Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса

Печать
(76 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Страница 21
Страница 22
Страница 23
Страница 24
Страница 25
Страница 26
Страница 27
Страница 28
Страница 29
Страница 30
Страница 31
Страница 32
Страница 33
Страница 34
Страница 35
Страница 36
Страница 37
Страница 38
Страница 39
Страница 40
Страница 41
Страница 42
Страница 43
Страница 44
Страница 45
Страница 46
Страница 47
Страница 48
Страница 49
Страница 50
Страница 51
Страница 52
Страница 53
Страница 54
Страница 55
Страница 56
Страница 57
Страница 58
Страница 59
Теорема о центре правильного многоугольника

В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудалённая от всех его вершин и от всех его сторон.

Пусть A1A2:An - правильный n-угольник. Проведём биссектрисы p и q углов  ÐA1 и ÐA2. Лучи p и q пересекутся в точке O.

Сначала докажем, что точка O равноудалена от всех его вершин, т. е. OA1 = OA2 = : = OAn. Т. к. Ð1 = Ð2 (как половины равных углов), то треугольник ΔOA1A2 равнобедренный => OA1 = OA2. Далее ΔOA1A2 = ΔOA2A3 по двум сторонам (A1A2 = A2A3 (по условию), OA2 - общая) и углу между ними (Ð2 = Ð3 (OA2 - биссектриса ÐA2)) => OA1 = OA3 => OA2 = OA3 и Ð3 = Ð4.

Далее, Ð3 = ÐA2, ÐA2 = ÐA3 => Ð3 = ÐA3. Но Ð3 = Ð4 => Ð4 = ÐA3, т. е. Ð4 = Ð5 => OA3 - биссектриса ÐA3. Проделая аналогичные рассуждения и дальше, получаем:

OA1 = OA2 = OA3 = : =OAn-1 = OAn, т. е. точка O равноудалена от всех вершин n-угольника.

Теперь докажем, что точка O равноудалена от всех сторон n-угольника. Из предыдущего доказательства следует, что ΔOA1A2, ΔOA2A3, ΔOA3A4, :, ΔOAn-1An , ΔOAnA1 - равнобедренные и равны между собой => их высоты, проведённые на основания (стороны n-угольника), равны между собой => точка O равноудалена от всех сторон многоугольника A1A2:An.

Следствия:

1.) Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

2.) В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Выражение сторон правильного многоугольника через R и r

Сторона правильного n-угольника равна 2R*, где R - радиус описанной окружности или 2r*, где r - радиус вписанной окружности.

Условие:

AB - сторона правильного n-угольника

OA = OB = R

OK^OB, OK = r

Доказательство:

ÐAOB =

AB = 2AK = an

Рассмотрим ΔAOK:

1.) AK = AO*sin ÐAOK

AK = R*

an = 2R*

2.) AK = OK*tg ÐAOK

AK = r*

an = 2r*

3.) OK = OA*cos ÐAOK

r = R*



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса »