Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс

Печать
(23 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
21) Касательная к графику функции

Через точку графика функции и через произвольную точку плоскости

Касательной к графику функции  в точке  называется предельное положение секущей  (если оно существует и единственно), когда точка  стремится к точке .

Касательной к графику дифференцируемой в точке  функции , называется прямая, проходящая через точку  и имеющая угловой коэффициент .

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке  равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной в этой точке.

 

Уравнение касательной

Для вывода уравнения касательной запишем уравнение секущей, проходящей через точки  и :

Если в точке  существует производная , то при стремлении точки  к точке  (при ) уравнение секущей в пределе станет уравнением касательной:

В тех точках области определения функции, в которых производная не существует, нельзя провести касательную. Верно и обратное утверждение. Например, функция  не имеет касательной в точке . Эта функция служит примером того, что непрерывность функции во всех точках области определения не является достаточным условием существования производной во всех точках этой области.

 

Пример. Чтобы найти уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку , нужно найти производную искомой функции - , затем, подставляя координаты точки  в уравнение касательной, получим, что:

, где  - точка касания.

Подставим полученной значение  в уравнение касательной:

22) Первообразная

Неопределенный интеграл и его свойства. Первообразные элементарных функций

Если в дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции  найти её производную (или дифференциал), то интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию , зная её производную  (или дифференциал). Искомую функцию  называют первообразной функции .

Функция  называется первообразной функции  на интервале , если для любого  выполняется равенство  или .

 

Теорема. Если функция  является первообразной функции  на интервале , то множество всех первообразных для  задается формулой , где , причем других первообразных не будет.

Доказательство. Функция  является первообразной : , то есть  - первообразная .

Пусть - некоторая другая, отличная от , первообразная функции , то есть  =>

 =>

, где  =>

 => других первообразных для , отличных от , не существует.

 

Совокупность всех первообразных функции  - неопределённый интеграл этой функции.  - неопределенный интеграл с подынтегральной функцией  и переменной интегрирования .

Таким образом, по определению .

Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции  называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию.

 

Свойства неопределённого интеграла

1)     

2)     

3)     

4)      , где

5)     

Первообразные элементарных функций


1)     

2)     

3)     

4)     

5)     

6)     

7)     

8)     

9)     

10) 

11) 


12)

13) 

14) 

15) 

16) 

17) 

18) 

19) 

20) 


 

Доказательство.

1) Поскольку  =>  =>  =>

23) Определенный интеграл

Его свойства. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция  определена на отрезке .

1) С помощью точек  таких, что , разобьем отрезок  на n частичных отрезков

2) В каждом частичном отрезке  выберем произвольную точку  и вычислим значение функции в ней, то есть величину .

3) Умножим найденной значение функции  на длину  соответствующего частичного отрезка - .

4) Составим сумму  всех таких произведений - . Сумма такого вида называется интегральной суммой функции  на отрезке .

5) Бесконечно уменьшающееся значение  называют дифференциалом аргумента , а предел интегральной суммы при  называют определенным интегралом  от функции  на отрезке

 



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Введение в Комбинаторику