Введение в Комбинаторику

<Число, место и комбинация - три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи>

Дж. Сильвестр

На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными свойствами, располагать элементы одного или нескольких множеств в определенном порядке и т. д. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют "комбинаторные задачи".

Комбинаторика занимается различного рода соединениями, которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества. Термин "комбинаторика" происходит от латинского combina - сочетать, соединять.

Комбинаторикой называется раздел математики, изучающей вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Наиболее широкое применение комбинаторные задачи находят при решении задач теории вероятностей. Как при решении задач с использованием классического определения вероятности, так и в других ситуациях нам понадобятся некоторые формулы комбинаторики.

В ходе изучения темы <Комбинаторика> студент должен:

1.         знать основные понятия комбинаторики, такие как: правило сложения, правило умножения, размещения, сочетания, перестановки.

2.                  уметь решать задачи типа:

1.   Имеется 6 видов конвертов без марок и 3 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?
2.   Из 7 человек надо выбрать 5 человек и разместить их на пяти занумерованных стульях (по 1 человеку на стуле). Сколькими способами это можно сделать?
3.   Для участия в первенстве университета по легкой атлетике необходимо составить команду из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать, если имеется 7 бегунов?
4.   Сколькими способами можно разместить на странице 5 различных заметок?

Примерный вариант решения задач.

1.                  Имеется 6 видов конвертов без марок и 3 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

Решение: конверт можно выбрать шестью способами, марку - тремя, с каждым из шести способов выбора конверта может совпасть любой из трех способов выбора марки. Тогда, согласно правилу умножения, имеем  способов.

Ответ. 18.

2.                  Из 7 человек надо выбрать 5 человек и разместить их на пяти занумерованных стульях (по 1 человеку на стуле). Сколькими способами это можно сделать?

Решение: т.к. имеются 7 человек, а в выборе участвуют 5 (т.е. часть элементов), то это либо размещения, либо сочетания. Рассуждаем далее, имеет ли значение порядок следования элементов? Безусловно, т.к. стулья пронумерованы, и способы, когда человека <X> посадили на стул № 1 и на стул № 2 и т.д. считаются различными. Следовательно, речь идет о размещениях. Воспользуемся формулой размещений: , учитывая наши данные получаем .

Ответ. 2520 способов.

3.                  Для участия в первенстве университета по легкой атлетике необходимо составить команду из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать, если имеется 7 бегунов?

Решение: т.к. имеются 7 человек, а в выборе участвуют 5 (т.е. часть элементов), то это либо размещения, либо сочетания. Рассуждаем далее, имеет ли значение порядок следования элементов? В данном случае неважно назовут студента <X> первым по списку, вторым или пятым, важно, что он составе команды. Следовательно, речь идет о сочетаниях. Применим формулу сочетаний: . Получаем, .

Ответ. 21 способом можно составить команду.

4.   Сколькими способами можно разместить на странице 5 различных заметок?

Решение: т.к. имеются 5 заметок, и все они участвуют в выборе, то это перестановки. Применим формулу перестановок: Pn=n!, получаем, P5= 5! = 120.

Ответ. Существуют 120 способов разместить имеющиеся заметки.

Глоссарий по теме <КОМБИНАТОРИКА>

Комбинаторика - комбинаторикой называется раздел математики, изучающей вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Перестановки - перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n. Вычисляются по формулам:

Перестановки без повторений: Pn=n!

Перестановки с повторениями: .

Правило сложения - Если выбор каждого из объектов аi (i = 1, 2,:, k) можно выполнить ni способами, то выбор <или ai, или a2,:, или ak> можно произвести  способами.

Правило умножения - Если выбор каждого из k объектов ai (i = 1, 2, ..., k) можно осуществить ni  способами, то выбор <и a1, и a2,:, и ak> можно произвести  способами.

Размещения - размещениями из n различных элементов по k элементов (0£ k £ n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по k элементов. Вычисляются по формулам:

Размещения без повторений: .

Размещения с повторениями:

Сочетания - сочетаниями из n элементов по k (0 £ k £ n) элементов называется любое подмножество, которое содержит k различных элементов данного множества. Вычисляются по формулам:

Сочетания без повторений: .

Сочетания с повторениями: .

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

  1. Сколькими способами можно расположить 7 статей на одной странице журнала?
  2. Для освещения событий в одной из стран ближнего зарубежья решено отправить трех корреспондентов газеты. Сколькими способами это можно сделать, если в штате 32 сотрудника?
  3. Сколько существует различных вариантов трудоустройства для 4-ых журналистов, если они будут устраиваться на работу в две редакции, при условии, что в каждую редакцию может устроиться только один журналист.
  4. Журналист получил задание: написать репортаж с места события - горячей точки. Есть несколько вариантов добраться до места назначения: на машине, на поезде, на самолете. Причем, существует один авиамаршрут, три железнодорожных и пять на машине. Найти общее число способов, которыми можно добраться до места назначения.
  5. В коробке лежат пять номеров журналов. Наудачу по одному извлекают все журналы. Найти вероятность того, что номера извлекаемых журналов появятся в возрастающем порядке.
  6. В финале конкурса <Студент года> принимают участие 6 человек. Сколькими способами могут распределиться три призовых места? Сколькими способами может быть определен победитель конкурса?

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ПО ТЕМЕ <КОМБИНАТОРИКА>

1.      Что называется комбинаторикой?

2.      Правило сложения.

3.      Правило умножения.

4.      Размещения.

5.      Перестановки.

6.      Сочетания.

7.      Схема решения комбинаторных задач.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.                  Грес П.В. Математика для гуманитариев: Уч. пособие / П.В. Грес. - М.: Юрайт, 2000. - 112 с.

2.                  Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Учеб. для студ. Высш. учеб. заведений. - М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 2002. - 400 с.: ил.

3.                  Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Айрис-пресс, 2004. - 256 с. - (Высшее образование).

4.                  Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Уч. пособие / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк., 2002. - 405 с.

5.                  Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / В.Е. Гмурман - М.: Высш. шк., 2003. - 497 с.

6.                  Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - 6-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. - 576 с.

7.                  Курс математики (для гуманитарных специальностей вузов): Учебно-методическое пособие / ЧГАКИ. - Челябинск, 200. - 45 с.

 
Адрес страницы на сайте :
http://redpencil.ru/obschie-voprosi-po-algebre/vvedenie-v-kombinatoriku.html

© RedPencil, 2018