Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса

Печать
(73 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Вневписанная окружность.

Вневписанная окружность - окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Докажем, что такая существует.

Условие:

Δ ABC

AY - биссектриса

BX - биссектриса внешнего угла при вершине B.

Доказательство:

AY∩BX=O

Проведём биссектрису CZ.

Опустим высоты OK, ON и OM на AC, BC и AB соответственно.

=>  OK=ON=OM

 
OM=OK (по свойству биссектрисы AY)

 

ON=OK (по свойству биссектрисы BX)

Построим окружность с центром в точке О и радиусом ОК.

OK=ON=OM => О - равноудалена от BC и продолжений сторон AB и AC =>             Окр (О;ОК) - вневписанная.

Свойства вневписанной окружности:

1. Центр вневписанной окружности лежит на пересечение биссектрис внешних углов.

Условие:

Δ ABC

CZ - биссектриса внешнего угла при вершине С

BX - биссектриса внешнего угла при вершине B.

Доказательство:

Опустим высоты OK, ON и OM на AC, BC и AB соответственно.

=>  OK=ON=OM  =>

 
ON=OM (по свойству биссектрисы CZ)

 

ON=OK (по свойству биссектрисы BX)

Можно построить окружность с центром в точке О и радиусом ОК.

2. Если O - центр вневписанной окружности, касающейся стороны ВС, тогда точки О, В, С и Q - центр вписанной окружности в треугольнике - лежат на окружности с диаметром QO.

Условие:

Δ АВС

X

 
Окружность (О;r)

 

Окружность (Q;r1)

Y

 

Y

 

 
Доказательство:

 

Проведём биссектрисы углов В и С внешних и внутренних BW, BX, CZ, CY.

   OBQ =    ABC /2+    CBK /2 =                = 1800 /2 = 900 =>     OBQ опирается на диаметр OQ.

   OCQ =    ACB /2+    BCJ /2 = 1800 /2 = 900 =>    OCQ опирается на диаметр OQ.

=> B, C, Q, O принадлежат одной окружности.

3. Прямая, проходящая через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противолежащей стороны, делит периметр треугольника пополам.

Условие:

Δ АВС

Окружность (О;r)

X

 

 

АК - прямая.

Y

 

 
Доказательство:

 

AN=AM (отрезки касательных к одной окружности)

CK=CM (отрезки касательных к одной окружности)

BN=BK (отрезки касательных к одной окружности)

AB+BK=AB+BN=AN=AM=AC+CM=AC+CK =>

AB+BK=AC+CK => AB+BK = = p.

√14. Теорема о пропорциональных отрезках. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника. Деление отрезка на n равных частей.

Средняя линия треугольника - отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Если стороны     О пересечены параллельными прямыми АВ и СD, то ОА и АС пропорциональны ОВ и BD соответственно.

Условие:

   СОD

АВ║CD

Доказательство:

Построим AN║OD.


 
Рассмотрим Δ АOВ и Δ АСN:

 

=>

 
AN║BD =>    COD=   CAN

 

AB║CD =>    OAB=   ACN

Δ АOВ ~ Δ АСN (по двум углам) =>

ABND - параллелограмм => AN=BD =>

  

Теорема Фалеса.

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

На стр. 101 (385. Докажите:) до стр.102 (386. Докажите:)

Средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника параллельная одной из его сторон и равна половине этой стороны.

На стр. 141 (62. Средняя:) до стр. 141 (Пользуясь:)

Деление отрезка на n равных частей.

На стр. 104 (396. Разделите:) до стр. 104 (397. Постройте:)

√15. Параллелограмм, его свойства и признаки.

Параллелограмм - четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Комментарии  

 
-8 # Анатолий 2010-01-12 16:01 Докажите,что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника равна 3/2 квадрата гипотенузы. Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса   Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс »