Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс

Печать
(38 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Страница 21
Страница 22
Страница 23
Страница 24
Страница 25
Страница 26
Страница 27
Страница 28
Страница 29
Страница 30
Страница 31
Страница 32
Страница 33
Страница 34
Страница 35
Страница 36
Страница 37
Страница 38
Страница 39
Страница 40
Страница 41
Страница 42
Страница 43
Страница 44
Страница 45
Страница 46
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник  и обозначим буквой O точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки O перпендикуляры OK, OL и OM соответственно к сторонам AB, BC и AC. Так как точка O равноудалена от сторон , то  => окружность с центром O радиуса OK проходит через точки K, L и M. Стороны  касаются этой окружности в точках K, L, M, так как они перпендикулярны к радиусам OK, OL и OM => окружность с центром O радиуса OK является вписанной в .

Замечание. В треугольник можно вписать только одну окружность.

Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой будет равноудалён от сторон треугольника => совпадет с точкой O пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки O до сторон треугольника => эти окружности совпадут.

Следствие (расположение центра). В произвольном треугольнике центр вписанной в него окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.

Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров m и n к сторонам AB и BC треугольника . Так как каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка, то  и  =>  => точка O равноудалена от концов отрезка AC => лежит на серединном перпендикуляре => все три серединных перпендикуляра m, n и p к сторонам  пересекаются в одной точке.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник . Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки OA, OB и OC. Так как точка O равноудалена от вершин , то  => окружность с центром в точке O радиуса OA проходит через все три вершины треугольника => является описанной около .


Замечание. Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности, тогда центр каждой из них равноудалён от его вершин => совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию

от точки O до вершин треугольника => окружности совпадают.

Следствие (расположение центра). В произвольном треугольнике центр описанной окружности лежит на пересечении его серединных перпендикуляров.

Расположение центра окружности, описанной около различных видов треугольников

1) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе этого треугольника.

Доказательство. Пусть  - такой треугольник, что . Проведем MN - среднюю линию  => NM AC =>  => MN - серединный перпендикуляр AB.

M - точка, принадлежащая серединным перпендикулярам BC и AB => это точка пересечения серединных перпендикуляров =>  => это центр описанной окружности.

2) Центр описанной окружности правильного треугольника лежит в точке пересечения его высот, медиан и биссектрис.

Доказательство. Серединные перпендикуляры в правильном треугольнике лежат на высотах, так как высота в таком треугольнике делит сторону, на которую она падает, пополам, как и серединный перпендикуляр => точка пересечения серединных перпендикуляров, то есть центр описанной окружности лежит на пересечении высот, и, поскольку высоты совпадают с биссектрисами и медианами, то и на пересечении биссектрис и медиан.


7) Условия существования вписанных и описанных около окружности четырехугольников

Окружность, вписанная в четырехугольник

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность является вписанной в этот многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.

Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность, например, прямоугольник, не являющийся квадратом.

Свойство описанного четырехугольника:

1) В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказательство. По теореме об отрезках касательной отрезки, соединяющие вершины и точки касания равны => ,  => .

Признак описанного четырехугольника:



  Нет комментариев.

Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса