Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса

Печать
(73 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Условие:

AB - касательная

AD - секущая

Доказательство:

Проведём BD и ВС.

Рассмотрим Δ АВС и Δ ADB:

=>

 
   BDC=     BC /2

 

   ABC=     BC /2 (по углу между

хордой и касательной)

=>

 
   BDC=    ABC

 

   BAD - общий

Δ АВС ~ Δ ADB =>  =>

AB2=AC*AD

Если две хорды одной окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Условие:

AB и CD - хорды

E - точка их пересечения

Доказательство:

Проведём CB и AD.

   BAD=    DEB, т. к. опираются на одну дугу BD

=>

 

 

   CEB=    AED (вертикальные)

Δ АВС ~ Δ ADB => => AE*BE=DE*EC.

Если две секущие пересекаются, то произведение отрезков одной секущей от общей точки до точек пересечения с окружностью равно произведению соответствующих отрезков другой секущей.

Условие:

AC, AN - секущие

Доказательство:

Проведём касательную AK.

=>

 
AK2=AB*AC

 

AK2=AM*MN

AB*AC=AM*MN

√12. Окружность, описанная около треугольника и четырехугольника. Теорема Птолемея.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.

На стр. 171 (Следствие:) до стр. 171 (73. Теорема:)

На стр. 176 (Теорема:) до стр. 176 (2) В отличие:)

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе этого треугольника.

Условие:

Δ ВAС - прямоугольный

М - середина ВС

N - середина AB

Доказательство:

MN - средняя линия Δ АВС => NM║AC =>          NM AB => MN - серединный перпендикуляр AB

M - точка, принадлежащая серединным перпендикулярам BC и AB => это точка пересечения серединных перпендикуляров => MA=MB=MC => это центр описанной окружности.

Центр описанной окружности правильного треугольника лежит в точке пересечения его высот, медиан и биссектрис.

Серединные перпендикуляры в правильном треугольнике лежат на высотах, т. к. высота в таком треугольнике делит сторону, на которую она падает, пополам, как и серединный перпендикуляр => точка пересечения серединных перпендикуляров, т. е. центр описанной окружности лежит на пересечении высот, и, поскольку высоты совпадают с биссектрисами и медианами, то и на пересечении биссектрис и медиан.

Свойства вписанного четырёхугольника:

На стр. 176 (В любом:) до стр. 177 (Задачи:)

Признаки вписанного четырёхугольника:

На стр. 182 (729*. Докажите:) до стр. 183 (730. Через:)

Теорема Птолемея.

Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Условие:

ABCD - вписанный четырёхугольник.

Доказательство:

Пусть AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, BD=n, AC=m.

=>

 
Отметим    ABM=    BDC.

 

   BAC=   DBC, т. к. опираются на одну дугу ВС

Δ ABN ~ Δ DBC =>

   ADB=   ACB, т. к. опираются на одну дугу AB

   ABD=   ABM+   MBD=    DBC+   MBD=   MBC =>

Δ MBC ~ Δ ADB =>

ac+bd = n*MC+n+AM = n(AM+MC)=mn

mn = ac+bd.

√13. Окружность, вписанная в треугольник и четырёхугольник. Вневписанная окружность.

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность является вписанной в этот многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.

На стр. 174 (Теорема:) до стр. 175 (В любом..)

Свойства описанного четырехугольника:

На стр. 175 (В любом:) до стр. 175 (75. Описанная:)

Признаки описанного четырехугольника:

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Условие:

ABCD - выпуклый четырёхугольник

Окружность (О;r)

Суммы противоположных сторон равны.

Доказательство:

Пусть Окр (О) касается трёх сторон ABCD.

Проведём С1D1CD и С1D1 - касательная

к Окр (О).

Рассмотрим четырёхугольник ABС1D1:

Т. к. это описанный четырёхугольник, то

=>

 
AB+С1D1 = BC1+AD1

 

AB+CD=BC+AD

С1D1-CD = BC1+AD1-BC-AD = BC1+AD1-BC1-CC1-AD1-DD1

CD = C1D1+CC1 +DD1 => C1, D1CD => C=C1, D=D1  => ABCD - описанный.

Аналогично доказывается, когда СD - секущая окружности.



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Комментарии  

 
-8 # Анатолий 2010-01-12 16:01 Докажите,что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника равна 3/2 квадрата гипотенузы. Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса   Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс »