Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс

Печать
(38 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Страница 21
Страница 22
Страница 23
Страница 24
Страница 25
Страница 26
Страница 27
Страница 28
Страница 29
Страница 30
Страница 31
Страница 32
Страница 33
Страница 34
Страница 35
Страница 36
Страница 37
Страница 38
Страница 39
Страница 40
Страница 41
Страница 42
Страница 43
Страница 44
Страница 45
Страница 46
Доказательство.

Пусть точка O - центр шара, R - его радиус, точка A - проекция точки O на данную плоскость a так, что . Величину  обозначим d.

(1)  => для любой точки X плоскости a выполняются неравенства  => на плоскости a нет точек шара.

(2) , то есть  => для любой точки X плоскости a, отличной от A,  => поэтому на плоскости лежит только одна точка шара - точка A.


(3) . Докажем, что пересечение шара и плоскости а - круг в плоскости а с центром в точке A и радиусом . Иначе говоря, надо доказать совпадение двух множеств: первое из них - множество общих точек шара и плоскости; второе - указанный круг, для этого докажем два утверждения:

а)  Каждая общая точка шара и плоскости принадлежит указанному кругу.

б)  Каждая точка указанного круга является общей точкой шара и плоскости.

(а) Доказательство. Пусть точка X - общая для шара и плоскости, причем не совпадает с точкой А. Для нее выполняется равенство . Так как X лежит в шаре, то  =>  =>  =>  или . Последнее не-равенство и означает, что точка X лежит в круге с центром A и радиусом .

(б) Доказательство. Пусть теперь точка X - лежит в указанном круге, то есть в круге на плоскости а с центром в точке A и радиусом . Таким образом,  =>  => точка X лежит внутри шара.

Заметим, что наше доказательство предполагает, что плоскость a не проходит через центр шара O. В случае, когда она проходит через его центр, доказательство будет аналогичным, учитывая, что .

Рассуждения о пересечении сферы с плоскостью проводятся аналогично, только вместо неравенства появляются равенства.

Из формулы  видно, что ра-диус r будет наибольшим, когда , то есть когда плоскость проходит через центр. Тогда . Поэтому такой круг, по ко-торому шар пересекает плоскость, прохо-дящая через центр, называется большим кругом, а его окружность - большой ок-ружностью.

К примеру, на глобусе экватор представляет собой большую окружность. Меридианы - полуокружности больших окружностей с концами в двух диаметрально противоположных точках, соответствующих Северному и Южному полюсам. Прямая, проходящая через полюсы, перпендикулярна плоскости экватора. Параллели - окружности, по которым пересекают поверхность глобуса плоскости, перпендикулярные прямой, проходящей через полюсы.

Следствие. Теорема о касании сферы и плоскости. Если плоскость касается сферы, та она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Обратно, если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она касается сферы.

Касательная плоскость к сфере

Касание шара и сферы с плоскостью в том случае, когда сфера (или ограниченный ею шар) имеет с плоскостью единственную общую точку, говорят, что сфера (или шар) касается этой плоскости, а их единственная общая точка называется их точкой касания.

Плоскость, которая касается сферы, называется касательной (или опорной) плоскостью этой сферы. Говорят, что прямая касается сферы, если она лежит в касательной плоскости к сфере и проходит через точку касания.




  Нет комментариев.

Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса