Проекция ненулевого вектора на ось равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью (v_x = ||*cos a)

Если угол не равен 0° или 90° или180°, то доказательство основывается на перемещении системы координат в начало вектора, а затем из конца вектора опускается перпендикуляр на ось ОХ. Проекция вычисляется как катет в прямоугольном треугольнике, а он равен  произведению гипотенузы на косинус угла между ними.

Если угол 0°, то вектор лежит на оси и сонаправлен с нею => его проекция равна длине самого вектора. Так как cos 0° = 1, то выражение v_x = ||*cos a верно

Если угол 90°, то вектор перпендикулярен оси => проекция будет нулевая. И т. к. cos90°=0, то равенство v_x = ||*cos a снова выполняется.

Если же угол 180°, то вектор снова будет лежать на оси, но будет уже противонаправлен ей => проекция будет отрицательным числом, по модулю равной длине вектора.

Свойства проекции векторов на ось.

1.) Равные векторы имеют равные проекции на заданные оси.

По теореме о проекции вектора  на ось, проекция зависит от угла, который она составляет с осью и от длины вектора. Так как равные векторы имеют равные направления и длины, то их проекции будут равны.

2.) При сложении векторов их проекции на оси складываются.

Сложим любые два вектора =и =. Получим вектор  =  +  =  + =. Пусть точки А₁, В₁, С₁ - проекции точек А, В, С на ось OX, а x_a, x_b, x_с - их координаты и a_х, b_х, c_х - проекции векторов , , на ось OХ.

Т. к. a_х = x_b-x_а, b_х = x_c-x_b, то a_х + b_х = x_b-x_а+x_с-x_b = x_с-x_а

С другой стороны c_х =x_с-x_а. Поэтому c_х = a_x-b_x.

3.) При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

Пусть X - ось с начальной точкой О и единичным вектором . Возьмём любой вектор  и отложим его от этой точки. Пусть угол Ða между векторами  и . Умножив вектор   на число k, получим вектор  = k. Нужно доказать b_х = k*a_х. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла, т. к. b_х = ||*cos Ða = k*(||*cos Ða) = k*a_x.

4. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Теорема о форму-ле скалярного произведения через координаты.

« Предыдущая - Следующая »