Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса

Если две хорды пересекаются, то угол между ними равен полусумме дуг, образованных этими хордами.

Условие:

О - центр окружности

АВ и СD - хорды

Е - точка их пересечения.

Доказательство:

ÐАDВ = , т. к.  ÐАDB - вписанный

ÐСВD = , т. к. ÐCBD - вписанный

ÐAEB = ÐАDB + ÐCBD, т. к. ÐAED - внешний угол ΔBED=>

ÐAEB =  +  =

Угол между двумя секущими

Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, расположенных между секущими.

Условие:

АС и АМ - секущие

Доказательство:

Построим ВК║NM

СВК =  =

ÈКМ = ÈBN, т. к. ВК║NM

ÐСВК =     

ÐСВК = ÐСАМ, т. к. ВК║NM

ÐCАМ =

Угол между касательной и секущей

Угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, расположенных между ними.

Условие:

АС - секущая

АВ - касательная.

Доказательство:

Построим DК║AB

= =

 ÈКB = ÈBD (смотри решение 1)

=

ÐBAС = ÐKDC, т. к. ВК║NM

ÐBАC =

Решение 1

Условие:

О - центр окружности

КD - хорда

АВ - касательная

BB₁ - диаметр

Доказательство:

ВТ^ТК, т. к. АВ║ТК и АВ^ВТ

КD^BB₁ => KT = TD

Рассмотрим ΔКOТ и ΔТOD:

Они равны по гипотенузе (КО = ОD) и катету (ОТ - общий) =>

ÐВОК = ÐВОD как соответственные элементы равных треугольников. Также эти углы центральные => они опираются на равные дуги => ÈКB = ÈBD