Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс

Окружность - множество точек на плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

Хорда - отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Свойства хорд:

1) Хорды одной окружности равны <=> когда они равноудалены от центра.

(=>) Доказательство.

По свойству диаметра

 по гипотенузе  и катету  =>  как соответствующие элементы равных треугольников.

(<=) Доказательство.

 по гипотенузе  и катету  =>  как соответствующие элементы равных треугольников.

По свойству диаметра

2) Хорды одной окружности равны <=> когда они стягивают равные центральные углы или дуги.

(=>) Доказательство.

 по двум сторонам ,  и углу между ними  =>  как соответствующие элементы равных треугольников.

(<=) Доказательство.

 по трём сторонам ,  и  =>  как соответствующие элементы равных треугольников.

3) Хорды одной окружности параллельны <=> когда равны дуги, заключённые между ними.

(=>) Доказательство.

как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD. Также эти углы вписанные =>

(<=) Доказательство.

 => AB║CD

Свойство диаметра:

1) Диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром <=> когда он проходит через её середину.

(=>) Доказательство.

 по гипотенузе  и общему катету ОН =>  как соответственные элементы равных треугольников.

 (<=) Доказательство.

 по трем сторонам (,  (по условию), OH - общая) => как соответственные элементы равных треугольников.

Среднее геометрическое в окружности. Отрезок, соединяющий точку на окружности и точку диаметре и перпендикулярный диаметру, равен корню из произведения полученных отрезков диаметра.

Доказательство. Продолжим отрезок AO за точку O до пересечения с окружностью (до точки B).

По теореме об отрезках хорд: . А так как  (по свойству диаметра), то  или .