Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса

Печать
(76 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Страница 21
Страница 22
Страница 23
Страница 24
Страница 25
Страница 26
Страница 27
Страница 28
Страница 29
Страница 30
Страница 31
Страница 32
Страница 33
Страница 34
Страница 35
Страница 36
Страница 37
Страница 38
Страница 39
Страница 40
Страница 41
Страница 42
Страница 43
Страница 44
Страница 45
Страница 46
Страница 47
Страница 48
Страница 49
Страница 50
Страница 51
Страница 52
Страница 53
Страница 54
Страница 55
Страница 56
Страница 57
Страница 58
Страница 59
Выражение катетов через гипотенузу и углы

Катет в прямоугольном треугольнике равен произведению гипотенузы и синуса противолежащего угла:

a = c*sin A

b = c*sin C

или произведению гипотенузы и косинуса прилежащего угла:

a = c*cos C

b = c*cos A

Выражение катета через другой катет и углы

Катет в прямоугольном треугольнике равен произведению другого катета и тангенса противолежащего угла:

a = b*tg A

b = a*tg C

или произведению того же катета и котангенса прилежащего угла:

a = b*ctg C

b = a*ctg A

Приведём несколько примеров решения прямоугольного треугольника в общем случае:

1.) Пусть дан угол и сторона.

По сумме углов треугольника мы находим третий угол. Далее, если нам дана гипотенуза, то найдём через косинус прилежащего угла один катет, а по теореме Пифагора - другой; а если дан катет, то через котангенс прилежащего угла найдём второй катет, а гипотенузу - по теореме Пифагора.

2.) Пусть даны две стороны.

По теореме Пифагора найдём третью сторону. Далее легко вычислить синусы двух острых углов (из отношения противолежащих этим углам катетов и гипотенузы), а из синусов выразим сами углы.

19. Теорема косинусов. Виды треугольника (остроугольность, тупоугольность). Применение теоремы косинусов для решения треугольников.

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Условие:

ΔABC

Доказательство:

Есть три варианта значения ÐС:

1) ÐС = 90°

Тогда cos ÐC = 0 и доказательство сводится к теореме Пифагора.

2) ÐС < 90°

В ΔABC есть ещё хотя бы один острый угол. Пусть это будет угол ÐB. Из вершины ÐА проведём высоту AD. Т. к. углы ÐB и ÐС острые, точка D лежит внутри BC. Отрезок CD = b1 будет катетом в прямоугольном треугольнике ΔACD с гипотенузой AC = b и прилежащим острым углом ÐC. Поэтому b1 = b*cos C.

По теореме Пифагора находим с2 из другого прямоугольного треугольника ΔABD с катетами AD = h и BD = a - b1 => с2 = (a - b1)+h2.

Но h2 = b2 -  из треугольника ΔACD. Подставив это выражение для h2 в равенство и заменив b1 по формуле b1 = b*cos C, придём к следующему равенству:

с2 = a2 - 2ab1 +  + b2 - = a2 + b2 - 2ab*cos ÐC.

3) ÐС > 90°

Снова проведём высоту AD = h из вершины ÐА. Теперь её основание - точка D - лежит на продолжении ВС за точкой С. Снова обозначим отрезок СD через b1. В этом случае BD = a+b1 и из прямоугольного треугольника ΔABD по теореме Пифагора с2 = (a+b1) + h2.

По определению косинуса тупого угла: cos ÐC = . Поэтому b1 = - b*cos C. Наконец, из треугольника ΔACD снова получаем, что h2 = b2 - . Подставив выражение для h2 и для b1, т. е. b1 = b*cos C, мы придём к следующему равенству:

с2 = b2 -  + a2 + 2ab1 + = a2 + b2 - 2ab*cos ÐC.



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса »