Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса

Печать
(73 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
4.      При возрастании угла от 00 до 1800 его косинус убывает от 1 до -1.

Воспользуемся равенством sin α = cos (900 - α). Зная свойства синуса, получим, что косинус убывает от 1 до 0, когда α возрастает от 00 до 900. А затем применим второе равенство cos (1800 - α) = - cos α и получим, что косинус убывает от 0 до -1, когда α возрастает от 900 до 1800 .

5.      Косинус однозначно определяет угол.

Т. е. из равенства cos α = cos β вытекает равенство α=β.

 Пусть cos α = cos β. Для углов α и β логически возможны три случая:

1. α > β, тогда cos α < cos β => случай неверен.

2. α < β, тогда cos α > cos β => случай неверен.

Остаётся только третий случай α=β.

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Условие:

Δ ABC.

Доказательство:

Для угла С есть три возможности:

1.        С=900.

Тогда cos C=0 и доказательство сводится к теореме Пифагора.

2.        С<900.

В Δ ABC есть ещё хотя бы один острый угол. Пусть это будет угол B. Из вершины А проведём высоту AD. Т. к. углы B и С острые, точка D лежит внутри BC. Отрезок CD=b1 будет катетом в прямоугольном треугольнике ACD с гипотенузой AC=b и прилежащим острым углом C. Поэтому b1 = b*cos C.

По теореме Пифагора находим с2 из другого прямоугольного треугольника ABD с катетами AD=h и BD=a - b1 => с2 = (a - b1)+h2.

Но h2 = b2 -  из треугольника ACD. Подставив это выражение для h2 в равенство и заменив b1 по формуле b1 = b*cos C, придём к следующему равенству:

с2 = a2-2ab1++b2-= a2+b2-2ab*cos C.

3.        С>900.

Снова проведём высоту AD=h из вершины А. Теперь её основание - точка D - лежит на продолжении ВС за точкой С. Снова обозначим отрезок СD через b1. В этом случае BD=a+b1 и из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора с2 = (a + b1)+h2.

По определению косинуса тупого угла           cos C=. Поэтому b1 = - b*cos C. Наконец, из треугольника ACD снова получаем, что h2 = b2 - . Подставив выражение для h2 и для b1, т. е. b1 = b*cos C, мы придём к следующему равенству:

с2 = b2-+a2+2ab1+= a2+b2-2ab*cos C.

√20. Тангенс и котангенс острого угла. Тангенс и котангенс произвольного угла. Свойства тангенса и котангенса произвольного угла. Вывод значений тригонометрических функций для углов в 300, 450 и 600. Синус, косинус, тангенс и котангенс табличных углов от 00 до 1800.

Тангенс острого угла - отношение синуса к косинусу этого угла.

tg α =

При α=00 тангенс не определён, т. к. cos 90=0.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению катета, противолежащему этому углу, к прилежащему катету.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами BC=a и AC=b и гипотенузой АВ=c.

Получаем, что sin A =  и cos A = . Подставим:

tg A = .

Тангенс произвольного угла мы легко сможем найти, потому что знаем, как найти синус и косинус этого угла.

Свойства тангенса:

1. Тангенсы смежных углов противоположны.

tg (1800 - α) = = = - tg α.

2. При возрастании угла от 0 до 90 tg α увеличивается от 0 до ∞.

Построим Δ ABC такой, что катет АС=1, а    А=α.

BC = AC*tg α = tg α.

Когда катет ВС возрастает от 0 до ∞, то тангенс

острого угла аналогично возрастает от 0 до ∞.

3. При возрастании угла от 900 до 1800 тангенс уменьшается от 0 до -∞.

Поскольку угол смежный с этим углом будет возрастать от 0 до ∞ (по предыдущему свойству), то сам угол будет убывать от 0 до -∞, по первому свойству.

4. Значение тангенса острого угла определяет угол.

Т. е. зная тангенс острого угла, можно найти сам угол. Это значит, что для острых углов из равенства tg α = tg β вытекает равенство α=β.

 Пусть tg α = tg β. Для углов α и β логически возможны три случая:

1. α > β, тогда tg α > tg β => случай неверен.

2. α < β, тогда tg α < tg β => случай неверен.

Остаётся только третий случай α=β.



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Комментарии  

 
-8 # Анатолий 2010-01-12 16:01 Докажите,что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника равна 3/2 квадрата гипотенузы. Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса   Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс »