Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс

Печать
(23 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
1) Числовая последовательность

 

Если каждому значению  ставится в соответствие по определенному закону действительное число , то множество занумерованных действительных чисел

 и будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью. При этом отдельные числа  - это элементы или члены последовательности.

Обозначение последовательности -

 

Рассмотрим ещё одну последовательность .

Назовем последовательность:

 - суммой последовательностей  и

 - разностью последовательностей  и

 - произведением последовательностей  и

 - частным последовательностей  и  (при неравенстве нулю всех членов последовательности )

 

Последовательность  называется ограниченной сверху / снизу, если существует действительное число M / m такое, что каждый элемент этой последовательности  удовлетворяют неравенству  / . Число M - верхняя грань, а число m - нижняя грань последовательности .

 

Последовательность  называется неограниченной, если для любого положительного действительного числа A (сколь бы велико они ни было) найдется хотя бы один элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству .

 

Последовательность  называется бесконечно большой, если для любого положительного действительного числа A (сколь бы велико оно ни было) найдется номер N такой, что при всех  элементы этой последовательности  удовлетворяют неравенству . Здесь .

 

Последовательность  называется бесконечно малой, если для любого положительного действительного числа  (сколь бы мало оно ни было) найдется номер N такой, что при всех  элементы этой последовательности  удовлетворяют неравенству . Здесь . Теорема. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу C, то C равно 0.

Доказательство. Пусть  - бесконечно малая последовательность. Пусть C отлично от нуля. Обозначим . Для указанного  найдется такой номер N такой, что  для всех . Но так как все элементы  равны C, то получаем , что неверно => предположение, что C отлично от нуля неверно => С = 0.

 

Последовательность  называется сходящейся, если существует такое действительное числа a, что последовательность  является бесконечно малой. При этом число a называется пределом последовательности .

Из определения следует, что любая бесконечно малая последовательность является сходящейся и пределом имеет число 0.

Обозначение предела:

 

Теорема. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим, что последовательность  имеет два предела a и b. Тогда , где  и  - бесконечно малые последовательности.

Последовательность  - бесконечно малая, а все её члены равны постоянному числу b - a. По теореме из свойств бесконечно малых последовательностей следует, что  => => сходящаяся последовательность имеет только один предел.



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Введение в Комбинаторику