = OAn. ?. ?. Ð1 = Ð2 (??? ???????? ?????? ?????), ?? ??????????? ΔOA1A2 ?????????????? => OA1 = OA2. ????? ΔOA1A2 = ΔOA2A3 ?? ???? ???????? (A1A2 = A2A3 (?? ???????), OA2 - ?????) ? ???? ????? ???? (Ð2 = Ð3 (OA2 - ??????????? ÐA2)) => OA1 = OA3 => OA2 = OA3 ? Ð3 = Ð4.

?????, Ð3 = ÐA2, ÐA2 = ÐA3 => Ð3 = ÐA3. ?? Ð3 = Ð4 => Ð4 = ÐA3, ?. ?. Ð4 = Ð5 => OA3 - ??????????? ÐA3. ???????? ??????????? ??????????? ? ??????, ????????:

OA1 = OA2 = OA3 = : =OAn-1 = OAn, ?. ?. ????? O ???????????? ?? ???? ?????? n-?????????.

?????? ???????, ??? ????? O ???????????? ?? ???? ?????? n-?????????. ?? ??????????? ?????????????? ???????, ??? ΔOA1A2, ΔOA2A3, ΔOA3A4, :, ΔOAn-1An , ΔOAnA1 - ?????????????? ? ????? ????? ????? => ?? ??????, ??????????? ?? ????????? (??????? n-?????????), ????? ????? ????? => ????? O ???????????? ?? ???? ?????? ?????????????? A1A2:An.

?????????:

1.) ????? ?????? ??????????? ?????????????? ????? ??????? ??????????.

2.) ? ????? ?????????? ????????????? ????? ??????? ??????????.

????????? ?????? ??????????? ?????????????? ????? R ? r

??????? ??????????? n-????????? ????? 2R*, ??? R - ?????? ????????? ?????????? ??? 2r*, ??? r - ?????? ????????? ??????????.

???????:

AB - ??????? ??????????? n-?????????

OA = OB = R

OK^OB, OK = r

??????????????:

ÐAOB =

AB = 2AK = an

?????????? ΔAOK:

1.) AK = AO*sin ÐAOK

AK = R*

an = 2R*

2.) AK = OK*tg ÐAOK

AK = r*

an = 2r*

3.) OK = OA*cos ÐAOK

r = R*

???????:

??? ??????????? n-?????????

??? ??????? ????????? ??????????

??? ??????? ????????? ??????????

???????????

R

2r

???????

R

2r

?????????????

R

r

??????? ??????????? ????????????

S = n*SΔAOB

SΔAOB = an*r

S = n*an*r =  = pr, ??? p - ????????????, ? r - ?????? ????????? ??????????.

?????????????? ???????

1) ?????? ? ??? ????????.

 - ????????? ???????, ??? a ? b - ??????? ??????? (a > b).

?????? ????? ??? ?????? F(c;0) ? F1(-c;0), ?????? c2 = a2 - b2.

?????????????? ??????? ????? E = .

????????? ?????????? x = .

2) ????????? ? ?? ????????.

 - ????????? ?????????, ??? 2a - ?????????????? ???, 2b - ?????? ???.

????????? ????? ??? ?????? F(c;0) ? F1(-c;0).

?????????????? ??????? ????? E = , ?????? c2 = a2 + b2.

????????? ????????? x = +.

????????? ???????? y = +.

3) ???????? ? ?? ????????.

 - ????????? ????????.

???????? ????? ????? F(0;).

?????????? ???????? y = .

MF (????????? ??????) = y + .

4) ??????? ????, ?????? ? ????????. ?????????? ??????? ????, ?????????.

??????? ????

????? ?? ???????? ΔABC ??????? ????? A1 Î BC, B1 Î AC, C1 Î AB. ????? ??????? AA1, BB1 ? CC1 ???????????? ? ????? ????? ó ????? ??????????? ?????????:

.

?????????:

1.) ??????? ? ????? ??????????? ??????

2.) ??????? ? ????? ??????????? ??????????.

?????????? ??????? ????

????? ?????? a, b, ? c ???????? ????? ??????? A, B ? C ???????????? ΔABC ? ?????????? ?????? BC, CA, AB ? ?????? A1, B1, C1 ??????????????. ????? ?????? a, b, c ???????????? ? ????? ????? ??? ??????????? ó ????? ????? ?????????:

5) ??????? ???????, ?????? ? ????????, ????????? ??????? ???????.

????? ??? ??????????? ΔABC ? ????? C1, B1, A1 ??????????? ?????????????? ?????? AB, AC, BC. ????? A1, B1, C1 ????? ?? ????? ?????? ó ????? ??????????? ?????????:

6) ?????????????? ? ??? ???? (??????????????, ??? ???????? ? ????????, ????, ??? ???????? ? ????????, ?????????????, ??? ???????? ? ???????, ???????).

???????? ???????????????:

1.) ? ??????????????? ????????????????? ??????? ?????

2.) ? ??????????????? ??????????????? ???? ?????.

3.) ????????? ??????????????? ?????? ??????????? ??????? ???????.

4.) ????? ???????? ????? ? ??????????????? ????? 180°.

5.) ??? ??????? ??????????????? ??????????, ???????????? ???????????? ?????.

6.) ??????????? ??????? ????? ??????????????? ???????????????, ? ??????????????? - ???????????.

7.) ????? ????????? ?????????? ????? ????? ????????? ???? ??????.

???????? ???????????????:

1.) ???? ? ???????????????? ??? ??????? ????? ? ???????????, ?? ???? ??????????????? - ??????????????.

2.) ???? ? ???????????????? ??????????????? ??????? ??????? ?????, ?? ???? ??????????????? - ??????????????.

3.) ???? ? ???????????????? ????????? ???????????? ? ?????? ??????????? ??????? ???????, ?? ???? ??????????????? - ??????????????.

4.) ???? ????? ???????? ????? ? ???????????????? ????? 180°, ???? ??????????????? - ??????????????.

5.) ???? ??????????????? ???? ? ???????????????? ?????, ?? ???? ??????????????? - ??????????????.

???????? ?????:

1.) ??? ???????? ???????????????.

2.) ????????? ????? ??????? ??????????????? ? ????? ???? ???????.

??????? ?????:

1.) ???? ? ??????????????? ????????? ??????? ??????????????? ? ????? ???? ???????, ?? ???? ?????????????? - ????.

???????? ??????????????:

1.) ??? ???????? ???????????????.

2.) ????????? ?????????????? ?????

??????? ??????????????:

1.) ???? ? ??????????????? ????????? ?????, ?? ???? ?????????????? - ?????????????.

???????? ????????:

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Δ?OA = ΔCOD

ΔABD = ΔACD

ΔABC = ΔBCD

Δ?AH = ΔCKD

ΔACK = ΔHBD

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