Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс

Печать
(38 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Страница 21
Страница 22
Страница 23
Страница 24
Страница 25
Страница 26
Страница 27
Страница 28
Страница 29
Страница 30
Страница 31
Страница 32
Страница 33
Страница 34
Страница 35
Страница 36
Страница 37
Страница 38
Страница 39
Страница 40
Страница 41
Страница 42
Страница 43
Страница 44
Страница 45
Страница 46
12) Аксиомы стереометрии

Способы задания плоскостей в пространстве

Плоскостями называются фигуры, на которых выполняется планиметрия и для которых верны аксиомы стереометрии.

Две плоскости, имеющие общую точку, называются пересекающимися плоскостями.

Прямая и плоскость, имеющие единственную общую точку, называются пересекающимися.

Полупространством, ограниченным плоскостью , называется фигура со следующими свойствами:

1)      Она содержит плоскость , но не совпадает с ней.

2)      Если точки A и B принадлежат фигуре, но не плоскости , то отрезок AB не имеет с  общих точек.

3)      Если же точка A принадлежит фигуре, а B нет, то отрезок AB имеет с  общую точку.

Аксиомы стереометрии

Аксиома плоскости. В пространстве существуют плоскости. Через каждые три точки пространства проходит плоскость.

Следствия:

1) Множество точек пространства бесконечно, так как из планиметрии известно, что множество точек плоскости бесконечно.

2) Через каждые одну или две точки пространства проходит плоскость, так как для любых двух точек можно взять третью из плоскости, существующей согласно аксиоме плоскости, и провести через них новую плоскость.

Аксиома пересечения плоскостей. Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть их общая прямая.

Аксиома принадлежности прямой плоскости. Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Аксиома разбиения пространства плоскостью. Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства.

Говорят, что две точки или фигуры лежат по одну сторону от плоскости, если они принадлежат одному из полупространств, ограниченных данной плоскостью. Аналогично определяются фигуры, лежащие по разные стороны от плоскости.

Аксиома расстояния. Расстояние между любыми двумя точками пространства не зависит от того, на какой плоскости, содержащей эти точки, оно измерено.

Теорема. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Доказательство. Пусть точки A, B, C не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме плоскости, через каждые три точки проходит плоскость. Поэтому существует плоскость, проходящая через точки A, В, С. Обозначим её .

Убедимся, что она единственная. Допустим, что через эти три точки проходит еще одна плоскость , отличная от . Эти плоскости  и  имеют общие точки, например точку А. По аксиоме пересечения плоскостей их пересечением является их общая прямая => эта прямая содержит три точки A, B, C. Но эти точки не лежат на одной прямой по условию => через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.


Следствие. В пространстве существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Для каждых двух точек можно подобрать еще две таким образом, что все четыре точки не будут лежать в одной плоскости.

Доказательство. Пусть даны две точки A и B. Проведем через них какую-нибудь плоскость  и возьмем на ней точку C, не лежащую на AB.

В пространстве существуют точки, не лежащие в плоскости . Возьмем одну таких точек - точку D. Таким образом, мы получили четыре точки не лежащие в одной плоскости. Ни в какой другой плоскости они тоже не лежат, так как через три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, согласно первой теореме, проходит единственная плоскость .

Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Пусть дана прямая a и точка A, не лежащая на этой прямой. Возьмем на a две точки B и C. Точка A не лежит с ними на одной прямой, так как через точки B и C проходит лишь одна прямая - это прямая a, а точка A не лежит на ней по условию.

Через точки A, B, и C, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, притом единственная. Прямая a имеет с ней две общие точки B и C и, по аксиоме принадлежности прямой к плоскости, лежит в плоскости ABC.

Таким образом, ABC - есть искомая плоскость, проходящая через прямую a и точку A. Любая плоскость, проходящая через прямую a и точку A, содержит точки B и C и совпадает с плоскостью ABC => искомая плоскость единственная.

Теорема. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Доказательство. Возьмем три точки A, B и C, притом одна из них - точка пересечения прямых B, а две другие лежат на разных прямых - A, C.

Тогда все три точки не лежат на одной прямой => через них проходит плоскость ABC и притом только одна. АВС - искомая плоскость, так как точки A, B и C принадлежат плоскости, значит и прямые AB и BC принадлежат плоскости ABC (аксиома принадлежности прямой к плоскости).



  Нет комментариев.

Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса