Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс

Печать
(23 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Производные элементарных функций




 

Доказательство.

2)   =>

Действия с функциями (основные свойства производных)

Если в точке  существуют производные функций  и , то в этой точке существуют также следующие производные:

 при

, где

 

Доказательство.

Пусть , тогда

Разделим на , тогда

В силу дифференцируемости функций  и  существует предел правой части последнего равенства при  и он равен  => , но  =>

 

Геометрический смысл производной

Пусть имеется график некоторой функции  в декартовой системе координат. Зафиксируем некоторую точку графика . Пусть точка P кривой имеет координаты .

Таким образом, отрезок MP представляет собой некоторой секущую данной кривой, угол наклона которой к положительному направлению оси Ox обозначим .

Тогда, в силу того, что положение точки P зависит от  и она является, по сути, переменной точкой на кривой, то и величина угла  будет зависеть от , иначе .

Определим касательную к некоторой кривой в точке  как предельной положение секущей MP. Тогда для существования касательной в этой точке достаточно, чтобы существовал , где  - угол наклона касательной к оси Ox.

DMNP:  =>

Учитывая непрерывность арктангенса, получаем, что. Если производная данной функции здесь существует, то существует и предел отношения её приращения в рассматриваемой точке к приращению аргумента, и он равен значению производной в этой точке:

Таким образом,  => , то есть если функция  имеет в данной точке  производную, то существует касательная к графику этой функции в точке , причем угловой коэффициент этой касательной равен значению производной в этой точке.

 

Механический смысл производной

Из курса физики известно, что среднюю скорость движения материальной точки можно вычислить по формуле:

, где S - перемещение точки, Dt - исследуемый момент времени.

Тогда мгновенную скорость точки в данный момент времени можно вычислить как предел отношения изменения перемещения к некоторому малому промежутку времени. Таким образом, мгновенная скорость материальной точки в некоторый момент времени есть значение производной функции перемещения в этот момент времени:

 

Теорема. Производная сложной функции. Если функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке , то сложная функция  также имеет производную в точке , причем .

Например,



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Введение в Комбинаторику