Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса

Печать
(76 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 9 класса
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Страница 21
Страница 22
Страница 23
Страница 24
Страница 25
Страница 26
Страница 27
Страница 28
Страница 29
Страница 30
Страница 31
Страница 32
Страница 33
Страница 34
Страница 35
Страница 36
Страница 37
Страница 38
Страница 39
Страница 40
Страница 41
Страница 42
Страница 43
Страница 44
Страница 45
Страница 46
Страница 47
Страница 48
Страница 49
Страница 50
Страница 51
Страница 52
Страница 53
Страница 54
Страница 55
Страница 56
Страница 57
Страница 58
Страница 59
Теорема

Каждый вектор можно разложить на составляющие, лежащие на этих прямых.

Пусть даны две прямые a и b, пересекающиеся в точке О, и вектор . Отложим вектор от точки О. Получим =. В общем случае вектор  не лежит ни на одной прямой. Тогда проведем через точку V параллельные им прямые. Вместе с прямыми a и b они ограничат параллелограмм OAVB с диагональю OV. По правилу параллелограмма =. Векторы  и  и есть составляющие вектора , лежащие на прямых а и b (составляющие по прямым а и b).

Если вектор  лежит на одной из прямых а или b, то его составляющая по одной прямой это он сам, а по другой - его составляющая равна нулевому вектору.

Особенно важный случай представляет разложение на составляющие по взаимно перпендикулярным прямым. Тогда параллелограмм с диагональю OV - это прямоугольник, а его стороны - проекции отрезка OV на прямые a и b.

Угол между ненулевыми векторами

Чтобы определить угол между векторами  и  их нужно отложить от одной точки О так, чтобы , , а затем найти величину угла между лучами ОА и ОВ. Её и называют углом между векторами.

 Углом между двумя не нулевыми векторами называется величина задаваемого ими угла между лучами, когда они отложены от одной точки.

Если векторы сонаправлены, то угол между ними считается равным 0°. Если противоположно направлены, то угол считается равным 180°.

Теорема

Угол между векторами не зависит от выбора точки откладывания векторов. Это необходимо доказать только для неколлинеарных векторов, т. к. для сонаправленных это вытекает из определения.

Пусть  и  неколлинеарны. Отложим их от точки О, тогда  = ,  = и от точки О1 так, чтобы тогда  = ,  = .

Пусть прямые ОА и ОВ пересекаются в некоторой точке О2. Обозначим буквой а тот угол с вершиной в точке О2, который будет соответственным с углом ÐАОВ. По свойствам параллельных прямых Ðа = ÐАОВ. Но тот же угол Ðа будет соответственным углу ÐА1О1В1. По тому же свойству Ðа = ÐА1О1В1 => ÐА1О1В1 = ÐАОВ.

Вычисление проекции вектора на ось

1.) Вычисление проекции с помощью координат.

По определению проекция vx вектора на ось х равна длине его составляющей по этой оси, взятая со знаком <плюс> или <минус>. Но длина ненулевого вектора  - это длина отрезка А1В1, т. е. расстояние между точками А1 и В1. Это расстояние можно найти по формуле: А1В1=|x1-x2|.

Если ↑↑,  то x1 > x2 и x1-x2 > 0. В этом случае |x1-x2| = x1-x2 и vx = || = x1-x2

Если же ↑↓,  то x1 < x2 и x1-x2 < 0. В этом случае        |x1-x2| = x2-x1 и  vx = -|| = x2-x1

Если же =, то vx = 0, т. к. A1=B1, x1=x2 и снова vx=x1-x2

2.) Вычисление проекции с помощью угла между вектором и координатной осью называется угол между вектором этой оси.



 
Обсуждение (0 комментариев)


Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса »