Экзаменационные вопросы по курсу математической логики

Равносильные:

x + 1 = 0 <=> x = cos π

|x| > 3 <=> x² - 90 > 0

|x| < 0 <=>  sin x = 2

x = 1 <=> x + y - y = 1

Неравносильные:

x > 0 <≠> y > 0

x = x <≠>  = x

Равносильное преобразование - замена высказывательной формы  на высказывательную форму  так, что значении истинности  при тех же наборах переменных сохраняется.

Свойства равносильности:

- рефлексивность;

- транзитивность;

- симметричность.

12) Логические операции и операции над множествами. Следование и включение.

Рассмотрим пять основных логических операций над множествами: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

1) Отрицание

P = (x)

Q =

 ( - закрашенная область на рисунке)

2) Конъюнкция

P₁ = (x)

P₂ = (x)

Q =

3) Дизъюнкция

P₁ = (x)

P₂ = (x)

Q =

4) Импликация

P₁ = (x)

P₂ = (x)

Q =

5) Эквиваленция

P₁ = (x)

P₂ = (x)

Q =

Следование и включение

Высказывательная форма (x) следует из высказывательной формы (x) ((x)(x)), если при всех значениях x, когда  - истина,  - тоже будет принимать значение истины.

 Включение одного множества в другое значит, что множество истинности одного меньше или равно множеству истинности второго, т. е. .

При обязательно выполняется  или

Таким образом, из тождественно ложной высказывательной формы (|x| < 0) следует любая высказывательная форма. А также тождественно истинная высказывательная форма (|x| ≥ 0) будет следовать из любой.

Пример:

Дано:

(x) = <x - кратно 3>

(x) = <x - четное>

M_x = {1; 3; 5; 6; 7; 9; 11; 12}

Итого:

(x)(x)