Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс

Печать
(38 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Страница 21
Страница 22
Страница 23
Страница 24
Страница 25
Страница 26
Страница 27
Страница 28
Страница 29
Страница 30
Страница 31
Страница 32
Страница 33
Страница 34
Страница 35
Страница 36
Страница 37
Страница 38
Страница 39
Страница 40
Страница 41
Страница 42
Страница 43
Страница 44
Страница 45
Страница 46
О луче или отрезке говорят, что он перпендикулярен плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости. Если отрезок перпендикулярен плоскости и его конец принадлежит ей, то отрезок называется перпендикуляром к данной плоскости.

Отрезок, конец которого лежит на плоскости, но не перпендикулярный ей, называется наклонной к плоскости.

Теорема. Если из одной точки A, не лежащей в плоскости- ,

проведены к  перпендикуляр AB и наклонная AC , то .

Доказательство. Перпендикуляр короче наклонной, так как в прямоугольном треугольнике  катет AB короче гипотенузы AC.

Теорема. Через каждую данную точку проходит не более одной прямой, перпендикулярной данной плоскости.

Доказательство. Допустим, что через некоторую точку A проходят две прямые a и b, перпендикулярные плоскости . Проведём через них плоскость . Эта плоскость пересекает плоскость  по прямой с.

Так как  и , то обе прямые a и b перпендикулярны с. Но из планиметрии известно, что это невозможно => через точку A проходит не более одной прямой, перпендикулярной плоскости .

Теорема. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство. Пусть прямая a пересекает плоскость  в точке O и перпендикулярна прямым b и c, лежащим в плоскости  и проходящим через точку О. Возьмём такую прямую d,

отличную от b и с. Проведём в плоскости  прямую, которая пересекает прямые b, c и d в точках B, C и D соответственно и отложим на прямой a отрезок . Отрезки OB и OC являются серединными перпендикулярами к , поэтому точки B и C равноудалены от концов  =>  и .

 по трём сторонам => .

 по двум сторонам и углу между ними => .

 по трём сторонам => , а так как эти углы смежные, то  =>  => так как d - случайная прямая, то прямая a перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости  => .


Свойства прямых, перпендикулярных плоскости

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство. Пусть,  а || b и . Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как , то .

По условию леммы b || a , поэтому b || MA. Таким образом, прямые b и c параллельны соответственно прямым MA и MC, угол между которыми равен 90°. Это означает, что и угол между прямыми b и c также равен 90°, то есть .

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство. Рассмотрим две параллельные

прямые а и b и плоскость  такую, что .

Проведем произвольную прямую m в плоскости . Так как , то . По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей . Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой лежащей в плоскости , то есть .

Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к данной плоскости, то они параллельны.

Доказательство.

Рассмотрим прямые a и b, перпендикулярные к плоскости . Пусть a не параллельна b. Через какую-нибудь точку M  прямой b проведем прямую , параллельную прямой а. По предыдущей теореме . Докажем, что прямая  совпадает с прямой b. Допустим, что это не так. Тогда в плоскости, содержащей

прямые  и b, через точку M  проходят две прямые, перпендикулярные прямой с, по которой пересекаются две плоскости ( и плоскость, содержащая

прямые  и b). Но из планиметрии известно, что это невозможно => a || b.




  Нет комментариев.

Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса