Каждый вектор можно разложить на составляющие, лежащие на этих прямых.

Пусть даны две прямые a и b, пересекающиеся в точке О, и вектор . Отложим вектор от точки О. Получим =. В общем случае вектор  не лежит ни на одной прямой. Тогда проведем через точку V параллельные им прямые. Вместе с прямыми a и b они ограничат параллелограмм OAVB с диагональю OV. По правилу параллелограмма =. Векторы  и  и есть составляющие вектора , лежащие на прямых а и b (составляющие по прямым а и b).

Если вектор  лежит на одной из прямых а или b, то его составляющая по одной прямой это он сам, а по другой - его составляющая равна нулевому вектору.

Особенно важный случай представляет разложение на составляющие по взаимно перпендикулярным прямым. Тогда параллелограмм с диагональю OV - это прямоугольник, а его стороны - проекции отрезка OV на прямые a и b.

Угол между ненулевыми векторами

Чтобы определить угол между векторами  и  их нужно отложить от одной точки О так, чтобы , , а затем найти величину угла между лучами ОА и ОВ. Её и называют углом между векторами.

 Углом между двумя не нулевыми векторами называется величина задаваемого ими угла между лучами, когда они отложены от одной точки.

Если векторы сонаправлены, то угол между ними считается равным 0°. Если противоположно направлены, то угол считается равным 180°.

Теорема

Угол между векторами не зависит от выбора точки откладывания векторов. Это необходимо доказать только для неколлинеарных векторов, т. к. для сонаправленных это вытекает из определения.

Пусть  и  неколлинеарны. Отложим их от точки О, тогда  = ,  = и от точки О₁ так, чтобы тогда  = ,  = .

Пусть прямые ОА и ОВ пересекаются в некоторой точке О₂. Обозначим буквой а тот угол с вершиной в точке О₂, который будет соответственным с углом ÐАОВ. По свойствам параллельных прямых Ðа = ÐАОВ. Но тот же угол Ðа будет соответственным углу ÐА₁О₁В₁. По тому же свойству Ðа = ÐА₁О₁В₁ => ÐА₁О₁В₁ = ÐАОВ.

Вычисление проекции вектора на ось

1.) Вычисление проекции с помощью координат.

По определению проекция v_x вектора на ось х равна длине его составляющей по этой оси, взятая со знаком <плюс> или <минус>. Но длина ненулевого вектора  - это длина отрезка А₁В₁, т. е. расстояние между точками А₁ и В₁. Это расстояние можно найти по формуле: А₁В₁=|x₁-x₂|.

Если ↑↑,  то x₁ > x₂ и x₁-x₂ > 0. В этом случае |x₁-x₂| = x₁-x₂ и v_x = || = x₁-x₂

Если же ↑↓,  то x₁ < x₂ и x₁-x₂ < 0. В этом случае        |x₁-x₂| = x₂-x₁ и  v_x = -|| = x₂-x₁

Если же =, то v_x = 0, т. к. A₁=B₁, x₁=x₂ и снова v_x=x₁-x₂

2.) Вычисление проекции с помощью угла между вектором и координатной осью называется угол между вектором этой оси.

« Предыдущая - Следующая »