Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса

Подобие с коэффициентом k является композицией гомотетии с коэффициентом k с любым центром и движения.

Пусть фигура F → F₁ при подобии с коэффициентом k.

Проведём гомотетию с произвольным центром с коэффициентом k. При этой гомотетии

X,Y → X₁, Y₁

X₁Y₁ = k*XY

(X,Y Î F; X₁,Y₁ Î F₁; F → F₁)

Для точек X¹, Y¹ Î F¹:

X¹Y¹ = k*XY (по определению подобия)

X₁Y₁ = X¹Y¹ => F¹ и F₁ равны => значит, их можно перевести движением из одной в другую.

Свойства:

1.) Сохраняются все свойства гомотетии.

2.) При подобии с коэффициентом k площадь многоугольника умножается на k².

Площадь треугольника равны половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними. В результате подобия с коэффициентом k каждая сторона умножается на k, а углы сохраняются => площадь умножается на k².

Многоугольные фигуры состоят из треугольников и т. к. площадь каждого умножается на k², то и вся сумма умножается на k² => поэтому площадь многоугольной фигуры умножится k².

3.) Композиция подобий с коэффициентами k₁ и k₂ есть подобие с коэффициентом k₁k₂.

Доказательство аналогично доказательству для гомотетий.

4.) Подобие обратимо

Обратное преобразование для подобия с коэффициентом k - подобие с коэффициентом

Тождественное преобразование - подобие с коэффициентом 1.

Подобие в треугольниках

Пусть у двух треугольников ΔABC и ΔA₁B₁C₁ углы соответственно равны: ÐA = ÐA₁, ÐB = ÐB₁, ÐC = ÐC₁. В таком случае стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ называются сходственными.

Два треугольника называется подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого или если их обозначить как ΔABC и ΔA₁B₁C₁, то

ÐA = ÐA₁, ÐB = ÐB₁, ÐC = ÐC₁

, где k - коэффициент подобия, равны отношению сходственных сторон.

Теорема

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть треугольники ΔABC и ΔA₁B₁C₁ подобны с коэффициентом k. Т. к. ÐA = ÐA₁, то, где S и S₁ - площади треугольников.

А т. к.  и , то

Признаки подобия треугольников:

1.) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

Пусть у двух треугольников ΔABC и ΔA₁B₁C₁  ÐA = ÐA₁, ÐB = ÐB₁. Т. к. сумма углов в треугольнике равна 180°, то ÐС = ÐС₁ = 180° - ÐA - ÐB. Таким образом, углы треугольника ΔABC соответственно равны углам треугольника ΔA₁B₁C₁.

Пусть S - площадь DABC, S₁ - площадь DA₁B₁C₁ и т. к. ÐA = ÐA₁, ÐC = ÐC₁, то

 и  => . Аналогично, используя равенства ÐA = ÐA₁, ÐB = ÐB₁, мы получаем, что  => сходственные стороны треугольников пропорциональны.

2.) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то эти треугольники называются подобными.

3.) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

17. Геометрическое соотношение между элементами прямоугольного треугольника. Средние геометрические, свойство медианы. Теорема Пифагора.

Теорема о среднем пропорциональном (геометрическом)

1.) Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Доказательство:

ΔADC ~ ΔCBD (по двум углам (ÐCDB = ÐCDA = 90°, ÐACD = 90° - ÐCAD = 90° - ÐCAB = ÐCBD)) =>

=> => CD² = AD*DB =>

2.) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.