Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса

Биссектрисы треугольника пресекаются в одной точке.

На стр. 169 (Следствие:) до стр. 170 (Серединным:)

Теорема о пропорциональных отрезках.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Условие:

Δ АВС

ВК - биссектриса.

Доказательство:

, т. к. высота к АС общая

 =>

Формулы биссектрисы:

Длина биссектрисы угла треугольника равна отношению удвоенного произведения сторон, образующих этот угол, помноженного на косинус половины угла, из которого она выходит, к их сумме.

Условие:

Δ АВС

AK - биссектриса.

SΔ АВС= SΔ АВK+ SΔ AKС

*sin A = *sin  + *sin

sin A = 2sin *cos

cb*sin *cos = * sin + *sin

2bc*cos = k(c+b)

k=

Квадрат длины биссектрисы угла треугольника равна разности произведений сторон, образующих этот угол, и отрезков, которые она образует при делении третьей сторону.

Условие:

Δ АВС

AK - биссектриса.

Пусть AB=c, BK=x, KC=y, AC=b, AK=k

По теореме косинусов

cos AKB =

cos AKC =

cos AMB = -cos AMC (т. к. смежные) =>

=

k²y+x²y-c²y = -k²x-y²x+b²x

k²y+k²x = b²x+c²y-x²y-y²x

 (по теореме о пропорциональных отрезках)

Свойства биссектрисы:

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

На стр. 169 (Доказательство:) до стр. 169 (2.) Пусть:)

Каждая точка, лежащая  внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

На стр. 169 (2.) Пусть:) до стр. 169 (Следствие:)

√6. Медиана треугольника и её свойства.

Медиана треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Формула длины медианы:

Длина медианы равна удвоенной сумме квадратов сторон, на которые медиана не падает, минус квадрат стороны, на которую она падает, делённой на четыре.