Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс

Печать
(23 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Свойства определённого интеграла

1)     

2)     

3)     

4)     

5)       (если  и  - непрерывная)

6)      Если  - непрерывная, , , то

Если  - непрерывная, , , то

7) Если  - чётная, непрерывная, то

8)      Если  - нечётная, непрерывная, то

9)      Если  и  - непрерывные, , , то .

10)  Если  - периодическая функция с периодом T, то .

 

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция  интегрируема на отрезке .

Теорема. Если функция  непрерывна на отрезке  и  - какая-либо её первообразная на отрезке , то имеет место формула .

Доказательство. С помощью точек  таких, что , разобьем отрезок  на n частичных отрезков .

Рассмотрим тождество :

Преобразуем каждую разность скобках по формуле Лагранжа : Получим, что ,

то есть , где .

Если функция  непрерывна на отрезке , то при  величина интегральной суммы стремится к некоторому числу, которое и считают (по определению) равным площади криволинейной трапеции, то .

Равенство  называется формулой Ньютона-Лейбница.

24) Комплексные числа

Определение, геометрический смысл. Арифметические операции, алгебраическая форма представления

Комплексным числом Z называется выражение вида , где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, такая, что . Число a называется вещественной частью комплексного числа и обозначается как , а число b - мнимой частью и обозначается как . Комплексные числа  и  называются равными, если  и .

Если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то его условились считать равным вещественному числу a. Таким образом, всякое вещественное число является частным случаем комплексного.

Запись числа  называется алгебраической формой числа.

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части. Число, сопряженное комплексному числу z, обозначают : если , то .

 

Арифметические операции

Суммой двух комплексных чисел  и  называется число

Разностью двух комплексных чисел  и  называется число

Произведением двух комплексных чисел  и  называется число .

Теорема. Частным от деления числа  на число  называется число  при  и .

Доказательство.

 

Свойства операций сложения и умножения такие же, как и для действительных чисел:

1)     

2)       

3)     

4)     

5)     

6)     

7)     

 

Теорема. Каждое отличное от нуля число z имеет обратное ему число, то есть такое число w, что .

Доказательство. Если  и , тогда  =>

Учитывая то, что это комплексное число имеем:

Изображение комплексных чисел

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат . Каждому комплексному числу  можно сопоставить точку с координатами , и наоборот, каждой точке с координатами  можно сопоставить комплексное число . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

Изобразим на комплексной плоскости числа ,

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке , а именно, комплексное число  изображается радиус-вектором точки с координатами .

Отметим, что изображением суммы двух комплексных чисел z и  является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа  и . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие.

 

Модуль и аргумент комплексного числа

Пусть комплексное число  изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа  и обозначается . Из рисунка очевидно, что .

Угол, образованный радиус-вектором числа  с осью , называется аргументом числа  и обозначается . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до  или в диапазоне от  до . Кроме того, у числа  аргумент не определен.

На рисунке  равен углу . Из того же рисунка очевидно, что .

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:  - для  и  - для



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Введение в Комбинаторику