Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса

- параллелограмм. И по второму признаку равенства векторов .

Пусть AB и CD лежат на одной прямой. Введём на этой прямой координату x, и пусть x_a, x_b, x_c, x_d - координаты точек A, B, C, D.

Тогда из условия  следует, что x_b - x_a = x_d - x_c => x_c - x_a = x_d - x_b =>

Теорема

От каждой точки плоскости можно отложить только один вектор, равный данному.

Пусть дан вектор  и точка C, от которой надо отложить вектор, равный . Возможны два случая:

1.) Точка C не лежит на прямой AB (общий случай)

2.) Точка C лежит на прямой AB (частный случай)

В обоих случаях строится единственная точка D.

В первом случае построим параллелограмм ABCD и получим вектор . А во втором случае на прямой AB от точки C в нужном направлении откладываем направленный отрезок .

Нулевой вектор - вектор, не имеющий направления и модуль которого равен нулю (обозначается: ).

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Нулевой вектор считается противоположным самому себе.

Сложение векторов

Рассмотрим перемещение из точки A в точку B, и затем из B в C. Таким образом, будет совершено перемещение из точки A в точку C, что иначе можно записать как:

В нашем случае конец первого вектора  является началом второго вектора . В общем случае от точки A откладывают вектор , равный , затем от точки B - вектор , равный . Тогда  является суммой векторов  и :

Такое получение суммы векторов называется правилом треугольника.

Итак, суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу треугольника.

Теперь докажем, что сумма векторов не зависит от точки, от которой откладывается первый вектор.

Т. к.  (равные , но отложенные от разных точек), то  (по третьему признаку равенства векторов). Аналогично из (равные ) получаем, что . Отсюда следует, что  => .

Существует ещё одно правило сложения двух векторов - правило параллелограмма: если векторы неколлинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного на них параллелограмма.

Даны два вектора  и

Т. к. ABCD - параллелограмм, то  => . По правилу треугольника , т. е.

Свойства сложения векторов:

1.) Для любых векторов  и  верно + = +

2.) Для любых векторов ,  и  верно (+) +  =  + (+)