Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса

Печать
(76 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Страница 21
Страница 22
Страница 23
Страница 24
Страница 25
Страница 26
Страница 27
Страница 28
Страница 29
Страница 30
Страница 31
Страница 32
Страница 33
Страница 34
Страница 35
Страница 36
Страница 37
Страница 38
Страница 39
Страница 40
Страница 41
Страница 42
Страница 43
Страница 44
Страница 45
Страница 46
Страница 47
Страница 48
Страница 49
Страница 50
Страница 51
Страница 52
Страница 53
Страница 54
Страница 55
Страница 56
Страница 57
Страница 58
Страница 59
Виды треугольника

Если в треугольнике все три угла острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то этот треугольник называется тупоугольным. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Существует ещё два вида треугольника: равнобедренный, у которого две какие-то стороны равны между собой (может быть остроугольным, тупоугольным, прямоугольным), и равносторонний, у которого все стороны равны (только остроугольный).

Косинус тупого угла отрицателен, косинус острого угла - положителен, косинус прямого угла равен нулю => по теореме косинусов:

- в тупоугольном треугольнике c2 > a2 + b2, где c - сторона, лежащая против тупого угла;

- в остроугольном треугольнике c2 < a2 + b2;

- в прямоугольном треугольнике c2 = a2 + b2 , где c - гипотенуза (теорема Пифагора).

Применение теоремы косинусов для решения треугольников

Решение треугольника - нахождение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.

1) Приведём пример решения треугольника с помощью теоремы косинусов (решение треугольника по двум сторонам и углы между ними).

Дано:

a, b, ÐC

Найти: c, ÐA, ÐB

Решение:

По теореме косинусов найдём сторону с, противолежащую углу ÐС:

с = 

Снова, пользуясь теоремой косинусов, получаем:

cos A =  =  =  =

ÐA = arcos

По теореме о сумме углов в треугольнике, находим последний угол ÐB:

ÐB = 180° - ÐA - ÐC

2) Приведём ещё один пример решения треугольника с помощью теоремы косинусов (решение треугольника по трём сторонам).

Дано:

a, b, c

Найти: ÐA, ÐB, ÐC

Решение:

Пользуясь теоремой косинусов, получаем:

cos ÐA =

ÐA = arcos

Аналогично найдём угол ÐB.

По теореме о сумме углов в треугольнике, находим последний угол ÐB:

ÐC = 180° - ÐA - ÐB

20. Теорема синусов и неравенства в треугольнике (углов и сторон, сторон). Применение теоремы синусов для решения треугольников.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Условие:

ΔABC

AB = c, BC = b, AC = c

Доказательство:

По теореме о площади треугольника:

SABC =  (1), SABC =  (2), SABC =  (3)

Из (1) и (2) следует, что  =  => a*sin C = c*sin C =>  =

Из (2) и (3) следует, что   =  => b*sin A = a*sin B =>  =

Итак,  =  =

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол (1) и обратно, против большего угла лежит большая сторона (2).

1) Условие:

ΔABC: AB > AC

Доказательство:

Отложим на стороне AB отрезок AD, равный стороне AC. Т. к. AD < AB, то точка D лежит между точками A и B => Ð1 является частью угла ÐC => ÐC > Ð1. Ð2 - внешний угол ΔBDC => Ð2 > ÐB. Углы Ð1 и Ð2 равны, как углы при основании равнобедренного треугольника ΔADC => ÐC>Ð1, Ð1 = Ð2, Ð2 > ÐB => ÐC > ÐB

2) Условие:

ΔABC: ÐC > ÐB

Доказательство:

Предположим, что AB = AC => ΔABC - равнобедренный => ÐC = ÐB (неверно)

Теперь пусть AB < AC => ÐB > ÐC (против большей стороны лежит больший угол) (неверно). Итак, остается один вариант: AB < AC.

Доказательство через теорему синусов:



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса »