Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс

Печать
(23 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Если , то комплексное число изображается вектором на оси  и его аргумент равен  или .

 

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Рассмотрим уравнение , где - вещественное положительное число. Легко проверить, что его корни , , где  - обычный арифметический корень.

Решим уравнение , где , ,  - вещественные числа, . Если дискриминант  отрицательный, то корни уравнения находятся по формулам:

, .

25) Комплексные числа, тригонометрическая форма представления

Возведение в степень и извлечение корней

Комплексным числом Z называется выражение вида , где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, такая, что . Число a называется вещественной частью комплексного числа и обозначается как , а число b - мнимой частью и обозначается как . Комплексные числа  и  называются равными, если  и .

Если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то его условились считать равным вещественному числу a. Таким образом, всякое вещественное число является частным случаем комплексного.

Запись числа  называется алгебраической формой числа.

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части. Число, сопряженное комплексному числу z, обозначают : если , то .

 

Тригонометрическая форма

Преобразуем алгебраическую форму записи в тригонометрическую:

.

Поскольку выполнено очевидное тождество , то существует угол  такой, что  и .

Следовательно, , где .

Последнее выражение называется тригонометрической формой комплексного числа. Число называется модулем, а  - аргументом комплексного числа  и обозначается как .

Любое число  может быть представлено в тригонометрической форме.

 

Действия с комплексными числами в тригонометрической форме

Произведение

Пусть , , тогда

.

Последняя запись является тригонометрической формой комплексного числа  => ,

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Деление

При делении комплексных чисел их модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются, то есть ,

 

Возведение в степень

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень , где  - натуральное число.

Пусть , тогда , то есть . Далее находим , то есть  .

Продолжая умножения дальше, придем к формуле . Эта формула называется формулой Муавра.

 

Извлечение корня из комплексного числа

Так как корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя, то мы будем говорить о решении уравнения , где  - неизвестное, а  - известное комплексное число.

Если , то . Пусть , тогда запишем число  в тригонометрической форме , где  и  - известные величины. Запишем неизвестное число  в тригонометрической форме , где  и  - неизвестны. По формуле Муавра получаем, что  => .

Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны => . В этом соотношении  и  - положительные числа => , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

Если два комплексных числа равны, то аргументы у них могут различаться только на величину, кратную  => ,  => , .

Таким образом, , .

 

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой , которая носит название формулы Эйлера.



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Введение в Комбинаторику