Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса

Печать
(76 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Страница 21
Страница 22
Страница 23
Страница 24
Страница 25
Страница 26
Страница 27
Страница 28
Страница 29
Страница 30
Страница 31
Страница 32
Страница 33
Страница 34
Страница 35
Страница 36
Страница 37
Страница 38
Страница 39
Страница 40
Страница 41
Страница 42
Страница 43
Страница 44
Страница 45
Страница 46
Страница 47
Страница 48
Страница 49
Страница 50
Страница 51
Страница 52
Страница 53
Страница 54
Страница 55
Страница 56
Страница 57
Страница 58
Страница 59
Теорема

Подобие с коэффициентом k является композицией гомотетии с коэффициентом k с любым центром и движения.

Пусть фигура FF1 при подобии с коэффициентом k.

Проведём гомотетию с произвольным центром с коэффициентом k. При этой гомотетии

X,Y → X1, Y1

X1Y1 = k*XY

(X,Y Î F; X1,Y1 Î F1; F → F1)

Для точек X1, Y1 Î F1:

X1Y1 = k*XY (по определению подобия)

X1Y1 = X1Y1 => F1 и F1 равны => значит, их можно перевести движением из одной в другую.

Свойства:

1.) Сохраняются все свойства гомотетии.

2.) При подобии с коэффициентом k площадь многоугольника умножается на k2.

Площадь треугольника равны половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними. В результате подобия с коэффициентом k каждая сторона умножается на k, а углы сохраняются => площадь умножается на k2.

Многоугольные фигуры состоят из треугольников и т. к. площадь каждого умножается на k2, то и вся сумма умножается на k2 => поэтому площадь многоугольной фигуры умножится k2.

3.) Композиция подобий с коэффициентами k1 и k2 есть подобие с коэффициентом k1k2.

Доказательство аналогично доказательству для гомотетий.

4.) Подобие обратимо

Обратное преобразование для подобия с коэффициентом k - подобие с коэффициентом

Тождественное преобразование - подобие с коэффициентом 1.

Подобие в треугольниках

Пусть у двух треугольников ΔABC и ΔA1B1C1 углы соответственно равны: ÐA = ÐA1, ÐB = ÐB1, ÐC = ÐC1. В таком случае стороны AB и A1B1, BC и B1C1, AC и A1C1 называются сходственными.

Два треугольника называется подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого или если их обозначить как ΔABC и ΔA1B1C1, то

ÐA = ÐA1, ÐB = ÐB1, ÐC = ÐC1

, где k - коэффициент подобия, равны отношению сходственных сторон.

Теорема

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть треугольники ΔABC и ΔA1B1C1 подобны с коэффициентом k. Т. к. ÐA = ÐA1, то, где S и S1 - площади треугольников.

А т. к.  и , то

Признаки подобия треугольников:

1.) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

Пусть у двух треугольников ΔABC и ΔA1B1C1  ÐA = ÐA1, ÐB = ÐB1. Т. к. сумма углов в треугольнике равна 180°, то ÐС = ÐС1 = 180° - ÐA - ÐB. Таким образом, углы треугольника ΔABC соответственно равны углам треугольника ΔA1B1C1.

Пусть S - площадь DABC, S1 - площадь DA1B1C1 и т. к. ÐA = ÐA1, ÐC = ÐC1, то

 и  => . Аналогично, используя равенства ÐA = ÐA1, ÐB = ÐB1, мы получаем, что  => сходственные стороны треугольников пропорциональны.

2.) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то эти треугольники называются подобными.

3.) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

17. Геометрическое соотношение между элементами прямоугольного треугольника. Средние геометрические, свойство медианы. Теорема Пифагора.

Теорема о среднем пропорциональном (геометрическом)

1.) Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Доказательство:

ΔADC ~ ΔCBD (по двум углам (ÐCDB = ÐCDA = 90°, ÐACD = 90° - ÐCAD = 90° - ÐCAB = ÐCBD)) =>

=> => CD2 = AD*DB =>

2.) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса »