Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса

Печать
(76 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Страница 21
Страница 22
Страница 23
Страница 24
Страница 25
Страница 26
Страница 27
Страница 28
Страница 29
Страница 30
Страница 31
Страница 32
Страница 33
Страница 34
Страница 35
Страница 36
Страница 37
Страница 38
Страница 39
Страница 40
Страница 41
Страница 42
Страница 43
Страница 44
Страница 45
Страница 46
Страница 47
Страница 48
Страница 49
Страница 50
Страница 51
Страница 52
Страница 53
Страница 54
Страница 55
Страница 56
Страница 57
Страница 58
Страница 59
Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

Рассмотрим произвольный треугольник ΔABC и обозначим буквой O точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки O перпендикуляры OK, OL и OM соответственно к сторонам AB, BC и AC. Т. к. точка O равноудалена от сторон ΔABC, то OK = OL = OM => окружность с центром O радиуса OK проходит через точки K, L и M. Стороны ΔABC касаются этой окружности в точках K, L, M, т. к. они перпендикулярны к радиусам OK, OL и OM => окружность с центром O радиуса OK является вписанной в ΔABC.

Замечание:

В треугольник можно вписать только одну окружность.

Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой будет равноудалён от сторон треугольника => совпадет с точкой O пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки O до сторон треугольника => эти окружности совпадут.

Следствие (расположение центра):

В произвольном треугольнике центр вписанной в него окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Описанные четырехугольники

Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность, например, прямоугольник, не являющийся квадратом.

Свойства описанного четырехугольника:

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

По теореме об отрезках касательной отрезки, соединяющие вершины и точки касания равны => AB + CD = a + b + c + d, BC + AD = a + b + c + d => AB + CD = BC + AD.

Признаки описанного четырехугольника:

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Условие:

ABCD - выпуклый четырёхугольник

Окружность (О;r)

Суммы противоположных сторон равны.

Доказательство:

Пусть Окр(О;r) касается трёх сторон ABCD.

Проведём С1D1CD и С1D1 - касательная к Окр(О;r).

Рассмотрим четырёхугольник ABС1D1:

Т. к. это описанный четырёхугольник, то

AB + С1D1 = BC1 + AD1

Из (1) вычтем (2) и получим:

 

 

AB + CD = BC + AD

С1D1 - CD = BC1 + AD1 - BC - AD = BC1 + AD1 - BC1 - C1C - AD1 - D1D = -C1C - D1D

CD = C1D1 + CC1 + DD1 => C1, D1CD => C = C1, D = D1  => ABCD - описанный четырёхугольник.

Аналогично доказывается, когда СD - секущая окружности.

Различные виды четырёхугольников:

1.) В квадрат, ромб всегда можно вписать окружность, т. к. суммы противоположных сторон всегда равны.

2.) В прямоугольник (не являющийся квадратом) и параллелограмм (не являющийся ромбом) никогда нельзя вписать окружность, т. к. сумма одной пары противоположных сторон всегда больше другой.

3.) В трапецию не всегда можно вписать окружность.

29. Окружность, описанная около треугольника (определение, существование и единственность, расположение центра). Вписанные четырехугольники (прямая и обратная теоремы, различные виды четырехугольников).

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.

Теорема

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров m и n к сторонам AB и BC треугольника ΔABC. Т. к. каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка, то OB = OA и OB = OC => OA = OC => точка O равноудалена от концов отрезка AC => лежит на серединном перпендикуляре => все три серединных перпендикуляра m, n и p к сторонам ΔABC пересекаются в одной точке.

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность

Рассмотрим произвольный треугольник ΔABC. Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки OA, OB и OC. Т. к. точка O равноудалена от вершин ΔABC, то OA = OB = OC => окружность с центром в точке O радиуса OA проходит через все три вершины треугольника => является описанной около ΔABC.

Замечание:



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса »