Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс

Даны точки O - центр симметрии и точка A.

а) Построим прямую OA

б) Построим окружность с центром в точке O радиусом OA такую, что , где B - искомая точка.

6) Неподвижная точка - центр симметрии.

7) Обратное преобразование - это та же самая симметрия.

8) Тождественного преобразования не существует.

Свойства центральной симметрии:

1) Все свойства движения.

2) Центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное.

3) Прямая при центральной симметрии переходит в параллельную себе прямую.

Признаки центральной симметрии:

1) Движение, изменяющее направление на противоположное, является центральной симметрией.

Так как это движение меняет направление на противоположное, то . Пусть это движение переводит точку X  в точку  и точка O - середина отрезка  => . Учитывая всё это, получаем, что

=> O - середина отрезка  и так как Y - любая точка, то такое движение называется симметрией с центром в точке O.

Поворот

1) Поворот относительно точки O на угол  - преобразование плоскости, при котором любая точка плоскости A переходит в такую точку , что

O - центр поворота

 - угол поворота

2) Обозначается поворот следующим образом: .

Направление угла со знаком "+" при повороте против часовой стрелки, со знаком "---" - по часовой, причём обычно угол варьируется от -180º до 180º.

3) Задаётся поворот точкой O - центром поворота и углом  - углом поворота.

4) Поворот является движением.

Доказательство.

 =>

 (по двум сторонам и углу между ними) =>  => поворот является движением.

5) Алгоритм построения образа точки:

Пусть даны точка A, которую нужно перенести, точка O, относительно которой будет осуществляться поворот, и угол  - угол поворота.

а) Построим окружность с центром в точке O и радиусом OA

б) Построим угол  такой, что

в)  - искомая точка

6) К неподвижным точкам относится точка O - центр поворота.

7) Преобразование, обратное повороту, - поворот на угол -α.

8) Тождественное преобразование повороту - поворот на угол в 0º.

Свойства поворота:

1) Все свойства движения.

2) .