Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс

Печать
(23 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
2) Элементы теории чисел

Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Операции сложения и умножения, их свойства. Простые и составные числа, НОД и НОК, деление с остатком, сравнение по модулю

Натуральные числа - числа, возникающие в процессе счета, целые положительные  Натуральные числа бывают простыми и составными.

Простое натуральное число - число, делителями которого являются два числа: оно само и единица.

Составное натуральное число - число, имеющее хотя бы один делитель, отличный от единицы и самого числа.

Числа вида (-m), где m - натуральное число, называются отрицательными числами.

Множество, состоящее из всех натуральных и отрицательных чисел и нуля, называется множеством целых чисел, а сами числа называются целыми числами.

 

Для целых чисел определены операции сложения и вычитания, а также умножения. Результатом этих операций является целое число. Отдельно определяется деление, результатом которого уже не обязательно является целое число.

Разделить целое число a на натуральное число m с остатком - значит найти целые числа

q и r такие, что справедливо равенство , причем число r удовлетворяет условию . Если r = 0, то говорят, что целое число a делится нацело на натуральное число m.

 

Теорема. Пусть а - любое целое число и m - любое натуральное число. Тогда существует единственная пара целых чисел q и r, удовлетворяющая условиям  и .

Следствие 1. Любое четное число a может быть записано в виде , где q - некоторое целое число.

Следствие 2. Любое нечетное число a может быть записано в виде , где q - некоторое целое число.

Следствие 3. Любое целое число a, делящееся нацело на некоторое натуральное число k, может быть записано в виде , где q - некоторое целое число.

Следствие 4. Любое целое число a, не делящееся нацело на некоторое натурально число k, может быть записано в виде , где r - одно из чисел , а q - некоторое целое число.

 

Если каждое из чисел  делится нацело на некоторое натуральное k, то говорят, что число k является их общим делителем. Если два или несколько чисел не имеют общих делителей, отличных от единицы, то эти числа называют взаимно простыми. Так как данные числа  могут иметь лишь конечное число общих делителей, то среди их общих делителей имеется наибольший (в случае взаимно простых числе он равен единице).

Для наибольшего общего делителя (НОД) применяется обозначение: .

В общем виде процесс отыскания НОД можно описать на примере двух чисел следующим образом. Запишем разложение a и b на попарно различные простые множители:

Может случиться, что среди чисел  нет ни одного равного какому-либо из чисел . Тогда a и b - взаимно простые числа, . Если, например,

 совпадает с одним из чисел , то оба числа a и b делятся на , взятое в степени, меньшей из двух степеней, с которыми это число  входит в разложение каждого из чисел a и b. Поэтому для получения НОД чисел a и b следует:

1)      Выбрать все одинаковые простые множители, входящие в разложения a и b

2)      Каждый из них взять в степени, меньшей из двух степеней, с которыми этот множители входят в указанные разложения

3)      Взять произведение найденных таким путем общих множителей - оно и будет НОД чисел a и b.

Подобным же способом находится и НОД нескольких чисел.

 

Существует способ отыскания НОД двух чисел, известный под названием алгоритм Евклида. Он основан на следующих утверждениях:

1)      Если a и b - натуральные числа, причем , то

2)      Если a и b - натуральные числа, такие, что , то

 

Если число m является кратным для каждого из чисел  (делится на любое из этих чисел нацело), то m называется общим кратным чисел . В частности, произведение нескольких натуральных чисел всегда является их общим кратным. Среди всех общим кратных чисел  имеется наименьшее - оно и называется наименьшим общим кратным (НОК) данных чисел и обозначается так: .

Для отыскания НОК нескольких чисел следует:

1)      Выписать все простые множители, входящие в разложение хотя бы одного из этих чисел

2)      Взять каждый из этих простых множителей в наибольшей из степеней, в которых он входит в разложения данных чисел

3)      Взять произведение всех таких сомножителей - оно и будет НОК данных чисел.

 

Нетрудно заметить, что для двух взаимно простых чисел a и b:  - НОК двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел. Отметим без доказательства более общее соотношение: , - имеющее место для любых двух натуральных чисел: произведение НОК и НОК равно произведению самих чисел.

 

Рациональные числа - числа, представимые в виде , где p - целое, а q - натуральное числа.

Две равные дроби  и  (они равны, если ) являются записями одного и того же рационального числа. В десятичной системе счисления рациональные числа представляются в виде конечной или периодической десятичной дроби.

Правила действия с рациональными числами:


1)

2)


3)

4)

Иррациональные числа - числа, представимые в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

 

Множество всех бесконечных десятичных дробей (с определенными понятиям равенства, суммы и произведения этих чисел) называется множеством действительных чисел, а каждая бесконечная десятичная дробь, не оканчивающаяся бесконечной последовательностью девяток, называется действительным числом.

Для действительного положительного числа  можно определить его приближенное значение с недостатком -  и приближенное значение с избытком - .

Суммой двух действительных чисел называется число, которое больше (или равно) суммы двух любых приближенных их значений с недостатком, но меньше (или равно) суммы двух любых приближенных их значений с избытком.

Произведением двух действительных положительных чисел называется число, которое больше (или равно) произведения двух любых приближенных их значений с недостатком, но меньше (или равно) произведения двух любых приближенных их значений с избытком.

Для отрицательных чисел аналогичным образом вводятся соответствующие определения приближенных значений с избытком и недостатком, суммы и произведения.

 

Основные законы сложения и умножения действительных чисел:

1)  (коммутативность сложения)

2)  (ассоциативность сложения)

3)  (коммутативность умножения)

4)  (ассоциативность умножения)

5)  (дистрибутивность сложения)

Для сложения и умножения действительных чисел вводятся обратные действия - вычитание и деление.

Вычесть из действительного числа a действительное число b - значит найти действительное число c такое, что .

Разделить действительное число a на отличное от нуля действительное число b - значит найти действительное число d такое, что .



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Введение в Комбинаторику