Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс

Признаки параллельности плоскостей, теорема о параллельных плоскостях

Для расположения двух плоскостей в пространстве возможны два случая:

1) Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, тогда по аксиоме пересечения плоскостей их пересечение - есть прямая; такие плоскости называются пересекающимися.

2) Две плоскости не имеют общих точек; такие плоскости называются параллельными.

Теорема. Первый признак параллельности плоскостей. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.

Действительно, такие две плоскости не могут иметь общих точек, так как, согласно теореме, через каждую точку данной прямой проходит лишь одна плоскость, перпендикулярная данной прямой. Следовательно, эти плоскости параллельны.

Основная теорема о параллельных плоскостях. Через каждую точку, не лежащую в данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство. Пусть даны плоскость  и не лежащая в ней точка А. Существует плоскость  || , проходящая через

точку А. Докажем единственность такой плоскости.

Возьмём любую другую плоскость , проходящую через точку А, и покажем, что  пересекает . Для этого достаточно доказать, что в плоскости  найдётся прямая, пересекающая плоскость . Такую прямую легко построить. Возьмем в  любую точку B, не лежащую в плоскости  и проведём в плоскости  через точки A и B прямую p. Прямая p пересекает плоскость  в точке А. Поэтому прямая p пересекает и плоскость  в некоторой точке С. Оказалось, что точка С - общая точка двух плоскостей  и  =>   пересекает .

Поскольку все плоскости, проходящие через точку A и отличные от плоскости , пересекают плоскость , то  - единственная плоскость, параллельная плоскости , которая проходит через точку А.

Следствия:

1) Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую из них.

Доказательство. В противном случае через одну точку проходило бы две плоскости, параллельные одной и той же плоскости, что невозможно по рассмотренной теореме.

2) Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.