Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса

Печать
(73 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Средняя линия в трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Условие:

ABCD - трапеция

MN - средняя линия

Доказательство:                                                                        

Проведём BNAD=C.

Рассмотрим Δ BCN и Δ NDK:

CN=ND

=>

 
   CNB=   DNK (вертикальные)

 

   BCN=   NDK (накрест лежащие при BCAD)

Δ BCN = Δ DNK => BN=NK, BC=DK как соответственные элементы равных треугольников

Т. к. AM=MB и BN=AK => MN - средняя линия Δ ABK => MNAKAD и MN=AK /2

AK=AD+DK=AD+BC =>

MN=(AD+BC) /2

√18. Синус острого угла. Синус произвольного угла. Свойства синуса произвольного угла. Теорема синусов.

Синус острого угла равен отношению перпендикуляра к наклонной.

Возьмём точку B на наклонной и опустим перпендикуляр на прямую. Мы получим, что синус угла между наклонной и прямой равен отношению этого перпендикуляра к наклонной.

Теперь докажем, то, что где бы мы не взяли точку В на наклонной, отношение перпендикуляра к наклонной будет постоянным, т. е. синус будет всегда одним и тем же.

Условие:

BC - перпендикуляр.

Доказательство:

Отметим на АВ ещё одну точку N и опустим перпендикуляр на прямую АС.

Δ ANM ~ Δ ABC по двум углам (   BAC - общий,

 ACB=   AMN=900) =>  sin BAC = sin NAM.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета и гипотенузы.

Условие:

Δ ACВ - прямоугольный.

Доказательство:

Гипотенуза - наклонная, катет - перпендикуляр. Теперь мы используем определение синуса острого угла => sin A =

 
 

sin A =

 
 

 


 Для того, чтобы мы смогли найти синус произвольного угла, нужно разобрать все случаи произвольного угла.

Сначала определим синус для тупого угла.

C

 
Считаем, что прямая k горизонтальна. Подъём точки B относительно прямой k точно так же задаётся отношением перпендикуляра ВС к наклонной АВ. Это отношение, как нам уже известно, будет синусом острого угла ВАС, смежного тупому углу BAD.

 

Поэтому для тупого угла его синус определяется как синус смежного ему острого угла.

Теперь определим синус прямого угла.

Пусть угол BAC - прямой, тогда где бы ни стояла точка В, то гипотенуза ВA всегда будет равна катету ВC => отношение =1, т. е. синус прямого угла равен 1.

 


sin 900 = 1

Определим синус развёрнутого угла.

Пусть угол BAC - развёрнутый, тогда где бы ни стояла точка В, то катет ВС всегда будет равен 0, т. к. точка В совпадает с точкой С => отношение =0, т. е. синус развёрнутого угла равен 0.

 
 
 

 


sin 1800 = 0

Свойства синуса произвольного угла:

1. Синус каждого угла не больше единицы.

Это следует из того, что перпендикуляр не больше наклонной.

2. При возрастании угла от 00 до 900 его синус возрастает от 0 до 1.

Возьмём острый угол О со сторонам v и q. Из вершины О внутрь угла проведём единичный отрезок ОА, образующий с лучом v острый угол α. Из точки А опустим перпендикуляры AK и AL на лучи p и v соответственно. Получим прямоугольник OKAL. Т. к. OA=1, то AK = sin α. А поскольку OL=AK, то OL = sin α. Итак, sin α равен длине проекции OL единичного отрезка OA на луч q.

Когда угол α возрастает от 00 до 900, отрезок ОА поворачивается вокруг точки О от положения ОA0 на луче q. Точка А пробегает четверть окружности. При этом точка L движется от точки О до точки A1. Длина отрезка OL, т. е. sin α возрастает от 0 до 1.

3. При возрастании угла от 900 до 1800 его синус убывает от 1 до 0.

Когда тупой угол возрастет от 900 до 1800, смежный ему угол убывает от 900 до 00. В таком случае по предыдущему свойству синус такого угла убывает от 1 до 0.

4. Синусы углов, имеющих равные величины, равны.

Возьмём два равных угла:    А и    М. Из некоторой точки В на стороне угла А опустим перпендикуляр ВС на другую сторону угла А. Получим прямоугольный треугольник АВС. Отложим на сторонах угла М отрезки МР=АВ и MQ=AC. Тогда по первому признаку равенства треугольников Δ ABC = Δ MPQ. Поэтому    Q=   C=900. Итак, PQ - перпендикуляр, опущенный из точки Р одной стороны угла М на другую его сторону.

sin M =

=>

 
sin A =

 

PQ=BC

PM=BA

sin M = sin A.

5. Величина острого угла определяется синусом этого угла.

Т. е. зная синус острого угла, можно найти сам угол. Это значит, что для острых углов из равенства sin α = sin β вытекает равенство α=β.

 Пусть sin α = sin β. Для углов α и β логически возможны три случая:

1. α > β, тогда sin α > sin β => случай неверен.

2. α < β, тогда sin α < sin β => случай неверен.

Остаётся только третий случай α=β.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

На стр. 242 (97. Теорема:) до стр. 242 (Теорема доказана:)

Формула радиуса описанной окружности.

Удвоенный радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла этой стороны.



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Комментарии  

 
-8 # Анатолий 2010-01-12 16:01 Докажите,что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника равна 3/2 квадрата гипотенузы. Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса   Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс »