Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс

Печать
(23 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Чтобы доказать эти формулы достаточно представить  в виде  и применить последовательно формулы приведения для углов  и  .

 

Формулы приведения для синуса и косинуса угла  следуют из того, что при изменении угла на целое число оборотов значение синуса и косинуса не изменяются.

 

Формулы приведения для тангенса и котангенса можно получить с помощью формул приведения для синуса и косинуса.

 

Из всех вышеприведенных формул, можно вывести общее правило для формул приведения:

1)        Если к аргументу тригонометрической функции прибавляется число, равное , то функция меняется на ко-функцию (например, синус на косинус).

2)        Если к аргументу тригонометрической функции прибавляется число, равное , то функция остается неизменной.

3)        Знак определяется исходной функцией при условии, что изначальный аргумент принадлежит первой четверти.

17) Тригонометрические функции суммы и разности углов

Выведем формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

Провернем радиус ОА равный R, около точки О на угол  и на угол  получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов  и . Пусть координаты точки В равны  и , координаты точки С - и . Эти же координаты имеют соответственно векторы  и . По определению скалярного произведения векторов: .

Выразим скалярное произведение векторов  и  через тригонометрические функции углов. Из определения косинуса и синуса следует, что , , , . Подставив значения  в , получим, что

С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов, имеем:

Угол ВОС между векторами  и  может быть равен , , либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев поэтому  В этом случае имеем, что

Эта формула называется формулой косинуса разности. С помощью этой формулы легко получить формулу косинуса суммы:

 

Формулы синуса суммы и синуса разности

 

18) Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму

Чтобы определить понятия тригонометрических функций, рассматривают круг (тригонометрический круг) с центром, расположенным в начале координат, и радиусом, равным единице.

Для любого действительного числа  можно провести радиус ON этого круга, образующий с осью Ox угол, радианная мера которого равна числу  (положительной направление - против хода часовой стрелки).

 

Число, равное ординате (Oy) конца единичного радиуса, соответствующего углу , называется синусом угла  и обозначается .

Число, равное абсциссе (Ox) конца единичного радиуса, соответствующего углу , называется косинусом угла  и обозначается .

 

Запишем выражения для синусов суммы и разности

Складывая почленно эти тождества и разделив на 2, получим, что

Далее выпишем выражения косинусов суммы и разности

Из них аналогично получим

19) Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение

Запишем формулу произведения синусов:

Введем новые углы: ,, тогда , .

Подставив эти выражения для углов вместо x и y, получим, что:

Аналогично доказываются и все остальные формулы разности и суммы синуса, косинуса.

Таким образом, для любых двух углов  и  верны следующие равенства:

 

Формулы для тангенсов и котангенсов:

при  и ,

Аналогично доказываются и все остальные формулы разности и суммы тангенса, котангенса. Таким образом, для любых двух углов  и  верны следующие равенства:

 при  и ,

,  при  и ,

, и   при  и ,

 

Существуют дополнительные формулы:

,

,

Преобразование выражения  с помощью введения вспомогательного аргумента

Предполагая, что числа a и b не равны нулю одновременно, перепишем рассматриваемое выражение в виде:

Поскольку выполнено очевидное тождество , то существует угол  такой, что  и .

В качестве угла , например, можно выбрать угол:

Следовательно, , где . Итак можно утверждать, что при a и b не равных нулю одновременно, справедливо равенство

20) Производная

Её геометрический и физический смысл. Производные элементарных функций

Рассмотрим функцию , определенную на некотором интервале . Пусть  - произвольная точка, принадлежащая интервалу .

Разность , где  - также точка, принадлежащая интервалу  - называется приращением аргумента в точке . Разность  называется приращением функции  в точке , соответствующим приращению , обозначается как .

Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращении аргумента к нулю, если такой предел существует и конечен, то есть .

 



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Введение в Комбинаторику