Экзаменационные вопросы по геометрии за школьный курс

Пусть  и  такие треугольники, что , .

Пусть . Подвергнем треугольник  преобразованию гомотетии с коэффициентом подобия k и центром в точке O. При этом получим некоторый треугольник , равный треугольнику .

Так как преобразование подобия сохраняет углы, то  и  => для треугольников  и  верно, что  и , а также  => эти треугольники равны по второму признаку (по стороне и прилежащей к ней углам).

Так как треугольники  и  гомотетичны, а, значит, подобны, а  треугольники  и  равны, то треугольники  и  подобны.

Теорема. Второй признак подобия (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Пусть  и  такие треугольники, что  и , .

Подвергнем треугольник  преобразованию гомотетии с коэффициентом подобия k и центром в точке O. При этом получим некоторый треугольник , равный треугольнику .

Так как преобразование подобия сохраняет углы, то  => для треугольников  и  верно, что , а также  и  => эти треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники  и  гомотетичны, а, значит, подобны, а  треугольники  и  равны, то треугольники  и  подобны.

Теорема. Третий признак подобия (по трем сторонам). Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Пусть  и  такие треугольники, что ,  и .

Подвергнем треугольник  преобразованию гомотетии с коэффициентом подобия k и центром в точке O. При этом получим некоторый треугольник , равный треугольнику .

У этих треугольников соответствующие стороны равны: ,  и  => эти треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Так как треугольники  и  гомотетичны, а, значит, подобны, а  треугольники  и  равны, то треугольники  и  подобны.