Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс

Печать
(38 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Страница 21
Страница 22
Страница 23
Страница 24
Страница 25
Страница 26
Страница 27
Страница 28
Страница 29
Страница 30
Страница 31
Страница 32
Страница 33
Страница 34
Страница 35
Страница 36
Страница 37
Страница 38
Страница 39
Страница 40
Страница 41
Страница 42
Страница 43
Страница 44
Страница 45
Страница 46
1) Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство.

Пусть ABCD - выпуклый вписанный четырёхугольник. Проведём касательную к окружности  такую, что CD.

Рассмотрим четырёхугольник :

Так как это описанный четырёхугольник, то

 => ABCD - описанный четырёхугольник.

Аналогичное доказательство, когда CD - секущая окружности.

Различные виды четырёхугольников:

1) В квадрат, ромб всегда можно вписать окружность, так как суммы противоположных сторон всегда равны.

2) В прямоугольник (не являющийся квадратом) и параллелограмм (не являющийся ромбом) никогда нельзя вписать окружность, так как сумма одной пары противоположных сторон всегда больше другой.

3) В трапецию не всегда можно вписать окружность.


Окружность, описанная около четырехугольника

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.

Не около всякого четырёхугольника можно описать окружность, например, прямоугольник, не являющийся квадратом.

Свойство вписанного четырёхугольника:

1) В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Доказательство. Воспользуемся теоремой о вписанной угле: ,  =>  => сумма другой пары противоположных углов также равна 180°.

Признак вписанного четырёхугольника:

1) Если сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180°, то этот четырехугольник можно описать.

Доказательство.

Пусть ABCD - такой четырёхугольник, что . Проведём окружность через три вершины A, B и D четырёхугольника. В таком случае, вершина C может оказаться как внутри окружности, так и снаружи.

Рассмотрим второй случай. По теореме об угле между двумя секущими:  . Так как по теореме о вписанном угле , то , то есть , что противоречит условию.

Аналогично можно доказать и первый случай, где в отличие от второго   => , что также противоречит условию => точка C не лежит ни внутри, ни снаружи окружности => точка C лежит на окружности => ABCD - вписанный четырёхугольник.



  Нет комментариев.

Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса