Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс

Печать
(38 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Страница 21
Страница 22
Страница 23
Страница 24
Страница 25
Страница 26
Страница 27
Страница 28
Страница 29
Страница 30
Страница 31
Страница 32
Страница 33
Страница 34
Страница 35
Страница 36
Страница 37
Страница 38
Страница 39
Страница 40
Страница 41
Страница 42
Страница 43
Страница 44
Страница 45
Страница 46
5) Правильные многоугольники

Их свойства

Ломаная - линия из соединяющихся под углом отрезков прямых линий.

Многоугольник - фигура, образованная замкнутой ломаной без самопересечений вместе с частью плоскости, ограниченной этой ломанной. Стороны ломаной - стороны многоугольника, углы, составленные каждыми двумя соседними сторонами, - углы многоугольника, а их вершины - вершины многоугольника.

Правильный многоугольник - такой многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Центр правильного многоугольника - точка, равноудалённая от всех его вершин и от всех его сторон.

Теорема о центре правильного многоугольника. В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудалённая от всех его вершин и от всех его сторон.

Пусть  - правильный n-угольник. Проведём биссектрисы p и q углов  и . Лучи p и q пересекутся в точке O.

Так как  (как половины равных углов), то треугольник  - равнобедренный => . Далее  по двум сторонам ( (по условию),  - общая) и углу между ними (, так как  - биссектриса ) =>  =>  и .

 => , то есть  - биссектриса . Проделывая те же рассуждения несколько раз, получаем, что , то есть точка O равноудалена от всех вершин n-угольника.

Теперь докажем, что точка O равноудалена от всех сторон n-угольника. Из предыдущего доказательства следует, что треугольники ,  :  ,  - равнобедренные и равны между собой => их высоты, проведённые на стороны n-угольника (основания), равны между собой => точка O равноудалена от всех сторон правильного многоугольника .

Следствия

1) Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

2) В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Теорема. Сумма углов в выпуклом n-угольнике треугольнике равна .

Доказательство. Любой выпуклый n-угольник можно диагоналями разбить на  треугольника. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то сумма всех углов всех треугольников, составляющих многоугольник, равна .

Следствие. Угол в правильном n-угольнике равен .


Выражение сторон правильного многоугольника через радиус описанной и радиус вписанной окружности.

Рассмотрим :





Сторона правильного n-угольника равна , где R - радиус описанной окружности или , где r - радиус вписанной окружности.

Примеры

Тип правильного n-угольника

Для радиуса описанной окружности

Для радиуса вписанной окружности

треугольник

R

2r

квадрат

R

2r

шестиугольник

R

r

Площадь правильного многоугольника

, где p - полупериметр, а r - радиус вписанной окружности.


6) Окружность

Вписанные и описанные окружности около треугольники. Окружность, вписанная в треугольник

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность является вписанной в этот многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.

 



  Нет комментариев.

Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса