Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс

Отрезок, конец которого лежит на плоскости, но не перпендикулярный ей, называется наклонной к плоскости.

Теорема. Если из одной точки A, не лежащей в плоскости- ,

проведены к  перпендикуляр AB и наклонная AC , то .

Доказательство. Перпендикуляр короче наклонной, так как в прямоугольном треугольнике  катет AB короче гипотенузы AC.

Теорема. Через каждую данную точку проходит не более одной прямой, перпендикулярной данной плоскости.

Доказательство. Допустим, что через некоторую точку A проходят две прямые a и b, перпендикулярные плоскости . Проведём через них плоскость . Эта плоскость пересекает плоскость  по прямой с.

Так как  и , то обе прямые a и b перпендикулярны с. Но из планиметрии известно, что это невозможно => через точку A проходит не более одной прямой, перпендикулярной плоскости .

Теорема. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство. Пусть прямая a пересекает плоскость  в точке O и перпендикулярна прямым b и c, лежащим в плоскости  и проходящим через точку О. Возьмём такую прямую d,

отличную от b и с. Проведём в плоскости  прямую, которая пересекает прямые b, c и d в точках B, C и D соответственно и отложим на прямой a отрезок . Отрезки OB и OC являются серединными перпендикулярами к , поэтому точки B и C равноудалены от концов  =>  и .

 по трём сторонам => .

 по двум сторонам и углу между ними => .

 по трём сторонам => , а так как эти углы смежные, то  =>  => так как d - случайная прямая, то прямая a перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости  => .

Свойства прямых, перпендикулярных плоскости

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство. Пусть,  а || b и . Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как , то .

По условию леммы b || a , поэтому b || MA. Таким образом, прямые b и c параллельны соответственно прямым MA и MC, угол между которыми равен 90°. Это означает, что и угол между прямыми b и c также равен 90°, то есть .

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство. Рассмотрим две параллельные

прямые а и b и плоскость  такую, что .

Проведем произвольную прямую m в плоскости . Так как , то . По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей . Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой лежащей в плоскости , то есть .

Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к данной плоскости, то они параллельны.

Доказательство.

Рассмотрим прямые a и b, перпендикулярные к плоскости . Пусть a не параллельна b. Через какую-нибудь точку M  прямой b проведем прямую , параллельную прямой а. По предыдущей теореме . Докажем, что прямая  совпадает с прямой b. Допустим, что это не так. Тогда в плоскости, содержащей

прямые  и b, через точку M  проходят две прямые, перпендикулярные прямой с, по которой пересекаются две плоскости ( и плоскость, содержащая

прямые  и b). Но из планиметрии известно, что это невозможно => a || b.