Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс

Печать
(23 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по алгебре за школьосы по алгебре за школьный кный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
4) Решения квадратного уравнения

Формулы корней, разложение на линейные множители. Прямая и обратная теорема Виета

Квадратным уравнением называют уравнение , где x - неизвестное, a, b, c - действительные числа, причем a ≠ 0 (иначе уравнение было бы линейным). Число a называют коэффициентом при квадрате неизвестного, число b - коэффициентом при неизвестном, число c - свободным членом. Левая часть уравнения -  - называется квадратным трехчленом.

Неполное квадратное уравнение - уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Корень уравнения - число, при подстановке которого вместо неизвестного в уравнение получается верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение - значит найти все его действительные корни или доказать, что таких не существует.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при  равен 1, называется приведенным - .

 

Теорема. Если выполняется тождество , то квадратное уравнение  при  имеет два корня  и , а при  - лишь один корень .

Доказательство. Левая часть тождества -  - обращается в ноль при  и  и не обращается в ноль при других значениях x (так как при других значениях x оба множителя  и  отличны от нуля). Это значит, что числа  и  и только они являются корнями уравнения  или уравнения . Если , то принято говорить, что  является для уравнения  корнем второй кратности.

 

Теорема. Если квадратное уравнение  имеет корни  и , то справедливо тождество . В случае, когда уравнение имеет лишь один корень , справедливо тождество . Если уравнение не имеет корней, то квадратный трехчлен  не разлагается на множители.

Доказательство. Сначала разделим обе части уравнения  на a - от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения  выделим в левой части полный квадрат:

Обозначим выражение  через D:

Возможны три случая:

1)

 и ,

Таким образом получили формулу корней квадратного уравнения.

2)

3)

В этом случае получается, что выражение , которое не может иметь действительных корней => квадратный трехчлен  не разлагается на множители.

 

 

Прямая теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, деленному на коэффициент при .

Доказательство. , где  и  - корни квадратного уравнения .

 

Обратная теорема Виета. Если выполняются равенства  и , то числа  и являются корнями квадратного уравнения .

Доказательство. Рассмотрим квадратный трехчлен выражение . Подставим в него исходные равенства:

Отсюда следует, что  и  - корни квадратного уравнения  и  соответственно тоже.



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Введение в Комбинаторику