Основы теории вероятностей

<Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания: Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей>.

П. Лаплас

Теорию вероятностей можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Методы теории вероятностей широко применяются при математической обработке результатов измерений, а также во многих задачах экономики, статистики, страхового дела, массового обслуживания.

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Б. Паскаль, П. Ферма, X. Гюйгенс). Следующий этап развития связан с именем Я. Бернулли. Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана А. Муавру, П. Лапласу, К. Гауссу, С. Пуассону и др. Наиболее плодотворный период связан с именами П.Л. Чебышева и его учеников A.A. Маркова и А.М. Ляпунова, последующее развитие - с именами С.Н. Бернштейна, А.Я. Хинчина, А.Н. Колмогорова, В.И. Романовского, Н.И. Смирнова, Б.В. Гнеденко и др.

            В ходе изучения темы <Основы теории вероятностей> студент должен:

1.         знать основные понятия теории вероятностей, такие как: испытание, событие, виды событий (достоверное, невозможное, случайное), события совместимые и несовместимые, противоположные события, алгебра событий (сумма, произведение событий), полная группа событий, благоприятствующее событие, понятие зависимых и независимых событий, определения вероятности события, понятие условной вероятности, значения вероятности события, теорема сложения вероятностей несовместимых событий, теорема сложения вероятностей совместимых событий, теоремы умножения вероятностей (произведение двух зависимых и произведение двух независимых событий), формула полной вероятности, формула Байеса.

2.         уметь определять вид событий;  доказывать и объяснять некоторые свойства операций над событиями и вероятностями событий, иллюстрировать эти свойства примерами; вычислять вероятность события с применением классического и статистического определения вероятности событий; выполнять алгебраические операции (сложение, произведение) над событиями и вероятностями событий; решать задачи типа:

1.                  Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что:
а) герб выпадет хотя бы один раз?                                   б) герб выпадет два раза?

2.                  Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие А)?

3.                  Бросаются одновременно два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков будет равна 12?

4.                  В ящике лежат 6 красных и 6 синих шаров. Наудачу вынимают 8 шаров. Определите вероятность события А - все выбранные шары красные.

5.                  Два телевизионщика делают сюжет на одну и ту же тему. Вероятность того, что сюжет 1-го телевизионщика попадет в эфир (событие А) составляет 0,4, а 2-го (событие В) - 0,7. Оба журналиста работают одновременно для одной и той же передачи. Какова вероятность того, что в эфир пройдет сюжет хотя бы одного из них (событие С)?

6.                  В папку положили 7 аналитических статей и 4 очерка. Редактор вынимает один материал и, не возвращая его обратно в папку, вынимает второй. Какова вероятность того, что оба вынутых материала окажутся очерком?

Примерный вариант решения задач.

1.                  Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что:
а) герб выпадет хотя бы один раз?                          б)
 герб выпадет два раза?

Решение: а) Пусть А - событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания герб выпал хотя бы один раз.
Равновозможными элементарными исходами здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР, т.е. n = 4. Событию А благоприятствуют исходы: ГГ, ГР, РГ, т.е. m = 3.
Следовательно, Р(А) = m/= 3/4.
б) Пусть В - событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания герб выпал два раза.
Событию В благоприятствует один исход: ГГ, т.е. = 1.
Следовательно, Р(В) = m/= 1/4.

2.                  Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие А)?

Решение: Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары (x, y), где x и y принимают значения: 1,2,3,4,5,6. Таким образом, общее число элементарных исходов равно = 6 ? 6 = 36.
Событию А благоприятствуют пары (1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1), число которых равно m = 5.
Следовательно, Р(А) = m/= 5/36.

3.                  Бросаются одновременно два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков будет равна 12?

Решение: Классическое определение вероятности события: Р(А) = , где m - общее число элементарных событий, n - число элементарных событий, благоприятствующих событию А.
Чтобы сумма выпавших очков была равна 12, должны произойти одновременно два события: В - на первом кубике выпадет <6>, С - на втором кубике выпадет тоже <6>. Причем, события В и С независимые. Тогда Р(В) =  и Р(С) = , т.к. m = 6 (может выпасть грань с цифрами: 1, 2, 3, 4, 5, 6), n= 1 (т.к. цифра 6 может вапасть только один раз).
Рассмотрим событие D, состоящее в том, что одновременно произошли и событие В, и событие С, т.е. D = В × С. Учитывая, что события В и С независимые, получаем
Р(D) = P(B × C) = P(B) × Р(С) =  ×  = .

4.                  В ящике лежат 6 красных и 6 синих шаров. Наудачу вынимают 8 шаров. Определите вероятность события А - все выбранные шары красные.

Решение: Р(А) = 0, т.к. это событие А - невозможное.

5.                  Два телевизионщика делают сюжет на одну и ту же тему. Вероятность того, что сюжет 1-го телевизионщика попадет в эфир (событие А) составляет 0,4, а 2-го (событие В) - 0,7. Оба журналиста работают одновременно для одной и той же передачи. Какова вероятность того, что в эфир пройдет сюжет хотя бы одного из них (событие С)?

Решение: Событие С=А+В, тогда Р(С)=Р(А+В). Учитывая, что события А и В совместимые (т.к. в эфире могут показать только один сюжет на одну и ту же тему) и независимые, то Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
Продолжая рассуждать, замечаем, что события А и В независимые, значит
Р(С) = Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ) = Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(В) = 0,4+0,7-0,4*0,7=0,82.

6.                  В папку положили 7 аналитических статей и 4 очерка. Редактор вынимает один материал и, не возвращая его обратно в папку, вынимает второй. Какова вероятность того, что оба вынутых материала окажутся очерком?

Решение: Классическое определение вероятности события: Р(А) = , где m - общее число элементарных событий, n - число элементарных событий, благоприятствующих событию А.
Пусть В - событие, состоящее в том, что очерк достали в первый раз. Учитывая, что Р(В) =  и что в нашем случае m = 7+4 =11, n = 4, получаем Р(В) =  = .
Пусть С - событие, состоящее в том, что очерк достали во второй раз (при условии, что и в первый раз достали очерк). Вычислим вероятность события С. РВ(С) = , где m = 11 - 1 = 10, т.к. один материал достали раньше, n = 4 - 1 = 3, т.к. один очерк достали в первый раз. Таким образом, РВ(С) =  = .
Пусть D - событие, состоящее в том, что очерк достали оба раза. Тогда D = B × C.
Учитывая, что события B и C зависимые, получаем:
Р(D) = P(B × C) = P(B) × РВ(С) =  ×  = .

Глоссарий по теме <ОСНОВЫ ТеориИ вероятностей>

Вероятность события - вероятность события А - число Р(А), характеризующее возможность появления этого события.

Достоверное событие - событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом.

Зависимые события - два события называются зависимыми, если вероятность появления каждого из них зависит от того, появилось другое событие или нет.

Испытание - опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытанием.

Классическое определение вероятности - вероятностью Р(А) события А называется отношение / n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е. Р(А) = m /n.

Невозможное событие - событие называется невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Независимые события - два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет.

Несовместимые события - два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Полная группа событий - совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Произведение событий - произведением событий А и В называется событие С = AB, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.

Противоположные события - два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.

Случайное событие - событие называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Событие - результат (исход) испытания называется событием.

Событие А благоприятствующее событию В - событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Совместимые события - два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Сумма событий - суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.

Статистическое определение вероятности - вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

Теория вероятностей - теорию вероятностей можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным явлениям.

Условная вероятность - условной вероятностью РА(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.

Элементарное событие - события U1U2, ..., Un, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.  Игральная кость подбрасывается три раза. Какова вероятность того, что:
а) шестерка не появится ни разу;   б) шестерка появится хотя бы 
1раз?

2.  Из 40 экзаменационных вопросов студент выучил 30. Какова вероятность того, что он ответит:
а) на три заданных вопроса;                       б) на 2 из 3
заданных вопросов?

3.  Из урны с 5 белыми и 7 черными шарами наугад берут 4 шара. Найти вероятности событий:
а) взято 2 белых шара;                     б) взято белых шаров больше, чем черных.

4.  Из колоды в 36 карт наугад берут 4 карты. Найти вероятности следующих событий: а) все карты имеют одну масть;   б) все карты красные;          в) все карты - тузы.

5.  В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки наудачу батарейки окажутся новыми?

6.   Из урны с 8 белыми и 4 черными шарами последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность вынуть три белых шара?

7.   В первой урне 4 белых и 6 синих шаров, во второй 5 белых и 3 синих. Наугад из каждой урны берут по 2 шара. Найти вероятности событий:
а) все шары белые;               б) все шары одного цвета;              в) два шара белые.

8.   Двое поочередно подбрасывают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет герб. Какова вероятность выигрыша для каждого из игроков?

9.   Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Сколько независимых выстрелов необходимо назначить, чтобы вероятность поражения мишени была больше:
а) 0,95;                       б) 0,99;                       в) 0,999?

      10. Вероятность поражения цели первым стрелком (событие А) равна 0,9, а вероятность поражения цели вторым стрелком (событие В) равна 0,8 Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком? (решить задачу двумя способами)

Решение.
1 способ.        Пусть С - событие, заключающееся в том, что в результате испытания цель будет поражена хотя бы одним из стрелков, т.е. произошло или событие А, или событие В, т.е. С = А + В.
События А и В совместимы и независимы. Поэтому Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
Р(С) = 0,9 + 0,8 - 0,9 ?0,8 = 0,98.
2 способ.        Пусть С - событие, заключающееся в том, что в результате испытания цель будет поражена хотя бы одним из стрелков, тогда противоположное событие 
ØС - оба стрелка промахнулись. Тогда ØС = ØА ? ØВ . Т.к. события ØА и ØВ независимые (при стрельбе один стрелок не мешает другому), то
Р(
ØС) = Р(ØА) ? Р(ØВ) = [1 - Р(А)]?[1 - Р(В)] = (1 - 0,9) ? (1 - 0,8) = 0,02.
Тогда Р(С) = 1 - Р(
ØС) = 1 - 0,02 = 0,98.

11. В урне 10 шаров. Вероятность того, что 2 извлеченных шара окажутся белыми, равна 2/15. Сколько в урне белых шаров?

12. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,002. Проверяется книга, содержащая 500 страниц. Найдите вероятность того, что с опечатками окажутся 5 страниц.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ПО ТЕМЕ <ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ>

  1. Что включает в себя понятие <теория вероятностей>?
  2. Что является задачей теории вероятностей?
  3. Что включает в себя понятие <испытание>?
  4. Что называется событием?
  5. Как обозначаются события?
  6. Какое событие называется достоверным? невозможным? случайным?
  7. Дайте определение событий совместимых и несовместимых.
  8. Какие события называются противоположными? Как обозначаются противо-положные события?
  9. Что называется суммой событий?
  10. Что называется произведением событий?
  11. Поясните следующее понятие <полная группа событий>.
  12. Дайте понятие <благоприятствующее событие>.
  13. Что называется вероятностью события?
  14. Классическое определение вероятности.
  15. Какие значения может принимать вероятность события?
  16. Статистическое определение вероятности.
  17. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий.
  18. Теорема сложения вероятностей совместимых событий.
  19. Понятие зависимых и независимых событий.
  20. Понятие условной вероятности.
  21. Теорема умножения вероятностей (произведение двух зависимых событий).
  22. Теорема умножения вероятностей (произведение двух независимых событий).
  23. Формула полной вероятности.
  24. Формула Байеса.

25. Выполните решение задач:

1.                  Приведите пример достоверного, невозможного и случайного событий.

2.                  При подготовке к экзамену студенту необходимо выучить 50 вопросов. Он выучил 40. Какова вероятность,
а) что ему достанется вопрос, который он выучил?
б) что он ответит на все три вопроса, содержащиеся в билете?
в) что он ответит на два из трех заданных вопросов?

3.                  Марина Зайцева послала на радиостанцию 4 письма. Всего на радиостанции в этот день было получено 40 писем. Все они хранятся в папке ведущего. Он наугад достает одно письмо, чтобы зачитать его в эфире. Какова вероятность, что он достанет письмо Марины?

4.                  Из типографии перевозили упаковку газет. В ней содержалось 50 газет, 10 из которых бракованные. По случайности была утеряна одна газета. Найти вероятность того, что это была: а) стандартная газета; б) газета с браком.

5.                  На столе у преподавателя лежат 8 <трудных> и 6 <легких> билетов. Во время экзамена студент берет один билет и, не возвращая его на место, сразу просит еще один. Какова вероятность, что оба вынутых билета <трудные>?

6.                  В последнее время стало очень модно проводить спортивные соревнования между СМИ. Именно сейчас идет баскетбольный матч между журналистами ЧГТРК и <ВЭ>. Осталось 15 секунд до конца игры. Какова вероятность, что счет игры изменится, если вероятность попадания ЧГТРК - 0,5, а <ВЭ> - 0,6?

26. Ответьте на вопросы

1. Может ли событие быть одновременно и невозможным и достоверным?
2. Входит ли в понятие суммы событий (А + В) событие, состоящее в одновременном наступлении события А и события В?
3. Приведите пример полной группы событий для выбранного Вами испытания.
4. Исходя из формулы определения вероятности, объясните, почему значение вероятности находится в пределах от 0 до 1.
5. Часто ли случается, что наступление какого-либо события зависит от ряда причин? Приведите пример.
6. С помощью какой формулы можно выяснить наиболее вероятную причину уже наступившего события?

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

  1. Из урны с 7 красными и 3 синими шарами берут наугад 5 шаров. Какова вероятность того, что все взятые шары окажутся красными?
  2. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не превзойдет 6.
  3. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что 2 очка не выпадут ни на одной кости.
  4. В урне лежит 8 занумерованных шаров. Наугад берут 4 шара. Найти вероятность того, что среди взятых шаров 3 будут иметь четные номера.
  5. колода из 36 карт раскладывается случайным образом на две части поровну. Какова вероятность того, что все тузы будут в одной части?
  6. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры. Помня лишь, что все цифры различны, он набирает их наугад. Какова вероятность того, что будут набраны нужные цифры?
  7. Имеются 4 ящика, в которые наугад бросают шарики. Всего шариков 4. Какова вероятность того, что все шарики окажутся в одном ящике?
  8. 6 студентов условились ехать в одном электропоезде, но не договорились о вагоне. Какова вероятность того, что все поедут в одном вагоне, если в поезде 10 вагонов?
  9. Телефонный номер содержит 5 цифр. Какова вероятность того, что все цифры различны?
  10. В ящике лежат 16 лампочек, из которых 6 перегоревших. Наугад берут 4 лампочки. Какова вероятность того, что взятые лампы окажутся хорошими?
  11. Из урны, содержащей 4 синих, 3 красных и 2 зеленых шара, наугад выбирают 2 шара. Какова вероятность выбрать 2 шара одного цвета?
  12. Из партии в 60 деталей, содержащей 5 % брака, наугад выбирают 3 детали. Какова вероятность того, что в выборку попадет не более одной бракованной детали?
  13. Из колоды в 32 карты наугад берут 3 карты. Какова вероятность того, что не менее двух карт будут иметь одну масть?
  14. В партии 30 деталей, из них 5 нестандартных. Наугад взято 4 детали. Какова вероятность того, что среди взятых деталей более двух стандартных?
  15. Из колоды в 52 карты наугад берут 4 карты. Какова вероятность того, что среди взятых карт не меньше двух тузов?
  16. В лотерее 30 билетов, из которых 5 выигрышных. Какова вероятность получить более одного выигрышного билета, взяв наудачу 4 билета?
  17. Из урны с 4 белыми, 2 синими и 5 черными шарами берут наугад 4 шара. Какова вероятность того, что взятых больше половины шаров окажутся черными?
  18. Из урны, содержащей 6 белых и 6 черных шаров, наугад берут 4 шара. Какова вероятность того, что белых шаров окажется больше, чем черных?
  19. Из партии в 100 деталей, содержащей 5 % брака, берут для проверки 5 деталей. Партия принимается, если среди проверяемых не более одной бракованной детали. Найти вероятность приема партии.
  20. Из ящика, в котором лежат 3 красных, 5 зеленых и 5 синих шаров, наугад берут 3 шара. Какова вероятность того, что выбранные шары не будут одного цвета?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.                  Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Математика: Пути знакомства. Основные понятия. Методы. Модели. (Гуманитариям о математике): Учебник. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 272 с.

2.                  Грес П.В. Математика для гуманитариев: Уч. пособие / П.В. Грес. - М.: Юрайт, 2000. - 112 с.

3.                  Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Учеб. для студ. Высш. учеб. заведений. - М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 2002. - 400 с.: ил.

4.                  Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Айрис-пресс, 2004. - 256 с. - (Высшее образование).

5.                  Болтянский В.Г., Савин А.П. Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты. - М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. - 368 с.

6.                  Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Уч. пособие / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк., 2002. - 405 с.

7.                  Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / В.Е. Гмурман - М.: Высш. шк., 2003. - 497 с.

8.                  Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - 6-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. - 576 с.

9.                  Курс математики (для гуманитарных специальностей вузов): Учебно-методическое пособие / ЧГАКИ. - челябинск, 200. - 45 с.

 
Адрес страницы на сайте :
http://redpencil.ru/obschie-voprosi-po-algebre/osnovi-teorii-veroyatnostey.html

© RedPencil, 2018