Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс

Печать
(38 голосов)
Оглавление
Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14
Страница 15
Страница 16
Страница 17
Страница 18
Страница 19
Страница 20
Страница 21
Страница 22
Страница 23
Страница 24
Страница 25
Страница 26
Страница 27
Страница 28
Страница 29
Страница 30
Страница 31
Страница 32
Страница 33
Страница 34
Страница 35
Страница 36
Страница 37
Страница 38
Страница 39
Страница 40
Страница 41
Страница 42
Страница 43
Страница 44
Страница 45
Страница 46
25) Вписанная в многогранник сфера

Условия существования вписано в многогранник сферы. Пирамида и сфера. Призма и сфера

Сферой называется множество точек пространства, удаленных от данной точки на заданное положительное расстояние. При этом данная точка называется центром сферы, а данное расстояние - её радиусом. Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом R - есть множество таких точек X в пространстве, для которых .

Рассмотрим понятие касательной плоскости к сфере. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку. Такая плоскость называется касательной к сфере.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Если сфера касается двух плоскостей, то её центр удален от каждой плоскости на расстояние, равное радиусу сферы.

Если касательные плоскости параллельны, то точки касания являются концами одного диаметра сферы, обеим плоскостям.

Если касательные плоскости пересекаются, то центр сферы принадлежит биссектору двугранного угла между плоскостями. Точки касания сферы с плоскостями принадлежат граням этого угла.

Сфера называется вписанной в многогранный угол, если она касается каждой его грани.

Теорема. В каждый трехгранный угол можно вписать сферу.

Доказательство. Центр сферы, вписанной в трехгранный угол, должен принадлежать биссекторам его двугранных углов. Известно, что эти биссекторы пересекаются внутри трехгранного угла по лучу l. Пусть О - точка этого луча, не совпадающая с вершиной угла, k - расстояние от этой точки до плоскостей граней. Сфера с центром О и радиусом R касается всех граней угла, то есть вписана в данный трехгранный угол

Заметим, что луч l, не считая его начала, есть множество центров сфер, вписанных в данный трехгранный угол.

Сфера называется вписанной в многогранник (а многогранник - описанным около сферы), если она касается всех его граней.

Теорема. В любой тетраэдр можно вписать сферу, причем только одну.

Доказательство. Известно, что биссекторы двугранных углов тетраэдра пересекаются в одной точке. Сфера с центром в этой точке и радиусом, равным рас-стоянию от этой точки до плоскости какой-либо грани тетраэдра, касается всех граней тетраэдра. Значит, в любой тетраэдр можно вписать сферу.

Центр вписанной сферы является общей точкой биссекторов всех внутренних двугранных углов многогранника => вписанная сфера существует только одна.

Не в каждом многограннике биссекторы двугранных углов пересекаются в одной точке, значит => не в каждый многогранник можно вписать сферу.


Теорема. Если в основание пирамиды можно вписать окружность, а основание высоты пирамиды является центром этой окружности, то в пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Пусть  - точки касания вписанной в ос-нование пирамиды окружности с его сторонами, Р - центр вписанной окружности. Прямоугольные треугольники  равны и имеют общий катет SP => биссектрисы углов при вершинах  пересекают этот катет в одной и той же точке О. Из точки О опустим перпендикуляры  на гипотенузы

 => . Аналогично имеем, что . Учитывая, что , получаем, что точка О равноудалена от плоскостей всех граней пирамиды. Значит, сфера с центром O и радиусом  касается всех граней, то есть вписана в данную пирамиду.

Следствие. Из доказанного утверждения следует, что в любую правильную пирамиду можно вписать сферу.

Теорема. Для того чтобы в призму можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы в перпендикулярное сечение призмы можно было вписать окружность и чтобы высота призмы была равна диаметру этой окружности.

Следствие. В правильную призму можно вписать сферу тогда только тогда, когда ее высота равна диаметру окружности, вписанной в основание.




  Нет комментариев.

Обсудить на форуме. (0 комментариев)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

« Экзаменационные вопросы по геометрии за курс 8 класса